1、 图 形 的 相 似 难 题 选1.（ 2014广东，第 25题 9分）如图，在 ABC中， AB=AC， AD AB于点D， BC=10cm， AD=8cm点 P从点 B出发，在线段 BC上以每秒 3cm的速度向点 C匀速运动，与此同时，垂直于 AD的直线 m从底边 BC出发，以每秒 2cm的速度沿 DA方向匀速平移，分别交 AB、 AC、 AD于 E、 F、 H，当点 P到达点 C时，点 P与直线 m同时停止运动，设运动时间为 t秒（ t0） （1）当 t=2时，连接 DE、 DF，求证：四边形 AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的 PEF的面积存在最大值，当 PEF的面积最大
2、时，求线段 BP的长；（3）是否存在某一时刻 t，使 PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻 t的值；若不存在，请说明理由考点：相似形综合题分析：（1）如答图 1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图 2所示，首先求出 PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图 3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解解答：（1）证明：当 t=2时， DH=AH=2，则 H为 AD的中点，如答图 1所示又 EF AD， EF为 AD的垂直平分线， AE=DE， AF=DF AB=AC， AD AB于点D， AD BC， B=C EF BC， AEF= B， AFE= C， AEF= A
3、FE， AE=AF， AE=AF=DE=DF，即四边形 AEDF为菱形（2）解：如答图 2所示，由（1）知 EF BC， AEF ABC， ，即 ，解得： EF=10 tS PEF= EFDH= （10 t）2 t= t2+10t= （ t2） 2+10当 t=2秒时， S PEF存在最大值，最大值为 10，此时 BP=3t=6（3）解：存在理由如下：若点 E为直角顶点，如答图 3所示，此时 PE AD， PE=DH=2t， BP=3t PE AD， ，即 ，此比例式不成立，故此种情形不存在；若点 F为直角顶点，如答图 3所示，此时PE AD， PF=DH=2t， BP=3t， CP=103
4、t PF AD， ，即 ，解得 t=；若点 P为直角顶点，如答图 3所示过点 E作 EM BC于点 M，过点 F作 FN BC于点N，则 EM=FN=DH=2t， EM FN AD EM AD， ，即 ，解得 BM= t， PM=BP BM=3t t= t在 Rt EMP中，由勾股定理得： PE2=EM2+PM2=（2 t） 2+（ t） 2=t2 FN AD， ，即 ，解得CN= t， PN=BC BP CN=103 t t=10 t在 Rt FNP中，由勾股定理得： PF2=FN2+PN2=（2 t） 2+（10 t） 2= t285 t+100在 Rt PEF中，由勾股定理得： EF2=
5、PE2+PF2，即：（10 t）2=（ t2）+（ t285 t+100）化简得： t235 t=0，解得： t= 或 t=0（舍去） t= 综上所述，当 t= 秒或 t= 秒时， PEF为直角三角形点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想2.(2014年四川资阳，第 23题 11分)如图，已知直线l1 l2，线段 AB在直线 l1上， BC垂直于 l1交 l2于点C，且 AB=BC， P是线段 BC上异于两端点的一点，
6、过点 P的直线分别交 l2、 l1于点D、 E（点 A、 E位于点 B的两侧） ，满足 BP=BE，连接 AP、 CE（1）求证： ABP CBE；（2）连结 AD、 BD， BD与 AP相交于点 F如图 2当 =2时，求证： AP BD；当 =n（ n1）时，设 PAD的面积为 S1， PCE的面积为 S2，求 的值考点： 相似形综合题分析： （1）求出 ABP= CBE，根据 SAS推出即可；（2）延长 AP交 CE于点 H，求出 AP CE，证出 CPD BPE，推出 DP=PE，求出平行四边形 BDCE，推出 CE BD即可；分别用 S表示出 PAD和 PCE的面积，代入求出即可解答：
