1、1江苏省盐城市 2019 届高三数学第四次模拟考试试题(满分 160 分，考试时间 120 分钟)20195参考公式：锥体体积公式：V Sh，其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高13圆柱侧面积公式：S2rl，其中 r 为圆柱的底面半径，l 为圆柱的母线长样本数据 x1，x 2，x n的方差 s2 (xix) 2，其中 x xi.1n n i 1 1n n i 1一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1. 已知集合 A1，0，B1，3，则 AB_2. 已知复数 z (其中 i 为虚数单位)，则|z|_1 ii3. 双曲线 y 21 的焦距为_x224. 如图所示是某
2、学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_. 5. 根据如图所示的伪代码，运行后输出的结果为_6. 现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_7. 若函数 f(x)lg(1x)lg(1ax)是偶函数，则实数 a 的值_8. 设 A，F 分别为椭圆 C： 1(ab0)的右顶点和右焦点，B 1，B 2为椭圆 C 短轴x2a2 y2b2的两个端点若点 F 恰为AB 1B2的重心，则椭圆 C 的离心率的值为_(第 9 题)9. 如图，三棱柱 ABC A1B1C1的体积为 6，O 为四边形 BCC1
3、B1的中心，则四面体 A1B1OB的体积为_10. 已知正项数列a n满足 an1 2 ，其中1a1 a 1a2 a3 1a3 a4 1an an 12nN *，a 42，则 a2 019_11. 已知圆 O 的半径为 2，点 A，B，C 为该圆上的三点，且 AB2， 0，则 ( BA BC OC BO )的取值范围是_. BA 12. 在ABC 中，角 A，B，C 所对的三边分别为 a，b，c，且 c2a 2b 2ab，则的取值范围是_ a2 b2c213. 已知函数 f(x)x4sin x若不等式 kxb 1f(x)kxb 2对一切实数 x 恒成立，则 b2b 1的最小值为_. 14. 已
4、知 maxa，b f(x)maxln xtx ，x 2txe(e 自然对数a， b a，b， ba， ) 12的底数)若 f(x)2 在 x1，e上恒成立，则实数 t 的取值范围是_二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分 14 分)如图，在三棱锥 A BCD 中，AEBC 于 E，M，N 分别是 AE，AD 的中点(1) 求证：MN平面 BCD；(2) 若平面 ABC平面 ADM，求证：ADBC. 16. (本小题满分 14 分)设向量 a(2cos x，2sin x)， b( cos x，cos x)，函数 f(x
5、) ab .3 3(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 若 f( ) ，且 ( ，)，求 cos 的值. 2 65 2317. (本小题满分 14 分)如图，某人承包了一块矩形土地 ABCD 用来种植草莓，其中 AB 99 m, AD 49.5 m现规划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚 n(nN *)个，每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计)，塑料薄膜的价格为每平方米 10 元；另外，还需在每两个大棚之间留下 1 m 宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中 EF1 m)，这部分的建设造价为每平方米 31.4 元(1) 当 n20 时，求蒙一个大棚所需塑料
6、薄膜的面积(结果保留 )；(2) 试确定大棚的个数，使得上述两项费用的和最低？ (计算中 取 3.14)418. (本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1(ab0)经过点 P( ，1)，且点 P 与椭x2a2 y2b2 2圆的左、右顶点连线的斜率之积为 .12(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 若椭圆 C 上存在两点 Q，R，使得PQR 的垂心(三角形三条高的交点)恰为坐标原点O，试求直线 QR 的方程. 519. (本小题满分 16 分)设函数 f(x)xae x(e 为自然对数的底数，aR)(1) 当 a1 时，求函数 f(x)的图象在 x1 处的切线方程；(2
7、) 若函数 f(x)在区间(0，1)上具有单调性，求 a 的取值范围；(3) 若函数 g(x)(e xe)f(x)有且仅有 3 个不同的零点 x1，x 2，x 3，且x10(nN *)，记a n前 n 项中的最大项为 kn，最小项为 rn，令bn .knrn(1) 若a n的前 n 顶和 Sn满足 Sn .n2 na12求 bn；是否存在正整数 m，n 满足 ？若存在，请求出这样的 m，n；若不存在，2m 12n请说明理由；(2) 若数列b n是等比数列，求证：数列a n是等比数列. 72019 届高三模拟考试试卷数学附加题(满分 40 分，考试时间 30 分钟)21. 【选做题】 在 A，B
8、，C 三小题中只能选做两题，每小题 10 分，共 20 分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修 42：矩阵与变换)已知直线 l：2xy30 在矩阵 M 所对应的变换 TM 下得到直线 l，求直线 104 1l的方程B. (选修 44：坐标系与参数方程)已知点 P 是曲线 C： ( 为参数，2)上一点，O 为坐标原点，x 2cos ，y 3sin )直线 OP 的倾斜角为 ，求点 P 的坐标 3C.(选修 45：不等式选讲)求不等式 42|x2|x1|的解集8【必做题】 第 22，23 题，每小题 10 分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明
9、、证明过程或演算步骤22. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，ABACAD3，PABC4.(1) 求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值；(2) 求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值. 23.某种质地均匀的正四面体玩具的 4 个面上分别标有数字 0，1，2，3，将这个玩具抛掷 n 次，记第 n 次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为 an，数列a n的前 n 和为 Sn.记 Sn是 3 的倍数的概率为 P(n)(1) 求 P(1)，P(2)；(2) 求 P(n)92019 届高三模拟考试试卷(盐城)数学参考答案及评分标准1. 1，0，3 2.
