1、2018 北京市第十五中学届高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）考生注意：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。全卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟。请将第卷的答案填涂在机读卡上，第卷的答案作答在答题纸上。第卷 （选择题，共 60 分）一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分；把答案填涂在机读卡上）1. 设集合 Ax| x 2，B x|x21，则 AB ( )A. x| 1x2 B. x| x1 C. x|x2 D. x|1x2【答案】A【解析】此题考查集合的运算解:集合 可化为 ,又 A=x- x2,故 AB=x-1x2.答案：A2. 复数
2、 的虚部为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】复数 .虚部为 .故选 A.3. 函数 的定义域是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数 中有： ，解得 .所以定义域为 .故选 D.4. 在平面直角坐标系 中，已知 ， ， ，则 的值为 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】在平面直角坐标系 中，已知 ， ， ，则 .所以 .故选 B.5. 已知数列 的前 项和 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】数列 的前 项和 ，.故选 D.6. 的值为 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 .故选 C.7. “ ”是“函数 在 内存在零点”
3、的 ( )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数 在 内存在零点，则 ，解得 或 .所以“ ”是“函数 在 内存在零点”的充分而不必要条件.故选 A.点睛：解本题的关键是处理二次函数在区间上的零点问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：一是，开口；二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；三是，判别式，决定于 x 轴的交点个数；四是，区间端点值.8. 一张报纸，其厚度为 a，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)7 次，这时，报纸的厚度为 ( )A. 8a B. 64a C. 128a D. 256a【答案】C
4、【解析】折一次是这张纸的 2a，折两次就是这张纸的 22a，折三次就是这张纸的 23a，则这张纸连续对折 7 次时就是 27a=128a；故选 C.9. 直线 y4x 与曲线 yx 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A. 2 B. 4C. 2 D. 4【答案】D【解析】试题分析：根据定积分的意义，可知所求的封闭图像的面积为 ，故选 C考点：利用定积分求面积10. 若 a，b 均为大于 1 的正数，且 ab100，则 lg alg b 的最大值是( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】B【解析】由 ab100，得 lg a+lg b=lg 100=2.当且仅当 时，lg alg
5、 b 取得最大值 1.故选 B.11. 某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题设中提供的正视图可推知：该几何体有一个侧面是垂直于底面的，且右侧面是垂直于底面，而答案 B 中俯视图则表明该几何体的左侧面是垂直于底面的，与正视图不符，所以答案 B 是错误的，应选答案 B。12. 某地某年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是( )A. 计算机行业好于化工行业. C.建筑行业好于物流行业.B. 机械行业最紧张. D.营销
6、行业比贸易行业紧张.【答案】B【解析】用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，建筑行业招聘人数是 76516，而应聘人数没有排在前五位，小于 65280，建筑行业人才是供不应求，物流行业应聘人数是 74570，而招聘人数不在前五位，要小于 70436，物流行业是供大于求，就业形势是建筑行业好于物流行业，故选 B.第卷 （非选择题，共 25 分）二、填空题：（本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案作答在答题纸上）13. 等差数列a n中，若 a2a 82，则 a5_【答案】1【解析】等差数列a n中，若 a2a 82a 5=2，所以 a51.答案为：1