7、 （1）证明： BC直线 l1， ABP= CBE，在 ABP和 CBE中 ABP CBE（ SAS） ；（2）证明：延长 AP交 CE于点 H， ABPCBE， PAB= ECB， PAB+ AEE= ECB+ AEH=90， AP CE， =2，即 P为 BC的中点，直线 l1直线 l2， CPD BPE， = = ， DP=PE，四边形 BDCE是平行四边形， CE BD， AP CE， AP BD；解： =N BC=nBP， CP=（ n1）BP， CD BE， CPD BPE， = =n1，即 S2=（ n1） S， S PAB=SBCE=nS， PAE=（ n+1） S， = =n
8、1， S1=（ n+1） （ n1） S， = =n+1点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度3.（2014武汉，第 24题 10分）如图， Rt ABC中， ACB=90， AC=6cm， BC=8cm，动点 P从点 B出发，在 BA边上以每秒 5cm的速度向点A匀速运动，同时动点 Q从点 C出发，在 CB边上以每秒 4cm的速度向点 B匀速运动，运动时间为 t秒（0 t2），连接 PQ（1）若 BPQ与 ABC相似，求 t的值；（2）连接 AQ， CP，若 AQ CP，求 t的值；（
9、3）试证明： PQ的中点在 ABC的一条中位线上考点：相似形综合题分析：（1）分两种情况讨论：当 BPQ BAC时， = ，当 BPQ BCA时， =，再根据 BP=5t， QC=4t， AB=10cm， BC=8cm，代入计算即可；（2）过 P作 PM BC于点M， AQ， CP交于点 N，则有 PB=5t， PM=3t， MC=84 t，根据 ACQ CMP，得出 = ，代入计算即可；（3）作 PE AC于点 E， DF AC于点 F，先得出 DF= ，再把 QC=4t， PE=8 BM=84 t代入求出 DF，过 BC的中点 R作直线平行于 AC，得出 RC=DF， D在过 R的中位线上
10、，从而证出 PQ的中点在 ABC的一条中位线上解答：解：（1）当 BPQ BAC时， =， BP=5t， QC=4t， AB=10cm， BC=8cm， = ， t=1；当 BPQ BCA时， = ， = ， t= ， t=1或 时， BPQ与ABC相似；（2）如图所示，过 P作 PM BC于点 M， AQ， CP交于点 N，则有PB=5t， PM=3t， MC=84 t， NAC+ NCA=90， PCM+ NCA=90， NAC= PCM且 ACQ= PMC=90， ACQ CMP， = ， = ，解得： t= ；（3）如图，仍有 PM BC于点 M， PQ的中点设为 D点，再作 PE A
11、C于点 E， DF AC于点F， ACB=90， DF为梯形 PECQ的中位线， DF= ， QC=4t， PE=8 BM=84 t， DF= =4， BC=8，过 BC的中点 R作直线平行于AC， RC=DF=4成立， D在过 R的中位线上， PQ的中点在 ABC的一条中位线上点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质等，关键是画出图形作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况讨论4 （2014四川自贡，第 23题 12分）阅读理解：如图，在四边形 ABCD的边 AB上任取一点 E（点 E不与 A、 B重合） ，分别连接 ED、 EC，可以把四边形 ABCD
12、分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把 E叫做四边形ABCD的边 AB上的“相似点” ；如果这三个三角形都相似，我们就把 E叫做四边形 ABCD的边 AB上的“强相似点” 解决问题：（1）如图， A= B= DEC=45，试判断点 E是否是四边形 ABCD的边 AB上的相似点，并说明理由；（2）如图，在矩形 ABCD中， A、 B、 C、 D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为 1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形 ABCD的边 AB上的强相似点；（3）如图，将矩形 ABCD沿 CM折叠，使点 D落在 AB边上的点 E处，若点 E恰好是四边形 ABCM的
