1、高等代数第一学期试题库一、选择题(每题 3 分)第一章：多项式1在有理数域内，下列多项式那一个是不可约的 【 】(A) (B) 3x 136x(C) (D)12622多项式 有重根的条件 【 】0,23qpx(A) ; (B) 74q 1274pq3(C) (D)123p33. 数域 P 上多项式 中两个多项式 ，则x)(,xgf1)(,)(, vuPvu是 互素的（ ）条件 【 】)(,xgf(A)充分必要 (B)充分 (C)必要 (D)及非充分也非必要4、多项式 被 除余 ，被 除余 ，则 = 【 】)(xf12x123x2)(xf(A) (B) 34f3)(4(C) (D) 2)(xxf
2、 2xx5、数域 P 上多项式 中多项式 ， 是 )(,)(dgf )(,gf的最大公因式充分必要条件是 【 】(A) ,)(,)(,)( xPvxugxdf vu(B) 1)()(,)(,)(,)( xgvfxuxvxfx(C) )()()(,)(, xdgxvfuxPvxu(D) gdf6、有理系数方程 的有理根是 【 】0145623xx(A)1; (B)-1; (C)2; (D)-2;7、用 除 , ,则商 与余式 【 】)(gf 2)(,)(4xg)(xq)(r75)(,1)(;75)(,1)( 22 qDxrxqCBA8、 与 的最大公因式 【 】fg 24624)(,0)( 32
3、4 xxxx(A) (B) ;1)(,f ;1)(,gf(C) (D)1;2,xxg9、设 的最大公因式是一个二次多项式，utxutf 33 )(,)()(（ ） 。 【 】ut,(A (B);04 ;0,4t(C) (D)1,t 2u10多项式 在实数域内可分解为 【 】45623xx(A) (B) )7)( )74)(2xx(C) (D) 211、 的有理根 【 】154x1)(;)(;,)(;,1)( DCBA12、如果 ，则 为 【 】,242BA,(A) (B) (C) (D) ,21,0BA13、a=( ),b=( )时，f(x)能被 g(x)整除。【 】1)(,63)( 224
4、xgbaxxf(A) (B) 1,9b a(C) (D) 3,7ab0ab14、 适合（ ）时，有 ； 【 】qpm, qpxmx32|1,)(;,1)( 1,22 pDCBA。二、填空题(每题 5 分)1.如果多项式 在有理数域 上可约，则 （ ）1(3axf Qa2实系数多项式 有重根的条件（ ）b3 在有理数域内因式分解 （ ）01562xx4. 的最大公因式 （ ）2334 )1()(,1)()( xxgf5. （ ）36x。6 ,在有理数域内是否可约的？（ ）pp,17.当 = （ ） 时， 有重根.t 13)(2txxf8.多项式 在复数范围内的因式分解为( ) 4x9. 在有理数
5、域内因式分解( )9623三、计算题1、 （本题 10 分，中）设多项式 f(x)除以 的余式分别为 x+4， x+8，求 f(x)除以2,12x的余式。)2(2x2、 （本题 10 分，中）设 是方程 的三个根，计算321,0876523xx).)()( 31221 第四题：证明题1、 （本题 10 分，中）设 是整系数多项式,且 P(0) 及 P(1)都是奇数,证明 没有整数根。)(xp 0)(xp2、 （本题 10 分，基础）证明：如果 ，且 为 与 的一个组合，)(|),(|xgdf )(dfg那么 是 与 的一个最大公因式.)(xdf)(xg3、 （本题 10 分，基础）证明：如果
6、那么),()(1(3232xffx).1(),(21fxfx4、 （本题 10 分，基础）证明：三次方程 的三个根成等差数列的充要条件03213axx为 .02792313aa5、 （本题 10 分，难）设 都是数域 P 上多项式，满足)(,)(xhgf 0)(2)(1)(2 gfxh证明： 是 与 的公因式。1xfg6、 （本题 10 分，难）设 都是大于 1 的整数，nm,)(1xf ,1)(xn证明： ,gx7、 （本题 10 分，基础）如果 那么),(1nxf ).(nnxf8、 （本题 10 分，基础）设 且 ，证明()1dgcgbaf 0bca(),(),(1xgfxgf9、 （本
