1、地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 1 页 共 9 页有理数的乘方、混合运算及科学记数法（基础）撰稿：吴婷婷 审稿：常春芳【学习目标】1理解有理数乘方的定义；2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3. 进一步掌握有理数的混合运算.4. 会用科学记数法表示大数.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)即有： .在 中， 叫做底数， n 叫做指数naaA个 a要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结
2、果 （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来（3）一个数可以看作这个数本身的一次方例如，5 就是 51，指数 1 通常省略不写 要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0 的任何正整数次幂都是 0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如 0na要点诠释： (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值(2)任何数的偶次幂都是非负数要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做
3、括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行(3)在运算过程中注意运算律的运用要点四、科学记数法把一个大于 10 的数表示成 的形式（其中 是整数数位只有一位的数，10naal| |10， 是正整数） ，这种记数法叫做科学记数法，如 .an 42074.210要点诠释：（1）负数也可以用科学记数法表示， “ ”照写，其它与正数一样，如 = ；-33地址：北京市西城区新德
4、街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 2 页 共 9 页（2）把一个数写成 形式时，若这个数是大于 10 的数，则 n 比这个数的整数位数少10na1.【典型例题】类型一、有理数乘方【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 有理数乘方的性质】1计算：（1） （2） 34 （3） 4() （4） 433(4)（5） （6） （7） （8）352（ 2【答案与解析】（1） ；3(4)(4)64（2） ；（3）4()；3()(3)81（4） ；（5） ；32751（6） ；（7） ；23（63（8） 918【总结升华】 与 不同， ，而()
5、na()()nnaaA个表示 的 n 次幂的相反数nnaA个举一反三：【变式】比较 与 的异同3-5（ ）【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；不同点： 表示-5 的 3 次方，即(-5)(-5)(-5)-125，而 表示 5 的 3 次方的3-（ ） 3-相反数，即 -(555)因此，它们的底数不同，表示的意义不同5地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 3 页 共 9 页类型二、乘方的符号法则2不做运算，判断下列各运算结果的符号(-2)7，(-3) 24，(-1.0009) 2009， ，-(-2) 201053【
6、思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：(-2) 7 运算的结果是负；(-3) 24 运算的结果为正；(-1.0009) 2009 运算的结果是负； 运算的结果是正；-(-2) 2010 运算的结果53是负【总结升华】 “一看底数，二看指数” ，当底数是正数时，结果为正；当底数是 0 时，结果是 0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负类型三、有理数的混合运算【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 典型例题 1】3.计算：（1） 210.53-（2） 3426（3） 32011(.75)48（4）
7、 3320【答案与解析】（1）法一：原式 ；517(1)7()66法二：原式= 293（2）原式 1-35=(3) 原式 （-24）-1-8=-32-3+66-9=22 41()38-(4) 原式 =-1000-25+11=-101430=【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提举一反三：【变式】计算：（1） 4 211(0.5)()3（2）24)地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 4 页 共 9 页【答案】原式 1115(29)(7)366原式 6(4) 24类型四、科学记数法4.
8、用科学记数法表示：(1) ；（2） 亿；（3）38700287.6【答案与解析】 （1）把 写成 时， ，它是将原数的小数点向38710na3左移动 9 位得到的，即把原数缩小到 ，所以 ；9 90.871（2） 亿=300 000 000 000，把 亿写成 时， ， 的值应比 300 000 303nan000 000 的整数位少 1，因此 ，所以 3000 亿= ；1n13（3） 写成 时， “-”照写，其它和正数一样，所以 .87.60a 2287.6.10【总结升华】带有文字单位的数先变为原数，再写成 形式， 的确定：n 比这个数10na的整数位数少 1.举一反三：【变式】据宁波市统
9、计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口 760.57 万人，其中760.57 万人用科学记数法表示为 （ ）A7.605 7 人 B7.605 7 人 510610C7.605 7 人 D 0.760 57 人7 7【答案】B5. 把下列用科学记数法表示的数转化成原数.（1） ； （2） ； （3） 千米34071.2061.920【答案与解析】此题是对科学记数法的逆用（1） ；3.（2） ；71020（3） 千米= 千米.6.939【总结升华】将科学记数法表示的数转化为原数，方法简单： 是几就将 中 的小n10na地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511
