1、传感器与传感器技术计算题解题指导（供参考）第 1 章 传感器的一般特性1-5 某传感器给定精度为 2%FS，满度值为 50mV，零位值为 10mV，求可能出现的最大误差(以 mV 计)。当传感器使用在满量程的 1/2 和 1/8 时，计算可能产生的测量百分误差。由你的计算结果能得出什么结论? 解：满量程（FS ）为 5010=40(mV)可能出现的最大误差为：m40 2%=0.8(mV)当使用在 1/2 和 1/8 满量程时，其测量相对误差分别为： %410248.16.21-6 有两个传感器测量系统，其动态特性可以分别用下面两个微分方程描述，试求这两个系统的时间常数和静态灵敏度 K。（1）
2、Tydt510.30式中，y 为输出电压，V ；T 为输入温度，。（2） xt6.92.4.1式中，y输出电压，V；x输入压力，Pa。解：根据题给传感器微分方程，得(1) =30/3=10(s)，K=1.5105/3=0.5105(V/)；(2) =1.4/4.2=1/3(s)，K=9.6/4.2=2.29(V/Pa)。1-7 设用一个时间常数 =0.1s 的一阶传感器检测系统测量输入为 x(t)=sin4t+0.2sin40t 的信号，试求其输出 y(t)的表达式。设静态灵敏度 K=1。解 根据叠加性，输出 y(t)为 x1(t)=sin4t 和 x2(t)= 0.2sin40t 单独作用时
3、响应 y1(t)和y2(t)的叠加，即 y(t)= y1(t)+ y2(t)。由频率响应特性： )8.214sin(93.0)1.04arctn(si4n)()(211ttKty)6.75si(. ).rt(si1)(2 tty所以y(t)= y1(t)+ y2(t)=0.93sin(4t21.8)0.049sin(40t75.96)1-8 试分析 传感器系统的频率响应特性。)d)CxBA解 传感器系统的时间常数 =A/B，灵敏度 K=C/B。所以，其频率响应为2)(1)(相频特性为 /arctn)(1-9 已知一热电偶的时间常数 =10s，如果用它来测量一台炉子的温度，炉内温度在 540至
4、500之间接近正弦曲线波动，周期为 80s，静态灵敏度 K=1。试求该热电偶输出的最大值和最小值。以及输入与输出之间的相位差和滞后时间。解：依题意，炉内温度变化规律可表示为x(t) =520+20sin(t)由周期 T=80s，则温度变化频率 f=1/T，其相应的圆频率 =2f=2/80=/40；温度传感器（热电偶）对炉内温度的响应 y(t)为y(t)=520+Bsin(t+)热电偶为一阶传感器，其响应的幅频特性为 78601401120 22.BA 因此，热电偶输出信号波动幅值为B=20 A()=20 0.786=15.7由此可得输出温度的最大值和最小值分别为y(t)| =520+B=520
5、+15.7=535.7maxy(t)| =520B=520-15.7=504.3in输出信号的相位差 为()= arctan( )= arctan(2/8010)= 38.2相应的时间滞后为t = s4.823601-10 一压电式加速度传感器的动态特性可以用如下的微分方程来描述，即 xydtydty 101032 .5.1. 式中，y 为输出电荷量，pC； x 为输入加速度，m/s 2。试求其固有振荡频率 n 和阻尼比。解: 由题给微分方程可得 srad/105./1025.31-11 某压力传感器的校准数据如表 1-5 所示，试分别用端点连线法和最小二乘法求非线性误差，并计算迟滞和重复性误
6、差；写出端点连线法和最小二乘法拟合直线方程。 （最小二乘法线性拟合原理和方法见末尾附录）表 1-5 校 准 数 据 表输 出 值 (mV)第 一 次 循 环 第 二 次 循 环 第 三 次 循 环压 力(MPa)正 行 程 反 行 程 正 行 程 反 行 程 正 行 程 反 行 程0 -2.73 -2.71 -2.71 -2.68 -2.68 -2.690.02 0.56 0.66 0.61 0.68 0.64 0.690.04 3.96 4.06 3.99 4.09 4.03 4.110.06 7.40 7.49 7.43 7.53 7.45 7.520.08 10.88 10.95 10.