7、题 10 分，基础）设 数域,证明：在数域 P 中，若Pxf),33)()(xgf，则 。)(xf10、 （本题 10 分，基础）证明：次数 0 且首项系数为 1 的多项式 是某一不可约多项式的方)(xf幂的充分必要条件是对任意的多项式 由 可以推出 ,或者对某),(xhg)(hgf )(xgf一正整数 , .m)(xhfm第二章：行列式1 【 】xaxaDn(A) (B) 1)()nx naxn)()1(C) (D)0xn2、 ),(B),2,(A1232431 【 】 ACC4051(A)8; (B)7; (C)6; (D)53、设 A 为 矩阵，B 为 矩阵，且 ，则|AB|= 【 】n
8、mmn(A) (B)1 (C)2 (D) 0 64、若 是线性无关的 3 位列向量，则下列行列式等于零的是 【 】321,(A) (B)( 312321,(C) (D)321321,5、设 为 阶方阵，满足 ，则必有 【 】An05EA(A) (B)0E14(C) (D) 14,EA6、设 为 n 阶方阵， ， ，则 【 】A092E(A) (B) 3 (C) (D) 3337、 【 】)(7654321890(A)1; (B)2; (C)0; (D)38 ， 【 】032311maD 32312114aaD(A)-3m; (B )3m; (C)12m; (D)-12m;9 = 【 】2222
9、2222 )3()()1()()()(ddccbbaa(A) (B) (C) (D) 0abb610、设矩阵 则 【 】,BAn 05AabAn10)(ab10)(abCn1)( abCn10)(211、设 3 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 ,且 , 【 】2AA)31(A) (B) (C) (D) 2761677612、 成奇排列，则 【 】954ki 9,3)(;5,4)(;9,2)(;8,3)( kiDkiCiB13、排列 的逆序数 【 】061(A)2; (B)10; (C)8; (D)914、设 为 n 阶方阵， ，则 = 【 】CA, BOA*(A) (B) (C)0 (D) 12Bn
10、 1nAC15、设 A,B 是 3 阶矩阵， ， ，则 =【 】AE21021B； ; ; 15)(A15)(B0)(C5)(D16、设 ,C 为 n 阶方阵 = 【 】,2;)1(;2)( ACnnDBA2117、在 阶行列式中， 这两项应带有什么符号？6 2561436514231;aaa【 】(A)+,+; (B)+,-; (C)-,-; (D)-,+18、 【 】1)(00201AnnA 0)(;!)(;!1)(;!1)( DCB19、矩阵 可逆，则 【 】2.1.2aA;)(na ;1)(naB1CD20、 【 】*201200AnnA (A) (B) (C) (D)1;!;! ;)
11、!()1(2121nn21、 = 【 】xyyxy00 (A) (B);)1(nnx ;nyx(C) (D)y22、已知 ,且 , 为实数， ，则 【 】A2013142A01A(A) (B) (C) (D) 0。 323、 【 】xzzyxyz (A) (B)3 (C) 2 (D) 4yxnn)()(24、 = 【 】n 2321(A) (B) (C) (D);)!(n;!;)!2(n1!n25、A 是 5 阶方阵， 【 】*5A(A) ; (B) ; (C) ; (D)2420830526、行列式 的第四行代数余子式之和 【 】43210(A)0; (B)1; (C)2; (D)327、
12、【 】222111bacb 221122112211 3)(;0;)(;)( cbaDCcBcaA28、D= ,则 D 的第四行元素的余子式之和 【 】2350704(A)-20 (B)-28 (C)0 (D)329、 , 【 】54301AEA(A)1 (B)2 (C)0 (D)3第二题：填空题1设 则 =( ),41320),(4321 A 4213,2 （ ）nnn abaabaab 3213211,0,3 ，则 （ ） 1,2BOACBA *C4设三维向量组满足 ，则 （ ） 0321),(3215已知 A 为三阶方阵，且满足 ，则 （ ） 5AEAE6若 ，则 （ ） T,432,0