13、边 AB上的一个强相似点，试探究 AB与 BC的数量关系考点：相似形综合题分析：（1）要证明点 E是四边形 ABCD的 AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明 ADE BEC，所以问题得解（2）以 CD为直径画弧，取该弧与 AB的一个交点即为所求；（3）因为点 E是矩形 ABCD的 AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出 AE和 BE的数量关系，从而可求出解解答：解：（1） A= B= DEC=45， AED+ ADE=135， AED+ CEB=135 ADE= CEB，在 ADE和 BCE中， ADE BCE，点 E是
14、否是四边形 ABCD的边 AB上的相似点（2）如图所示：点 E是四边形 ABCD的边 AB上的相似点，（3）点 E是四边形 ABCM的边 AB上的一个强相似点， AEM BCE ECM， BCE= ECM= AEM由折叠可知： ECM DCM， ECM= DCM， CE=CD， BCE= BCD=30， BE= ，在 Rt BCE中， tan BCE= =tan30= ， 点评：本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读懂题目信息，理解全相似点的定义，判断出 CED=90，从而确定作以 CD为直径的圆是解题的关键5.（2014扬州，第 28题，12 分）已知矩形 AB
15、CD的一条边 AD=8，将矩形 ABCD折叠，使得顶点 B落在 CD边上的 P点处（第 6题图）（1）如图 1，已知折痕与边 BC交于点 O，连结 AP、 OP、 OA求证： OCP PDA；若 OCP与 PDA的面积比为 1：4，求边 AB的长；（2）若图 1中的点 P恰好是 CD边的中点，求 OAB的度数；（3）如图 2， ，擦去折痕 AO、线段 OP，连结 BP动点 M在线段 AP上（点 M与点 P、 A不重合） ，动点 N在线段 AB的延长线上，且BN=PM，连结 MN交 PB于点 F，作 ME BP于点 E试问当点 M、 N在移动过程中，线段 EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由
16、；若不变，求出线段 EF的长度考点：相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；特殊角的三角函数值专题：综合题；动点型；探究型分析：（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质求出 PC长以及 AP与 OP的关系，然后在 Rt PCO中运用勾股定理求出 OP长，从而求出 AB长 （2）由 DP= DC= AB= AP及 D=90，利用三角函数即可求出 DAP的度数，进而求出 OAB的度数 （3）由边相等常常联想到全等，但 BN与 PM所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角
17、形全等及等腰三角形的性质即可推出 EF是 PB的一半，只需求出 PB长就可以求出 EF长解答：解：（1）如图 1，四边形 ABCD是矩形， AD=BC， DC=AB， DAB= B= C= D=90由折叠可得： AP=AB， PO=BO， PAO= BAO APO=B APO=90 APD=90 CPO= POC D= C， APD= POC OCP PDA OCP与 PDA的面积比为1：4， = = = = PD=2OC， PA=2OP， DA=2CP AD=8， CP=4， BC=8设 OP=x，则 OB=x， CO=8 x在 Rt PCO中， C=90，CP=4， OP=x， CO=8
18、x， x2=（8 x） 2+42解得： x=5 AB=AP=2OP=10边 AB的长为10（2）如图 1， P是 CD边的中点， DP= DC DC=AB， AB=AP， DP= AP D=90， sin DAP= = DAP=30 DAB=90， PAO= BAO， DAP=30， OAB=30 OAB的度数为 30（3）作 MQ AN，交 PB于点 Q，如图2 AP=AB， MQ AN， APB= ABP， ABP= MQP APB= MQP MP=MQ MP=MQ， ME PQ， PE=EQ= PQ BN=PM， MP=MQ， BN=QM MQ AN， QMF= BNF在 MFQ和 NF
19、B中， MFQNFB QF=BF QF= QB EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB由（1）中的结论可得：PC=4， BC=8， C=90 PB= =4 EF= PB=2在（1）的条件下，当点 M、 N在移动过程中，线段 EF的长度不变，长度为 2 点评：本题是一道运动变化类的题目，考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键6.（2014滨州，第 25题 12分）如图，矩形 ABCD中， AB=20， BC=10，点 P为 AB边上一动点， OP交 A
