1、1.8 谓词演算的推理规则,一、谓词逻辑中推理的基本概念,设H1,H2,Hm()和都是谓词公式。 若 ( H1H2 Hm ) 为永真式，即H1H2 Hm ，则称由前提H1,H2, ,Hm推出结论C的推理正确(有效)。称为前提H1,H2, ,Hm的有效结论或逻辑结果。H1H2 Hm 称为由前提H1,H2, ,Hm推出结论C的推理的形式结构。,谓词逻辑中常用的推理规则其来源可分为两类： （一） 命题逻辑中的所有推理规则 如规则P、T及CP规则、反证法等亦可在谓词演算的推理中应用，只是应将各规则中的命题公式理解为谓词公式。 谓词演算的推理方法可视为命题演算推理方法的扩张。（二）谓词逻辑中特有的推理规
2、则 1. 谓词演算中与量词有关的基本的永真蕴含式和逻辑等价式。 2. 量词的消去或添加规则 在谓词演算的推理中，某些前提或结论会受到量词的限制，为了使用命题演算中的等价式和蕴含式，必须有消去或添加量词的规则。,二、谓词逻辑的推理规则,1. US规则(全称指定规则),xA(x)A(y); xA(x)A(c) 如果个体域D中所有的个体都具有性质A，则D中每一个个体（个体常元、个体变元）都具有性质A。两式成立的条件是： x是A(x)中自由出现的个体变元。 在式中，y为任意的不在A(x)中约束出现的个体变元。特别地，y可取x。 在式中，c为任意的个体常元。,消去规则(指定规则),例如： 设个体域D为实
3、数集，谓词 F(x,y)：xy。则xyF(x,y)：对任意的实数x，都存在实数y，使xy。（真命题） 则下列推理正确的是：( ) 1.xyF(x,y)yF(c,y) 2.xyF(x,y)yF(x,y) 3.xyF(x,y)yF(y,y) 4.xyF(x,y)yF(z,y) 答案：1，2，4正确3出错的原因是y已在yF(x,y)中约束出现。,2. ES规则(存在指定规则),xA(x)A(c) 如果个体域D中存在具有性质A的个体，则D中必有某一个个体c（个体常元）具有该性质A。该式成立的条件是： x是A(x)中自由出现的个体变元。 c是使A(c)为真的特定的个体常元，且此c在该推导前（包括在A(x
4、)中）从未使用过。若A(x)中除自由出现的x以外，还有其他自由个体变元时，不能使用此规则。,例如： 1. 设个体域D为整数集，谓词 F(x)：x是奇数。 G(x)：x是偶数。推理过程如下：(1)xF(x) F(c)(2)xG(x) G(c) 则xF(x)，xG(x)都是真命题，但 F()G() 假 出错原因：(2)中的已在(1)被指定了，已是一个特定的值。(2)应改为： xG(x) G(d)F()G(d) 真2. xF(x,y) F(c,y) 出错原因：c的确定还与y有关。应改为：xF(x,y) F(cy,y),3. UG规则(全称推广规则),A(y) xA(x) 如果个体域D中每一个个体都具
5、有性质A，则D中所有的个体都具有该性质A。该式成立的条件是： y是A(y)中自由个体变元，且y取个体域D中的任何值时，A(y)均为真。 取代y的x不能是A(y)中的约束变元，否则也会产生错误。 注：使用本规则时，事先必须已经验证了对个体域中的每一个 ，A(x)都为真。,添加规则(推广规则),4. EG规则(存在推广规则),A(c) xA(x) A(y) xA(x) 如果个体域D中某个个体（个体常元、个体变元）具有性质A，则D中存在着具有该性质A的个体。两式成立的条件是： c是使A(c)为真的特定的个体常元。 y是使A(y)为真的自由个体变元。取代c或y的x不能在A(c)或A(y)中出现过。,例
6、如：设个体域D为实数集，a)谓词 F(x,y)：x y 则下列推理正确的是： 1. xF(x，y) zxF(x，z) 2. xF(x，y) xxF(x，x)1对2错b)谓词 F(x,y)：x*y=0 则下列推理正确的是： 1. x F(x,0) xx F(x,x)2. x F(x,0) zx F(x,z)1错2对,1. 量词的消去或添加规则只对前束范式（即辖域为整个公式）的量词成立，不能对出现在公式中间的量词使用它们。 2. 使用时，要严格按照限制条件去使用，并从整体上考虑个体常元和个体变元符号的选择。 3. 用y或c取代A(x)中自由出现的x时，一定要在x自由出现的每一处都取代。,使用时的注