13、17设 为 4 阶方阵， ，设 为 的第 个列向量， ，则A1kA),(4321A（ ）4213,8 ，A 为三阶矩阵，TTT)0,(,)(,)( ,，则 （ ） 3A29、 ),(421 ),93,42,( 43211321B，如果 ，则 ( ) 10、 ，矩阵 B 满足 ，其中 为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，102AEBA*2*则 ( ) B11、设 3 维向量组满足 ， ( )3211,321 )3,2(12、已知 4 阶行列式 D 的第三行元素分别为 ，第四行元素对应的余子式依次为4,2012，20，a，4，则 a=（ ） 13、 （ ） 1210010naxxa 14、已知 阶
14、矩阵 （ ） nAEA015、 ，则 （ ） 1,30211PP EA2416、 （ ） 122ba17、设 是 的三个解， ，则 = （ ） 321,Ax ,)432,1(,)876,5(21 TTA18、设 A、B 都是 4 阶方阵， ,3, 432AB是 4 维列向量，则 （ ） 3232, B19、 ，A 为三阶矩阵，TTT)0,1(,)(,)1(,A，则 （ ）AE220、 均为 阶方阵， ，则 （ ） B,n3,B1*221、设 ，则 X= （ ） ； （ ） 12010XX22、设 则 = （ ） ,4132A2A23、设 阶方阵 A 的每一行元素之和都等于 0，则 （ ） n
15、A24、 ，则2)(,3210,02, 3 xxfCBCA )(Af（ ）25、设三维向量组满足 ，则 （ ） 321)4,(32126、 （ ）02154321edcbbaa27、设 ，则 （ ） 3231321,),(AA ),(32128、 （ ） 2405030 XX29、设 为 阶矩阵， 为 的伴随矩阵，且 ， = （ ）An*A31|A*154A30、 ，矩阵 B 满足 ，其中 为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，102EB*2*则 ( )13B31、 是 矩阵， 是 4 维列向量，),(, 432432 BA32,)-14。32、设 A 为 3 阶方阵,且 ,则81A).(213
16、3、 ，则 的系数（ ） ， 的系数（ ）443424133 22141312)( axaxxf 43x34、 = ( )yx1135、 = （ ） 1)2(232AnA 36、n 阶行列式 ( )21000210 nD三、计算题1(本题 8 分，基础) ，求 .3214532A14312M2、(本题 8 分，基础)计算 阶行列式 .n 1212 nnD3、(本题 10 分，基础) ，计算 .12345043421AA4、(本题 10 分，基础) ，求 .32010A 3541321,AA5、(本题 10 分，中)设 为常数.baAaEaAijnij ,1,)( 。6、(本题 10 分，基础)
17、D= ,求 D 的第四行元素的余子式之和.2350747、 （本题 10 分，难）计算行列式 nnn nnnnxxxxD 321 1133231 2221318、(本题 10 分，中)计算 .1215432nnD第四题证明题：（本题 10 分，中）证明：行列式 为互不相同的数）的充要条件是),(033。0第三章：线性方程组1设 n 维向量组 线性无关，n 维向量组 线性无关的充)(,21m )(,21nm要条件是矩阵 与矩阵 【 】(A),(21mB(A)等价 (B)合同(C) 一个小于 n,一个等于 n (D) )(,Br nrA)(2A 是 阶矩阵， ，且 是齐次线性方程组 的两个不同解，
18、则nm1)(Ar2,0x的通解 【 0x】(A) (B) )(21k )(21k(B) (D) 3若 线性无关，则下列向量组线性无关的是 【 】321,(A) (B)321 312321,(C) (D)321, 4设 满足 ，则 【 】0,31321 kk(A) 线性相关 (B) 线性无关321,1,(C) 与 等价 (D)都不对15齐次线性方程组 的系数矩阵为 ，若存在三阶矩阵 ，使 ，03212txtt A0BA则必有 【 】(A) (B) 0,2Bt 0,2Bt(C) (D) 116设 为数域 各行元素之和等于 0 的 n 阶方阵，且 ，则 的通解为 【 】AP1)(nAr0x(A) (