10、 传真：010-82079687 第 5 页 共 9 页数点向右移动几位.类型五、探索规律 6.你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第 1 次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第 3次捏合抻拉得到 根面条，第 5 次捏合抻拉得到 根面条，第 次捏合抻拉得n到 根面条，要想得到 64 根细面条，需 次捏合抻拉.第 1 次 第 2 次 第 3 次【思路点拨】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是找出每一次拉出来面条的根数的规律第 1 次： ；第 2 次： ；第 3 次： ；第 次： .48n2n【答案】8；32； ； 6n【解析】
11、由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的 2 倍，所以可得到：第 1 次： ；第 2 次： ；第 3 次： ；第 次： .2n第 3 次捏合抻拉得到面条根数： ，即 8 根；第 5 次得到： ，即 32 根；第 次捏合抻5拉得到 ；因为 ，所以要想得到 64 根面条，需要 6 次捏合抻拉.2n64【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循举一反三：【变式】已知 212，2 24，2 38，2 416，2 532，观察上面的规律，试猜想 22008的末位数字是_【答案】6【巩固练习】一、选择题1下列各组
12、数中，计算结果相等的是 ( )A-2 3 与(-2) 3 B-2 2 与(-2) 2 C 与 D 与25(2)2下列说法中，正确的是（ ） A一个数的平方一定大于这个数 B一个数的平方一定是正数C一个数的平方一定小于这个数 D一个数的平方不可能是负数地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 6 页 共 9 页3式子 的意义是（ ） 345A 4 与 5 商的立方的相反数 B4 的立方与 5 的商的相反数 C4 的立方的相反数除 5 D 的立方4中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们为中国节水，
13、为世界节水若每人每天浪费水 0.32L，那么 100 万人每天浪费的水，用科学记数法表示为（ ） A3.210 7L B 3.2106L C3.210 5L D3.210 4L5计算(-1) 2+(-1)3( )A-2 B- 1 C 0 D26观察下列等式：7 1=7，7 249，7 3343，7 42401，7 516807，7 6117649由此可判断 7100 的个位数字是( ) A7 B9 C3 D17一根 1 米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第 6 次后剩下的绳子的长度为( ) A 米 B 米 C 米 D 米32526212二、填空题8在(-2) 4 中，
14、指数是 _，底数是_，在-2 3 中，指数是_，底数是_，在 中底数是_，指数是_259一个数的平方等于它本身的数是_；一个数的立方等于它本身的数是 10 ； ； = ； 352312511 , ()_3()_126008000= （用科学记数法表示） ， = （把用科5.081学记数法表示的数还原）.13 ， ， ，从而猜想：213_2135_237_ 520三、解答题14计算下列各式：(1)-23+(3-6)2-8(-1)4；地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 7 页 共 9 页(2) ；23211()43(3)
15、；(5)0.8(.5)77(4) 21.463.99615已知 x 的倒数和绝对值都是它本身，y、z 是有理数，并且 ，2|3|()0yxz求 的值32516探索规律：观察下面三行数，2， -4， 8， -16， 32， -64， -2， -8， 4， -20， 28， -68， -1， 2， -4， 8， -16， 32， (1) 第行第 10 个数是多少？(2) 第行数与第行数分别有什么关系？(3) 取每行第 10 个数，计算这三个数的和【答案与解析】一、选择题1 【答案】 A【解析】-2 3=-8， （-2） 3= -82 【答案】 D【解析】一个数的平方与这个数的大小不定，例如： ；而
16、 ；2421()4，从而 A，C 均错；一个数的平方是正数或 0，即非负数，所以 B 错，只有 D 对203 【答案】B【解析】 表示 4 的立方与 5 的商的相反数354【答案】C 【解析】100 万人每天浪费的水为：0.32100 万=0.321 000 000=3.210 5L5【答案】C 【解析】 (-1) 2 1，(-1) 3-16【答案】D 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 8 页 共 9 页【解析】个位上的数字每 4 个一循环，100 是 4 的倍数，所以 的个位数字应为 1 1077【答案】C二、填空
17、题8 【答案】4 ， -2 ， 3 ， 2， 2， 2 【解析】依据乘方的定义解答9【答案】0，1；0，1，-1；10 【答案】3， -32， 14,27511 【答案】-27，7212【答案】6.00810 6 ； 300 800；13 【答案】 2103【解析】 ， ， ， 2135213574从而猜想：每组数中，右边的幂的底数 与左边的最后一个数 的关系是：an12na所以 35221052()3三、解答题14【解析】 (1)-23+(3-6)2-8(-1)4-8+9-8-7；(2)2211()334279；1603(3) 2(5).8(.25)77941()()；75(4) 218.5
18、63.996地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 9 页 共 9 页75218186(.4539)964.15 【解析】因为 x 的倒数和绝对值都是它本身，所以 x1，又因为|y+3|+(2x+3z) 20，所以 y+30 且 2x+3z0所以 y-3当 x1 时，2x+3z 0， 3z把 x1，y-3， 代入得：3z32325()541193xy16【解析】（1）2, -4， 8， -16， 32， -64， 第 行可以改写为： 2， ， ，, ,由-2 的指数规律，可以知道 n=10 时，即 =-1024 为第 行第 10 个数（2）第 行数是第 行相应的数减 4；第行数是第行相应的数的-0.5 倍；（3）第 行第 10 个数为-1024-4=-1028第 行第 10 个数为（-0.5 ） （-1024 ）=512所以第行、第 行、第 行第 10 个数字之和为-1024+（-1028 ）+512=-1540