7、意事项,例1-8-1 证明苏格拉底三段论：所有的人都是要死的。苏格拉底是人。所以苏格拉底是要死的。 解：设 M(x)：x是人。D(x)：x是要死的。a：苏格拉底前提：x( M(x)D(x) )， M(a) 结论： D(a) 推理的形式结构：x( M(x)D(x) )M(a)D(a) 证明: (1) x( M(x)D(x) ) 规则P(2) M(a)D(a) (1)US规则，规则T(3) M(a) 规则P(4) D(a) (2)(3)假言推理，规则T,二、谓词逻辑的推理实例,例1-8-2 同事之间总是有工作矛盾的。张平和李明没有工作矛盾。所以他们不是同事。 解：设F(x,y)：x和y是同事。Q(
8、x,y)：x和y有工作矛盾。a:张平 b:李明前提： xy(F(x,y)Q(x,y)， Q(a,b)结论： F(a,b)证明: (1) xy(F(x,y)Q(x,y) 规则P(2) y(F(a,y)Q(a,y)） (1)US规则，规则T(3) F(a,b)Q(a,b) (2)US规则，规则T (4) Q(a,b) 规则P(5) F(a,b) (3)(4)拒取式，规则T,例1-8-3 设个体域为实数集。任何自然数都是整数。存在着自然数。所以存在着整数。 解：设F(x)：x是自然数。G(x)：x是整数。前提：x( F(x)G(x) )， x F(x) 结论： x G(x) 证明: (1) x F(
9、x) 规则P(2) F(c) (1)ES规则，规则T(3) x( F(x)G(x) ) 规则P(4) F(c)G(c) (3) US规则，规则T(5) G(c) (2)(4)假言推理，规则T(6) x G(x) (5) EG规则，规则T,思考： 可否先消x，再消x ？(1) x(F(x)G(x) 前提，规则P(2) F(c)G(c) (1)US规则，规则T(3) x F(x) 前提，规则P(4) F(d) (3)ES规则，规则T则对(2),(4)无法继续往下推理。,注1：在推理时， 若前提中既有x，又有x时，应先用ES规则消x ，后用US规则消x ，次序不能颠倒。,例1-8-4 不存在能表示成
10、分数的无理数。有理数都能表示成分数。因此，有理数都不是无理数。 解：设F(x)：x是无理数。Q(x)：x是有理数。G(x):x能表示成分数。前提： x( F(x)G(x) )， x( Q(x)G(x) )，结论： x( Q(x) F(x) ),注2：在推理时， 量词的消去或添加规则只对前束范式（即辖域为整个公式）的量词成立，若有的前提不是前束范式，要先对其进行等值演算，化为前束范式。 如本题中的 x (F(x)G(x) ,x (F(x)G(x)x(Q(x)G(x) x(Q(x) F(x) 证明: (1) x (F(x)G(x) 规则P(2) x (F(x)G(x) (1) 量词转换律，规则T(
11、3) x ( F(x) G(x) (2) 德摩根律，规则T(4) x (G(x) F(x) (3) 蕴含等价式，规则T(5) G(y) F(y) (4)US规则，规则T(6) x(Q(x)G(x) 规则P(7) Q(y)G(y) (6)US规则，规则T(8) Q(y) F(y) (5)(7)前提三段论，规则T(9) x(Q(x) F(x) (8)UG规则，规则T,例1-8-5 证明 x(P(x)Q(x) xP(x)xQ(x) 证法1： 用反证法，把(xP(x)xQ(x)作为假设前提， 原式转化为证明:x( P(x)Q(x) ) ( xP(x)xQ(x) ) F证法2： 用CP规则，结论可改写为
12、xP(x)xQ(x) xP(x) xQ(x)由CP规则， 把 xP(x) 作为附加前提，原式转化为证明:x(P(x)Q(x) xP(x) xQ(x),证明：(1) xP(x) 附加前提，规则P(2) xP(x) (1)量词转换律，规则T (3) P(c) (4) ES规则，规则T(4) x(P(x)Q(x) 前提，规则P (5) P(c)Q(c) (4)US规则，规则T(6) Q(c) (3)(5)析取三段论，规则T(7) xQ(x) (6)EG规则，规则T由CP规则得：x(P(x)Q(x) xP(x)xQ(x)反证法证明见书例4。,1. 所有有理数是实数。某些有理数是整数。因此，某些 实数是整数。 2. 任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘车。每一个人或者喜欢坐汽车，或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车，因而有的人不爱步行。 3. 每个大学生不是文科生，就是理工科学生。有的大学生是优等生。小张不是理工科学生，但是他是优等生。因而，小张是大学生，那么他就是文科生。,作业 1-8,