19、B)RkkT,),( PkkT,(C) (D)Z1 Q)17设 n 维列向量组 ，则 线性无关的充要条件是,2(),(12nittniii n,21【 】jitAji,)( nitBi ,21,0)(nCi ,210Di8 ， 均为 4 维列向量， 线性无关，),(43321,432,，如果 ，则线性方程组 的通解 21Ax【 】10)(kA 102)(kB102)(kC102)(kD9. 是四阶方阵，若 ，A2)(Ar),(,43, ,则 的通解是 【 】0x(A) (B) )4,2(k),2(k(C) (D) 3ll 4010若 线性相关，则 【 】m,21(A)最大线性无关组所含向量个数
20、小于 m； (B)最大线性无关组所含向量个数大于 m(C)最大线性无关组所含向量个数等于 m； (D)都不对11若 ，则齐次线性方程组 【 】IA,2 0Ax(A)只有零解 (B)无解 (C) 有非零解 (D)都不对12. 有解， 无解，设Xr1,)( BYr2,)(,Bn2,n1 rn21n,21，则 【 】(A) (B);r21 ;r21(C) (D);1r2 .1r213.A 是 矩阵， B 是 矩阵，已知 有解，则 【 】nmsBAX。0)(D;0)(C);()(;)(A Brr14.向量组(*) 其秩 ；向量组(*) 其秩 ， 可由向量组(*)s,21 1 s,21 2ri线性表出，
21、则下列正确的是 【 】s,21(A) 的秩 ；s21, 21r(B) 的秩 ；s,(C) , 的秩 ；s21 s,21 21r(D) , 的秩 ；s, s15.设 为 阶非零方阵，且满足 ，则 【 】BAn0ABx(A)有非零解 (B)无解 (C)只有零解 (D)有 n 个线性无关的解向量16.设 A 为 矩阵, ,B 为 矩阵,则下列命题中不正确的是 【 】 544)(r2(A) 有唯一解 (B) 必有无穷多解0XBT 0XBA(C) 有非零解 (D) 必有无穷多解T T17.齐次线性方程组 系数矩阵为 A，若存在三阶矩阵 ，使 ，则必有0321txt 0BA【 】(A) (B) 0,2Bt
22、 0,2Bt(C) (D) 1118.设 A 为 矩阵,且 ,则下列命题中不正确的是 【 】nmnmAr)(A) 只有零解 (B) 有无穷多解0xT 0xT(C) 有唯一解 (D) 有解b, b,19.设 n 维向量组(I) 线性无关,(II) 线性无关，且 不能由sa,21 t,21 ),21(si(II) 线性表出, 不能由(I) 线性表出，则向量组t,21 ),21(tjsa,21【 】sa, t21(A) 一定线性相关 (B)一定线性无关(C)可能线性相关,也可能线性无关 (D)既不组线性相关,又不线性无关20.设 为数域 各行元素之和等于 0 的 n 阶方阵,且 ,则线性方程组 的通
23、解为AP1)(*Ar0Ax【 】(A) (B) RkkT,)1,( PkkT,)1,(C) (D) Z Q21.已知 的增广矩阵可以化为 ,且方程组有无穷多组解,则参数的取值范Ax 2013围必须满足 【 】(A) (B) 10。 1。(C) (D) 22.设 n 阶方阵 ， ，),(21nA ),(21nB，记向量组 I： ，II： ，III： ，如果),(21nB n,21 n,21向量组 III 线性相关，则 【 】(A)向量组 I 线性相关 (B)向量组 II 线性相关(C)向量组 I 与 II 线性相关 (D)向量组 I 与 II 至少有一个线性相关23.设 A 与 B 是 n 阶方
24、阵， 与 有相同的基础解系 ，则在下列方程组与0AxB321,为基础解系的是 【 321,】(A) (B) 0)(x 0Ax(C) (D) BAB24.设 是四维非零列向量组， ， 为 的伴随矩阵，已知方程组4321,),(4321A*A的基础解系为 ，则方程组 的基础解系为 【 】0xTk)0,21(0*x321,)(A 431,)(B4C2D25.设 A 为 矩阵，B 为 矩阵，使 与 为同解方程，则下列成立的是smns0Ax【 】)()(rsrB)(sCnD26. 是 4 阶方阵，若 ，则 的基础解系所含向量的个数是 【 】A2)(Ar0x(A)0 个(即不存在) (B)1 个 (C)2