20、C于点 Q（1）求证： APQ CDQ；（2） P点从 A点出发沿 AB边以每秒 1个单位长度的速度向 B点移动，移动时间为 t秒当 t为何值时， DP AC？设 S APQ+S DCQ=y，写出 y与 t之间的函数解析式，并探究 P点运动到第几秒到第几秒之间时， y取得最小值考点：相似形综合题分析：（1）求证相似，证两对角相等即可，因为平行，易找，易证（2）当垂直时，易得三角形相似，故有相似边成比例，由题中已知矩形边长则 AP长已知，故 t易知因为 S APQ+S DCQ=y，故求 S APQ和 S DCQ是解决问题的关键，观察无固定组合规则图象，则考虑作高分别求取考虑两高在同一直线上，且相
21、加恰为 10，故可由（1）相似结论得，高的比等于对应边长比，设其中一高为 h，即可求得，则易表示 y= ，注意要考虑 t的取值讨论何时 y最小， y= 不是我们学过的函数类型，故无法用最值性质来讨论，回观察题目问法为“探究 P点运动到第几秒到第几秒之间时”，1并不是我们常规的在确定时间最小，2时间问的整数秒故可考虑将所有可能的秒全部算出，再观察数据探究函数的变化找结论解答：（1）证明：四边形 ABCD是矩形， AB CD， QPA= QDC， QAP= QCD， APQ CDQ（2）解：当 DP AC时， QCD+ QDC=90， ADQ+ QCD=90， DCA= ADP， ADC= DAP
22、=90， ADC PAD， = ， ，解得 PA=5， t=5设 ADP的边 AP上的高 h，则 QDC的边 DC上的高为 10 h APQ CDQ， = = ，解得 h= ，10 h= ， S APQ= = ， S DCQ= = ， y=S APQ+S DCQ= + = （0 t20）探究：t=0， y=100； t=1， y95.48； t=2， y91.82； t=3， y88.91； t=4， y86.67；t=5， y=85； t=6， y83.85； t=7， y83.15； t=8， y82.86； t=9， y82.93；t=10， y83.33； t=11， y84.03；
23、t=12， y=85； t=13， y86.21； t=14， y87.65；t=15， y89.29； t=16， y91.11； t=17， y93.11； t=18， y95.26； t=19， y97.56；t=20， y=100；观察数据知：当 0 t8 时， y随 t的增大而减小；当 9 t20 时， y随 t的增大而增大；故 y在第 8秒到第 9秒之间取得最小值点评：本题主要考查了三角形相似及相似图形性质等问题，（2）是一道非常新颖的考点，它考察了考生对函数本身的理解，作为未知函数类型如何探索其变化趋势是非常需要学生能力的总体来说，本题是一道非常好、非常新的题目7 （2014 年
24、山东泰安，第 28题）如图，在四边形 ABCD中， AB=AD， AC与 BD交于点E， ADB= ACB （1）求证： = ；（2）若 AB AC， AE： EC=1：2， F是 BC中点，求证：四边形 ABFD是菱形分析：（1）利用相似三角形的判定得出 ABE ACB，进而求出答案；（2）首先证明 AD=BF，进而得出 AD BF，即可得出四边形 ABFD是平行四边形，再利用AD=AB，得出四边形 ABFD是菱形证明：（1） AB=AD， ADB= ABE，又 ADB= ACB， ABE= ACB，又 BAE= CAB， ABE ACB， = ，又 AB=AD， = ；（2）设 AE=x，
25、 AE： EC=1：2， EC=2x，由（1）得： AB2=AEAC， AB= x，又 BA AC， BC=2 x， ACB=30， F是 BC中点， BF= x， BF=AB=AD，又 ADB= ACB= ABD， ADB= CBD=30， AD BF，四边形 ABFD是平行四边形，又 AD=AB，四边形 ABFD是菱形点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，得出ABE ACB是解题关键8.如图,平行四边形 ABCD 中,AB:BC=3:2,DAB=60,E 在 AB 上,且 AE:EB=1:2,F是 BC 的中点 ,过 D 分别作 DPAF 于 P,DQCE 于 Q,则 DP:DQ 等于( )A.3:4 B. C. D.
