1、2018 届云南省昆明一中高三第一次摸底测试 数学（理）第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 103xA，集合 1BxN，则 AB（ ）A 0,1345 B ,45 C ,45 D 1,3452.如图，正方形 CD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A 14 B 12 C 8 D 43.已知 zi（其中 i是虚数单位） ，则 1z（ ）A1 B0 C D 24.设函数 ()1fx
2、xa的图象关于直线 x对称，则 a的值为（ ）A3 B2 C. 1 D-15.二项式 5()x展开式中的常数项为（ ）A10 B-10 C. 5 D-56.设数列 na的前 项和为 nS，若 2,3na成等差数列，则 5S的值是（ ）A-243 B-242 C.-162 D2437.执行如图所示的程序框图，若输出 的值为 9，则判断框中可填入（ ）A 45?S B 36?S C. 45?S D 5?S8.设 ,xy为正数，且 4xy，当 xpy时， 的值为（ ）A 3log B log C. 3log2 D 3log29.一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正视图、左视图
3、和俯视图均为边长等于 2 的正方形，这个几何体的表面积为（ ）A 1643 B 1645 C. 2043 D 204510.已知函数 ()sin)sin()fxx（ ） ，且 ()f，当 取最小值时，以下命题中假命题是（ ）A函数 ()f的图象关于直线 12对称 B 6x是函数 ()fx的一个零点 C. 函数 ()f的图象可由 3singx的图象向左平移 3个单位得到 D函数 x在 0,12上是增函数11.已知抛物线 :4Cyx的焦点为 F，准线为 l，点 Al，线段 F交抛物线 C于点 B，若 3FA，则 AF（ ）A3 B4 C.6 D712.已知数列 na的前 项和为 nS，且 12a，
4、 142nSa，则数列 na中的 12为（ ）A20480 B49152 C. 60152 D89150第卷二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知向量 (2,1)a， 0b， 52a，则 b 14.若实数 ,xy满足不等式组310xy，则 xy的最大值为 15.已知双曲线 C的中心为坐标原点，点 (2,)F是双曲线 C的一个焦点，过点 F作渐近线的垂线 l，垂足为 M，直线 l交 y轴于点 E，若 3ME，则双曲线 的方程为 16.体积为 183的正三棱锥 ABCD的每个顶点都在半径为 R的球 O的球面上，球心 在此三棱锥内部，且 :2:RBC，点 为线段 的
5、中点，过点 作球 的截面，则所得截面圆面积的最小值是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 A中， ,abc分别是角 ,ABC的对边，且 223acb， a（1 ）求 32的值；（2 ）若 6，求 的面积.18. 如图，在直三棱柱 1中， 09， 2ABC，点 ,MN分别为 1,ACB的中点.（1）证明： /MN平面 1BC；（2 ）若 C，求二面角 NA的余弦值.19. 某市为了解本市 2 万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布 (69,4)，现从某校随机抽取了 50 名学生，将所得成绩
6、整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图.（1 ）估算该校 50 名学生成绩的平均值 x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（2 ）求这 50 名学生成绩在 80,1内的人数；（3 ）现从该校 50 名考生成绩在 的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全市前26 名的人数记为 X，求 的分布列和数学期望 .参考数据：若 2(,)N，则 ()0.682pX， (2)0.954pX(330.974p20. 已知动点 (,)Mxy满足： 22(1)(1)xyxy.（1 ）求动点 的轨迹 E的方程；（2 ）设过点 (1,0)N的直线 l与曲线 交于 ,AB两点，点 关于 x轴的对称
7、点为 C（点 与点 B不重合），证明：直线 BC恒过定点，并求该定点的坐标 .21. 已知函数 ()xfe， 2()agx， （其中 aR， e为自然对数的底数， 2.718e）.（1 ）令 h，若 0h对任意的 x恒成立，求实数 a的值；（2 ）在（1 ）的条件下，设 m为整数，且对于任意正整数 n， 1()nim，求 的最小值.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程极坐标系中， O为极点，半径为 2 的圆 C的圆心坐标为 (2,)6.（1 ）求圆 C的极坐标方程；（2 ）设直角坐标系的原点与极点 重合， x轴非负关轴与
8、极轴重合，直线 l的参数方程为382xty（ t为参数） ，由直线 l上的点向圆 C引切线，求线线长的最小值.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 ()23fxx.（1 ）求不等式 的解集；（2）若不等式 2()6fxa解集非空，求实数 a的取值范围.昆明一中全国联考第一期参考答案参考答案（理科数学）命题、审题组教师 杨昆华 李文清 孙思应 梁云虹 王在方 卢碧如 凹婷波 吕文芬 陈泳序一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C C A B B A C D C B B1. 解析：集合 ,1,AU， 0,1234,，所以 0,145I，选 B.2. 解析
