1、全国名校大联考 20172018 学年度高三第四次联考数学（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B结合交集的定义可得： .本题选择 B 选项.2. 若方程 表示圆，则其圆心为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】圆的一般方程为： ，据此可得，其圆心坐标为： ，即 .本题选择 D 选项.3. 函数 的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数有意义，则： ，求解对数不等式可得函数的定义域为： ，表示为区间形式即 .本
2、题选择 A 选项.点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可4. 已知直线 与圆 相交于 两点，且 关于直线 对称，则的值为（ ）A. 1 B. -1 C. 2 D. -2【答案】D【解析】由几何关系可得直线 经过圆 的直径，且与直线 垂直，由直线垂直的充要条件有： .本题选择 D 选项.5. 设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ）A. 2 B. 5 C. 15 D. 12【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 处取得最大值，最大值为： .本题选择 C 选项.6. 如
3、图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为 ，则它的正视图为（ ）A. B. C. D. 【答案】B考点：三视图.7. 等比数列 的前三项和 ，若 成等差数列 ，则公比 （ ）A. 3 或 B. -3 或C. 3 或 D. -3 或【答案】C【解析】很明显等比数列的公比 ，由题意可得： ，且： ，即 ，联立可得： 或 ，综上可得：公比 3 或 .本题选择 C 选项.8. 已知 是相异两平面， 是相异两直线，则下列命题中错误的是 （ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则【答案】D【解析】由线面垂直的性质可知选项 A,B,C 正确，如图所示，对于选项 D，在正方体
4、 中，取直线 为 ，平面 为上顶面 ，平面为平面 ，则直线 为 ，此时有 ，直线 与 为异面直线，即选项 D 的说法是错误的；本题选择 D 选项.9. 若点 在函数 的图像上， ，则下列点在函数 的图像上的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数 与函数 互为反函数，其函数图象关于直线 对称，则原问题等价于求解点 关于直线 的对称点，据此可得所求解的点的坐标为 .本题选择 C 选项.10. “ ”是“直线： 与直线： 垂直”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件【答案】D【解析】若“ ”，则所给的直线方程为： ， ，两直线不垂
5、直，充分性不成立；若“直线： 与直线： 垂直”，则： ，解得： 或 ，必要性不成立；综上可得：“ ”是“ 直线： 与直线： 垂直”的既不充分也不必要条件.本题选择 D 选项.11. 已知函数 满足 ，若 在 上为偶函数，且其解析式为，则 的值为（ ）A. -1 B. 0 C. D. 【答案】B【解析】由题意可得： ，即函数 是周期为 的函数，则： .本题选择 B 选项.12. 已知底面为正方形的四棱锥 ，各侧棱长都为 ，底面面积为 16，以 为球心，2 为半径作一个球，则这个球与四棱锥 相交部分的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】构造棱长为 4 的正方体,四棱锥 O-ABC
6、D 的顶点 O 为正方体的中心,底面与正方体的一个底面重合.可知所求体积是正方体内切球体积的 ,所以这个球与四棱锥 O-ABCD 相交部分的体积是: .本题选择 C 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，求几何体的体积，要注意分割与补形将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若 ， 为第二象限角 ，则 _【答案】【解析】由题意结合诱导公式有： ，结合同角三角函数基本关系有： ，则： .14. 已知三棱锥
7、 的三条侧棱两两垂直，且 ， ，若点 为三棱锥 的外接球的球心，则这个外接球的半径是 _【答案】【解析】如图所示，将三棱锥补形为长方体，则该棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，设外接球半径为 ，则： .即这个外接球的半径是 .点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.15. 已知圆 .由直线 上离圆心最近的点 向圆 引切线，切点为 ，则线段 的长为_【答案】
8、【解析】圆心 到直线 的距离： ，结合几何关系可得线段 的长度为 .16. 设 是两个非零平面向量，则有：若 ，则若 ，则若 ，则存在实数，使得若存在实数，使得 ，则 或 四个命题中真命题的序号为 _ （填写所有真命题的序号）【答案】【解析】逐一考查所给的结论：若 ，则 ，据此有： ，说法正确；若 ，取 ，则 ，而 ，说法 错误；若 ，则 ，据此有： ，由平面向量数量积的定义有： ，则向量 反向，故存在实数，使得 ，说法正确；若存在实数，使得 ，则向量与向量 共线，此时 ， ，若题中所给的命题正确，则 ，该结论明显成立.即说法正确；综上可得：真命题的序号为.点睛：处理两个向量的数量积有三种方法
9、：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知在 中， ，且 .（1）求角 的大小；（2）设数列 满足 ，前 项和为 ，若 ，求 的值.【答案】(1) ；(2) 或 .【解析】试题分析：(1)由题意结合三角形内角和为 可得 .由余弦定理可得 ， ，结合勾股定理可知 为直角三角形， ， .(2)结合(1)中的结论可得 .则 ， 据此可得关于实数 k 的方程，解方程可得 ，则 或 .试题解析：（1）由已知 ，又 ，所以 .又
10、由 ，所以 ，所以 ，所以 为直角三角形， ， .（2） .所以 ， 由 ，得，所以 ，所以 ，所以 或 .18. 在 中， ， ， ， 为线段 的中点， 为线段 的三等分点（如图1）.将 沿着 折起到 的位置，连接 （如图 2）.（1）若平面 平面 ，求三棱锥 的体积；（2）记线段 的中点为 ，平面 与平面 的交线为，求证： .【答案】(1) ； (2)证明见解析 .【解析】试题分析：(1)由题意可知 是等边三角形，取 中点 ，连接 ，则 .由面面垂直的性质定理可得 平面 .三棱锥的高 ，其底面积 .据此可得三棱锥的体积为 .(2)由中位线的性质可得 ，然后利用线面平行的判断定理可得 平面
11、，最后利用线面平行的性质定理可得 .试题解析：（1）在直角 中， 为 的中点，所以 .又 ，所以 是等边三角形.取 中点 ，连接 ，所以 .因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 .在 中， ， ， ， 为 的中点，所以 ， .所以 .所以三棱锥 的体积为 .（2）因为 为 的中点， 为 的中点，所以 .又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .因为 平面 ，平面 平面 ，所以 .19. （1）求圆心在直线 上， 且与直线 相切于点 的圆的方程；（2）求与圆 外切于点 且半径为 的圆的方程.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：(1)由题意可得圆的一条直径所在的直线方程为 ，据
12、此可得圆心 ，半径 ，则所求圆的方程为 .(2)圆的标准方程为 ，得该圆圆心为 ，半径为 ，两圆连心线斜率 .设所求圆心为 ，结合弦长公式可得 ， .则圆的方程为 .试题解析：（1）过点 且与直线 垂直的直线为 ，由 .即圆心 ，半径 ，所求圆的方程为 .（2）圆方程化为 ，得该圆圆心为 ，半径为 ，故两圆连心线斜率 .设所求圆心为 ， ， . .点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理如：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆心三点共线(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式20. 如图所示， 平面 ，点 在以 为直径的 上， ， ，点 为线段 的中点，点 在弧 上，且 .（1）求证：平面 平面 ；（2）求证：平面 平面 ；【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（）利用三角形的中位线定理可得 ，即可得出 平面 ，再利用，可得 平面 ，再利用面面平行的判定定理即可得出平面 平面 ；（）点 在