10、 3. 2 4. 6.8 5. 37 6. 7. 1 8. 9. 1 10. 2 313 132 01911. (6，4 12. (1，1) 13. 8 14. (，2e 31215. 证明：(1) 连结 DE，因为 M，N 分别是 AE，AD 的中点，所以 MNDE.(2 分)又 MN 平面 BCD，DE 平面 BCD，所以 MN平面 BCD.(6 分)(2) 因为平面 ABC平面 ADM，平面 ABC平面 ADMAE，BC 平面 BCD，BCAE，所以 BC平面 ADM.(12 分)又 AD 平面 ADM，所以 ADBC.(14 分)16. 解：(1) 因为 f(x) ab (2cos x
11、，2sin x)( cos x，cos x)3 3 32 cos2x2sin xcos x cos 2xsin 2x2sin(2x )(4 分)3 3 3 3所以 f(x)的最小正周期为 T .(6 分)22(2) 因为 f( ) ，所以 2sin( ) ，即 sin( ) .(8 分) 2 65 3 65 3 35因为 ( ，)，所以 ( ， )， 2 3 56 43故 cos( ) ，(10 分) 3 1 sin2（ 3） 1 （ 35） 2 45所以 cos cos( ) cos( ) sin( ) 3 3 12 3 32 3 ( ) ( ) .(14 分)12 45 32 35 4 3
12、31017. 解：(1) 设每个半圆柱型大棚的底面半径为 r.当 n20 时，共有 19 个空地，所以 r 2 m，(2 分)99 191220所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面)为Sr 2rAD2 2249.5103(m 2)即蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为 103 m 2.(6 分)(2) 设两项费用的和为 f(n)因为 r ，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面)99 （ n 1） 12n 100 n2n10为Sr 2rAD( )249.5 ，(8 分)100 n2n 100 n2n则 f(n)10nS31.4149.5(n1)10n 31.4149.5(n1) （100 n2
13、n ） 2 49.5100 n2n 31.4 49.5 49.5(n1)（ 100 n） 24n 100 n2 99(100n)198(n1)31.44 （ 100 n） 2n ( 100n9 502) 100( n)9 502(12 分)31.44 1002n 31.44 100n所以，当且仅当 n，即 n10 时，f(n)取得最小值100n答：当大棚的个数为 10 个时，上述两项费用的和最低(14 分)18. 解：(1) 由题意，得 (2 分 )2a2 1b2 1，1 02 a1 02 a 12， )解得 所以椭圆 C 的方程为 1.(4 分)a2 4，b2 2， ) x24 y22(2)
14、 设 Q(x1，y 1)，R(x 2，y 2)因为 QRPO，而 kPO ，所以 kQR ，12 2故可设直线 QR 的方程为 y xm.(6 分)2联立 消去 y，得 5x24 mx2m 240.y 2x m，x2 2y2 4， ) 2由 0 得 32m220(2m 24)0，解得 m20，得 x1.1 xex 1 xex故 h(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，故 h(x)0 有且仅有 2 个不等实数根，且 1 个根小于 1，1 个根大于 1. g(x)(e xe)f(x)有且仅有 3 个不同的零点 x1，x 2，x 3，x 10 在 t(0，1上恒成立， q(t)e tt1
15、 在(0，1上单调递增， q(t)q(0)0 在(0，1上恒成立，则 p(t)0 在(0，1上恒成立， p(t)在(0，1上单调递增， p(t)p(0)0 在(0，1上恒成立，则 (t)0 在(0，1上恒成立， (t)在(0，1上单调递增， (t)(1) ，即 x1x 3 .(16 分)e 1e 1 e 1e 11220. (1) 解： 在 Sn 中，令 n1，得 a1S 1 ，解得 a11，所以n2 na12 1 a12Sn .n2 n2当 n2 时，a nS nS n1 n，n2 n2 （ n 1） 2 （ n 1）2综上，a nn(nN *)(2 分)显然a n为单调递增数列，所以 kn
16、a nn，r na 11，所以 bn .(4 分)n假设存在满足条件的正整数 m，n，则 ，所以 .mn 2m 12n m2m n2n 12设 cn ，则 cn1 c n ，所以 c1c 2c3c4c5.n2n n 12n 1 n2n 1 n2n 1由 ，得 cm cnn，则 mn1.(6 分)m2m n2n 12 12当 mn1 时， 显然不成立，mn 2m 12n当 mn1 时， 2 mn1 .mn 2m 12n设 mn1t，则 tN *， 2 t，得 n .(8 分)n 1 tn t 12t 1设 dn ，则 dn1 d n 0(nN *)，且 kn，r n分别为a n前 n 项中的最大