7、.14. 已知函数 ，则 ff(3)_【答案】2【解析】函数 ，.答案为：2.15. 函数 的单调递增区间是_【答案】【解析】求函数 的单调递增区间，令 .解得 .所以增区间是 .答案为： .点睛：研究三角函数 的性质，最小正周期为 ，最大值为 .求对称轴只需令 ，求解即可，求对称中心只需令 ，单调性均为利用整体换元思想求解.16. 设 ,其中实数 满足 ,若 的最大值为 12,则实数 _【答案】2【解析】作出可行域(如图)，其中 A(4，4) ，B(0，2)，C(2 ，0)过原点作出直线 kx+y=0 k=0 时，y=0 ，目标函数 z=y 在点 A 处取得最大值 4，与题意不符 即 时，直
8、线 kx+y=0 即 y=kx 经过一、三象限，平移直线 y=kx 可知，目标函数z=kx+y 在点 A 处取得最大值，即 ，此时 k=2 与 不符;k 即 k0 时，直线 kx+y=0 即 y=kx 经过二、四象限，平移直线 y=kx 可知，目标函数 z=kx+y 在点 A 处取得最大值，即 ，此时 k=2 与 k0 相符，所以 k=217. 已知 95 个数 a1，a 2，a 3， ，a 95， 则 a1a2+a1a3+a94a95的最小正值是_【答案】13【解析】根据题意,令 t= a1a2+a1a3+a94a95则 2t=2(a1a2+a1a3+a94a95)=(a1+a2+a95)2
9、(a12+a22+a952)，又由 a1,a2,a95 每个都只能取+1 或1 两个值之一,则 a12+a22+a952=95即 2t=(a1+a2+a95)295，要使 t 取最小正数,t 中(a 1+a2+a95)2 大于 95 即可，而 a1+a2+a95 为奇数个1、1 的和，不会得偶数，则要使所求值取最小正数,须使(a 1+a2+a95)=11，因此 t 的最小值为 .故答案为：13.三、解答题：（本大题共 5 个小题，共 65 分）18. 已知函数 （）求函数 的最小正周期；（）求函数 在区间 上的最大值和最小值【答案】 （）最小正周期 ；（）最大值为 ，最小值为-1.【解析】试题
10、分析：（1）利用正弦函数的两角和与差的公式、二倍角的余弦公式与辅助角公式将化为 ，利用周期公式即可求得函数 的最小正周期；（2）可分析得到函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，从而可求得 在区间 上的最大值和最小值.试题解析：(1) f(x)sin 2 xcos cos 2 xsin sin 2 xcos cos 2 xsin cos 2 xsin 2 xcos 2 x sin . 所以， f(x)的最小正周期 T . (2)因为 f(x)在区间 上是增函数，在区间 上是减函数又 ，故函数 f(x)在区间 上的最大值为 ，最小值为1.19. 已知 中，内角 ， ， 的对边分别为， ，
11、， ， ， （）求的值；（）求 的面积【答案】 （） ；（） .【解析】试题分析：（）在 中， ，由 ，求得 ，再由正弦定理 ，即可得的值；（）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出.试题解析：（）在 中， ，且 ，所以 因为 ，且 ， ， 所以 所以 （）因为 ，所以 ， 所以 或 （舍） 所以 20. 如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ， 为棱 中点. ， ， （）求证： /平面 ；（）求证： 平面 ；（）在棱 的上是否存在点 ，使得平面 平面 ？如果存在，求此时 的值；如果不存在，说明理由【答案】 （）见解析；（）见解析；（）见解析.【解析】试题分析：（）连结 AB1 交 A1B 于
12、O，连结 OM，可证 OMB1C，又 OM平面 A1BM，B1C平面A1BM，即可证明 B1C平面 A1BM（）易证 AA1BM，又可证 BMAC1，由 AC=2，AM=1， ，可求AC1C+C1AC=A1MA+C1AC=90，从而可证 A1MAC1，从而证明 AC1平面 A1BM试题解析：（I）证明：连接 交 于 点，连接 ，在 中， ， 分别是 ， 中点， 又 平面 ，平面 ， 平面 （II） 底面 ，平面 ， ，又 为棱 中点， ， 点， 平面 ， ， 为 中点， ， ，又 在 与 中， ， ， ， 点， 平面 （III）存在点 ，当 时成立，设 中点为 ，连接 ， ， ， 分别为 ， 中点， ， 为 中点， ， ， 平面 ， 平面 ，又 平面 平面 平面 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.21. 设 是 在点 处的切线（）求 的解析式；