25、 个 (D)n 个27. ,则三条直线 ),321a),(3212b),(321c其中 交于一点的充要条件是 【 】03322cybxa ),02iii(A) 线性相关 ; 21,(B) 线性无关;3(C) ; ),(),(2121rr(D) 线性相关, 线性无关。328.若 线性无关, 则下列向量组线性无关的是 【 】21;)( 13A ;2,)( 132B,21C329.若 线性相关， 线性相关，则 【 】2121,(A)线性相关； (B)线性无关；(C)线性关系不能确定； (D) 0,2130.方程组 有解 ,则 【 】1321kx或)(kA)(B)(C1)(kD231. 是 阶方阵，若
26、 的有解 ，则 【 】n0A(A) (B) (C)不确定 (D)0A0A0A32.若 线性无关，则下列命题成立的是 【 】321,(A) )(321(B) 0,121 (C) )(3213(D) ,2133.设矩阵 ， 有解(1,2,0,3)，则下面结论成立的是 )(4321AAX【 】。4321421 433)D(;)C( ;B 34.设 线性无关，则下列齐次线性方程组中仅有零解的是 【 】3,R),(,0),)( 3211321 xXAB),(,),)( 3211321 xC02XD35.设 为 阶方阵， ，则 齐次线性方程组 0 的基础解系含( )个解向量。An)(nAr XA*【 】(
27、A)0 (B)n (C)2 (D) 1n36.齐次线性方程组 的通解 【 】0321x(A) (B) ；Pk,)1( Pk,)1(C) (D) 37. 对任何 都有解的充分必要条件是 【 】nnnnbxaxa 21 222 121 nb,21;0)(ijA ;0)(ijaB(C) 021nbb 1)(ijaD38.3 级非零实矩阵 A， 是齐次线性方程组 AX=0 的解，则齐次线性方程组),1(i的通解为 【 0Ax】(A) 是任意复数; (B) 是任意实数lk,lk,(C) 是任意有理数； (D) 是任意整数39.设 ,则齐次线性方程组 的通解为 【 】TTTA,)12(,)1( 0AX;)
28、201(;,)( lkBkA,)20DC40. ， 均为 4 维列向量， 线性无关， ，,(431321,432,321如果 ，则矩阵 的秩= 【 】2),(AB)(A)(B)C1)(D41. 有唯一解, ,则 【 】201321321kx 01cybxak(A) (B) 1ycba 2x(C) (D) 0x 0,ycba42.设 阶矩阵 的伴随矩阵 ，若 是非齐次线性方程组 的互不相等的解，nA*4321bAx则对应的齐次线性方程组 的基础解系 【 】(A) 不存在 (B) 仅含一个非零解向量 (C) 含有两个线性无关的解向量 (D) 含有三个线性无关的解向量43.设 A 为 3 阶矩阵，
29、为非齐次线性方程组 的三个解向量，10,2,313t 01Ax则 【 】(A)当 时， (B)当 时，2t1)(rt2)(Ar(C)当 时， (C)当 时，A44. 系数矩阵为 A，若存在三阶矩阵 ，使 ，则必有 0321txt 0BA【 】(A) (B) )(,Brt 1)(,2rt(C) (D) 21B45.设 A，B 为满足 的任意两个非零矩阵，则必有 【 】0(A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关(B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关(D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关46.向量组 线性无关
30、，则向量组4321,242431的秩是 【 】32143(A)1; (B)2; (C)3; (D)447.设 ，令)4,.,)(,(sizyxMii 12211sszyxA则 共面的充要条件是 【 】s21M, 。3)(1D(;3)(C;2)Br ArA48.设 n 维向量组(I) 线性无关,(II) 线性无关，且向量组 与向sa,21 t,21 sa,21量组 等价，则 【 】t,21(A) (B) (C) (D) stsstnst49.设方程组 有通解bXA43 1,-0,-1k2,01k，则下列向量也是 的解向量的是 【 】。, bXA43。3,-15)D(;4,213)C( ;26B0