9、：设正方形边长为 2，则圆半径为 1.此时正方形面积为 2.图中黑色部分面积为 2.则此点取自黑色部分的概率为 248，选 C.3. 解析：因为 1iz，所以 1z2，选 C.4. 解析： 2a 所以 3 ，选 A.5. 解析：通项 155215rrrrrTCxCx，令 1502r，所以 3r，所以常数项为350C，选 B.6. 解析：据题意得 23nnSa，当 1时， 1123Sa，所以 12；当 n时，1nn naS，即 n，即 13na，所以数列 na是首项 12，公比 3q的等比数列，所以 5515242aqS，选 B.7. 解析：模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算 19
10、5SL，选 A.8. 解析：可令 4xyt，则 3logxt， 4lyt，由 3xpy得 3334logllog46l2tt，选 C.9. 解析：将三视图还原可得下图，所以 52152S0，选 D.10. 解析： 3sincos3in2fxxx，由 ()03f得 3kZ，即1k，由 0知 的最小值是 2，当 取得最小值时， sin2fxx.由3sin23sinf可得出：函数 ()f的图象关于直线 1对称，A 为真；由 i066f可得出： 6x是函数 fx的一个零点，B 为真；将函数 3sin2gxx的图象向左平移 个单位得到 3sin2f的图象，所以 C 为假；由复合函数单调性可得 ()fx在
11、 0,12上是增函数，所以 D 为真，选 C.11. 解析：由已知 B为 AF的三等分点，作 BHl于 （如图） ，则 243BHFK，所以43FH，所以 34，选 B.12. 解析：由 214Sa有 1214a，解得 28a，故 214a，又 214nnnSa ，于是 nn，因此数列 1n是以 为首项，公比为 的等比数列.得 11242nna，于是 12，因此数列 2n是以 为首项， 为公差的等差数列，解得 12nan，na.所以 12495a， 选 B.二、填空题13. 解析：因为 52ab，所以 250ab ，即 250ab，所以 205b 所以5b.14. 解析：如图， xy在点 (4
12、,5)A处取得最大值 9.15. 解析：设双曲线 C的方程为：21xyab，由已知得： FMb，所以243ba，而 224b，所以 23b， 21a，所以双曲线 C的方程：213yx16. 设 BCk，则 0Rk，因为体积为 8的正三棱锥 ABCD的每个顶点都在半径为 R的球O的球面上，所以 213914h，得 24hk.由 223Rhk，得 或324k（舍） ，所以 .由题意知点 E为线段 B的中点，从而在 O中， 4B，6DB，解得 1697E.所以当截面垂直于 O时，截面圆的半径为 1673，故截面圆面积最小值为 9.三、解答题17. 解：（）由223cosacbacB得出： 6B， 由
13、 32ab及正弦定理可得出： siniA，所以 21sini3A， 再由 知 ，所以 为锐角， 1co9， 所以 2sinisinsincosin6CBB （）由 6b及 32ab可得出 4a，所以 132si6322S. 18. 解：（）证明：连接 1AB， 1C，点 M， N分别为 1AC， B 的中点，所以 MN为 的一条中位线， /B，平面 1BC， 1平面 1， 所以 /平面 . （）设 aA1，则 2a， 4822aMN， 42052aCN，由 CMN，得 2C，解得 ，由题意以点 为坐标原点， AB为 x轴， 为 y轴，1A为 z轴建立空间直角坐标系.可得 )0,(， )0,2(
14、， )2,1(N， )2,10(M，故 ），（ 1AN， ），（AC， ），（ ， ）2,10(C，设 ），（ zyxm为平面 的一个法向量，则0AC，得 102（ ， ， ），同理可得平面 MN的一个法向量为 32n（ ， ， ），设二面角 MNA的平面角为 ，nm,cos15320，,，所以，二面角 MCNA的余弦值为 15. 19. 解：（） 450.8.2650.37.2850.19.86.2x （） 0.8.121. （） P33=0.974X，则 .4P900.132X.6.所以该市前 2名的学生听写考试成绩在 分以上.上述 50名考生成绩中 90分以上的有 4508人.随机变量
15、,1X.于是2610P=3C，6421085X，4210P=C.X的分布列： X012P385数学期望 14021E. 20. 解：（）由已知，动点 M到点 (,0)P， (1,)Q的距离之和为 2，且 2PQ，所以动点 M的轨迹为椭圆，而 2a， 1c，所以 b，所以，动点 的轨迹 E的方程：21xy. （）设 1(,)Axy， 2(,)By，则 1(,)C，由已知得直线 l的斜率存在，设斜率为 k，则直线 l的方程为：yk由 2()1x得 22()40kxk，所以2124k，21k， 直线 BC的方程为： 212()yx，所以 2121yxy，令 0y，则 12111222()()xkxyk ，所以直线 B与 轴交于定点 ,0D. 21. 解：（）因为 ()1gxa所以 ()e1xha，由 0对任意的 R恒成立，即 min()0hx，由 ()exha，（1）当 0时， ()e0xha， ()hx的单调递增区间为 ,，所以 (,)x时， ，所以不满足题意.（2）当 0a时，由 ()e0xha，得 lnxa(,ln)x时， ， (l,)时， ()0h，所以 h在区间 (,ln)上单调递减，在区间 l,上单调递增，所以 ()x的最小值为 lln1ha . 设 ln1a，所以 ()0， 因为 ()l令 ln0a得 1a，