17、项和最小项，所以 kn1 k n，r n1 r n.设数列b n的公比为 q，显然 q0，当 q1 时， 1，得 ，kn 1rn 1knrn kn 1kn rnrn 1若 kn1 kn，则 rn1 kn与 rn1 1 时， q1，得 q 21，kn 1rn 1knrn kn 1rn 1knrn所以 1，所以 kn1 kn恒成立kn 1kn rnrn 1而 kna n，所以 kn1 a n1 ，所以 a n1 an恒成立，所以 kna n，r na 1，代入 q 2得 q 2，即 q 2，kn 1rn 1knrn an 1a1ana1 an 1an所以数列a n是等比数列(14 分)13当 0q
18、1 时，0 1，得 q 21，kn 1rn 1knrn kn 1rn 1knrn所以 1，所以 rn1 rn恒成立，而 rna n，所以 rn1 a n1 ，所以 rn 1rn knkn 1an1 an恒成立，所以 kna 1，r na n，代入 q 2得 q 2，即 q 2，kn 1rn 1knrn a1an 1a1an an 1an所以数列a n是等比数列综上，数列a n是等比数列(16 分)142019 届高三模拟考试试卷(盐城)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：在直线 l 上取点 A(1，1)，则 ，故 A(1， 1)在矩阵 M 的变换下得到 A(1，3)(4 分) 104
19、 11 1 13再在直线 l 上取点 B(2，1)，则 ，在矩阵 M 的变换下得到 B(2，9) (8 分) 104 121 29连结 AB，可得直线 l：6xy30.(10 分)B. 解：由题意，得曲线 C 的直角坐标方程为 1(y0)，(3 分)x24 y23直线 OP 的方程为 x.(6 分)3联立方程组 解得 (舍去)或x24 y23 1（ y 0） ，y 3x， ) x 255，y 2155 ) x 255，y 2155 ， )故点 P 的直角坐标为( ， )(10 分)255 2155C. 解： 当 x2 时，原不等式可化为 42(x2)1x，解得 x ，此时73x ；(3 分)7
20、3当2x1 时，原不等式可化为 42(x2)1x，解得 x1，此时1x1；(6 分) 当 x1 时，原不等式可化为 42(x2)x1，解得 x ，此时 x1.(9 分)13综上，原不等式的解集为(， 1，)(10 分)7322. 解： (1) 设 BC 的中点为 E，由 ABAC，可知 AEBC，故以 AE，AD，AP 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系(如图所示)，(2 分)则 A(0，0，0)，P(0，0，4)，D(0，3，0)，B( ，2，0)，C( ，2，0)5 5(1) 设 为两直线所成角，由 ( ，2，4)， ( ，1，0), PB 5 CD 515得 cos ，|
21、PB CD PB |CD | 7630即异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值为 .(6 分)7630(2) 设 n1(x，y，z)为平面 PBC 的法向量，因为 ( ，2，4)， ( ，2，4)，PB 5 PC 5由 n0， n0，PB PC 得 取 n1(4，0， )5x 2y 4z 0，5x 2y 4z 0， ) 5又平面 PAD 的一个法向量为 n2(1，0，0)设 为两个平面所成的锐二面角的平面角，则 cos | | .n1n2|n1|n2| 42121所以平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 .(10 分)4212123. 解：(1) 抛掷一次，出现一个 0 和一
22、个 3 时符合要求，故 P(1) .(1 分)12抛掷两次，出现 12，21，00，33，03，30 时符合要求，共 6 种情况，故 P(2) .(3 分)616 38(2) (解法 1)设 Sn被 3 除余 1 的概率为 P1(n)，S n被 3 除余 2 的概率为 P2(n)则有 P(n1) P(n) P1(n) P2(n) ，12 14 14P1(n1) P(n) P1(n) P2(n) ，14 12 14P2(n1) P(n) P1(n) P2(n) ，(6 分)14 14 12()，得 P(n1)P 1(n1)P 2(n1) P1(n)P 2(n)，12化简，得 4P(n1)P(n)1，(8 分)即 P(n1) P(n) 13 14 13又 P(1) ，可得 P(n) .(10 分)12 13 23 14n(解法 2)设 Sn被 3 除余 1 的概率为 P1(n)，S n被 3 除余 2 的概率为 P2(n)，则 P2(n)1P(n)P 1(n)又 P(n1) P(n) P1(n) P2(n)，12 14 14所以 P(n1) P(n) P1(n) 1P(n)P 1(n)，得 4P(n1)P(n)1，以下同12 14 14解法 1.16