31、A4250. 是 的基础解系，则 【 】0a,-a AX。4a)(;)C(;)(;5)( 51.设 线性无关, 则 121,r 是线性【 】ra,21 rr r 21312(A)不能确定 (B)相关 (C)无关 (D)都不对52.设 是四维非零列向量组， ， 为 的伴随矩阵，已知方程组4321,),(4321A*A的通解为 ，则 【 】Ax ),21()0,(Tk线性无关； 321,)( 13B线性无关；;4C,)(4D53.下列命题正确的的是 【 】(A) 如果一个非齐次线性方程组的导出组只有零解，则这个方程组存在唯一解；(B) 如果一个非齐次线性方程组的导出组有无穷多解，则这个方程组有无穷
32、多解；(C) 非齐次线性方程组有解的充要条件是增广矩阵与系数矩阵的秩相等 ； (D) 增广矩阵与系数矩阵的秩相等，则这个方程组存在唯一解；54.已知 是非齐次线性方程组 的两个不同的解向量， 是其导出组的基础解系，21,bAX21,是任意的常数，则 的通解 【 】2,kx);(21)()( 2121 kBA);()()( 212121kDC55.如果 是一线性方程组的解，选项中是解的为 【 】t,(A) tuu21(B) (其中 ) t 021tu(C) (其中 ) tuu21 121tu(D) (其中 )t t56. 可由 线性表出,则表示法唯一是向量组 线性无关 【 】r,21 r,21(
33、A)充分条件； (B)必要条件；(C)既非充分也非必要； (D)充分必要条件。57.设齐次方程组 的系数矩阵的秩为 ，则 【 】02122121nsss nxaxa r(A)方程组的任意 个线性无关的解都是它的一个基础解系。rn(B)方程组的任意 个解向量的线性组合是它的通解。(C)方程组的任意 个线性无关的解不一定是它的一个基础解系。(D)方程组的任意 个线性无关的解的线性组合可能是它的通解。58.方程组 有非零解，其通解为 为任意常数，则 0321kx baa,)10(),1(【 】且 3)(kA)(B1)(C2k)(kD59. 有 【 】0,)3()2()1()222222 AXddcc
34、bbaa(A) 非零解 (B) 只有零解 (C)无解 (D) 以上都不对60. = 是 阶方阵， 线性无关， ，则 的基础解A,21n 121,n 12n0*xA系是 【 】(A) (B) 121,n n,21(C) (D) 161.设 是线性无关的 3 维列向量， ， 是 A* 的列向量，则 321,),(32A321,【 】(A) 线性相关 (B) 的秩为 1；321,321,(C) 线性无关 (D) 的秩为 1；62.n 维向量组 是线性方程组 的基础解系，r,21 0AX，则 【 】riarjjii ,21,1(A) 是 的基础解系充要条件是 ；(B) 是r,2 0AX0,)(Bari
35、j r,21的基础解系充要条件是0AX； ,)(Barij(C) 是 的基础解系充要条件是 r21 00A(D) 是 的基础解系充要条件是r, AX63.把向量 表成向量 的线性组合：其中 ，4321,)1,2(【 】,),1()(),1( 42 4345A 43215B21)(C 14)(D64.设 A= 的伴随矩阵为 ,则 = 【 】0AX1*(A) (B) (C) (D) ),23()1,23()0,23(),23(65.向量组的极大线性无关组与秩为 【 】),107(),16,94(),0(),14,6( 432 (A)秩为 2，极大线性无关组 ; 21,(B)秩为 4，极大线性无关组 ;43(C)秩为 3，极大线性无关组 ; 21,(D)秩为 0第二题：填空题1设 阶方阵 A 的每一行元素之和都等于 1，则线性方程 的一个解为（ ） n )1,.(Ax2设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 1，已知 是其三个解向量，且321,， ， ，则该方程组的通解 （ T)3,(1T),0(32T)0(3）3 有解的充分必要条件是（ ） exdcbax31543214设 是 的三个解，2,bA 3)(,432,1(,)876,5(21 ArTT，则 的通解 （ ） 5. ，如果向量组),34(),(),21(),1( 132