7、89 10.93 10.94 10.990.10 14.42 14.42 14.47 14.47 14.46 14.46解 校验数据处理（求校验平均值）：输 出 值 (mV)第 一 次 循 环 第 二 次 循 环 第 三 次 循 环压 力(MPa)(设 为 x) 正 行 程 反 行 程 正 行 程 反 行 程 正 行 程 反 行 程校验平均值(设为 y)0 -2.73 -2.71 -2.71 -2.68 -2.68 -2.69 -2.700.02 0.56 0.66 0.61 0.68 0.64 0.69 0.640.04 3.96 4.06 3.99 4.09 4.03 4.11 4.040
8、.06 7.40 7.49 7.43 7.53 7.45 7.52 7.470.08 10.88 10.95 10.89 10.93 10.94 10.99 10.930.10 14.42 14.42 14.47 14.47 14.46 14.46 14.45（1）端点连线法设直线方程为y=a0+kx，取端点（x 1，y 1）=（0，-2.70）和(x 6，y 6)=（0.10，14.45） 。则 a0 由 x=0 时的 y0 值确定，即a0=y0kx=y1=-2.70 (mV)k 由直线的斜率确定，即（mV/MPa）5.7.)2(4516xyk拟合直线方程为y=2.70+171.5x求非线性
9、误差：压 力(MPa)校验平均值(mV)直线拟 合 值(mV)非线性误差(mV)最大非线性误差(mV)0 -2.70 -2.70 00.02 0.64 0.73 -0.090.04 4.04 4.16 -0.120.06 7.47 7.59 -0.120.08 10.93 11.02 -0.090.10 14.45 14.45 0-0.12所以，压力传感器的非线性误差为 %7.1)70.2(45.1L求 重 复 性 误 差 ：输 出 值 (mV)正 行 程 反 行 程压 力(MPa)1 2 3 不重复误差 1 2 3 不重复误差0 -2.73 -2.71 -2.68 0.05 -2.71 -2
10、.68 -2.69 0.030.02 0.56 0.61 0.64 0.08 0.66 0.68 0.69 0.030.04 3.96 3.99 4.03 0.07 4.06 4.09 4.11 0.050.06 7.40 7.43 7.45 0.05 7.49 7.53 7.52 0.040.08 10.88 10.89 10.94 0.06 10.95 10.93 10.99 0.040.10 14.42 14.47 14.46 0.05 14.42 14.47 14.46 0.05最大不重复误差为 0.08 mV，则重复性误差为 %.)7.2(5.R求 迟 滞 误 差 ：输 出 值 (m
11、V)第 一 次 循 环 第 二 次 循 环 第 三 次 循 环压 力(MPa)正 行 程 反 行 程 迟滞 正 行 程 反 行 程 迟滞 正 行 程 反 行 程 迟滞0 -2.73 -2.71 0.02 -2.71 -2.68 0.03 -2.68 -2.69 0.010.02 0.56 0.66 0.10 0.61 0.68 0.07 0.64 0.69 0.050.04 3.96 4.06 0.10 3.99 4.09 0.10 4.03 4.11 0.080.06 7.40 7.49 0.09 7.43 7.53 0.10 7.45 7.52 0.070.08 10.88 10.95 0
12、.07 10.89 10.93 0.04 10.94 10.99 0.050.10 14.42 14.42 0 14.47 14.47 0.0 14.46 14.46 0.0最大迟滞为 0.10mV，所以迟滞误差为 %58.01)7.2(45.10H（ 2） 最 小 二 乘 法设 直 线 方 程 为y=a0+kx数据处理如下表所示。序 号 1 2 3 4 5 6 x 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.3y 2.70 0.64 4.04 7.47 10.93 14.45 34.83x2 0 0.0004 0.0016 0.0036 0.0064 0.01 0.022xy
13、0 0.0128 0.1616 0.4482 0.8744 1.445 2.942根 据 以 上 处 理 数 据 ， 可 得 直 线 方 程 系 数 分 别 为 ：mV)(7.204.86723.20 xnyyxa )MPa/V(5.173.0.849222 xnyyk所以，最小二乘法线性回归方程为y=2.77+171.5x求 非 线 性 误 差 ：压 力(MPa)校验平均值(mV)直线拟 合 值(mV)非线性误差(mV)最大非线性误差(mV)0 -2.70 -2.77 0.070.02 0.64 0.66 -0.020.04 4.04 4.09 -0.050.06 7.47 7.52 -0.
14、050.08 10.93 10.95 -0.020.10 14.45 14.38 0.07-0.07所以，压力传感器的非线性误差为 %41.0)7.2(38.140L可见，最小二乘法拟合直线比端点法拟合直线的非线性误差小，所以最小二乘法拟合更合理。重复性误差R 和迟滞误差 H 是一致的。1-12 用 一 个 一 阶 传 感 器 系 统 测 量 100Hz 的 正 弦 信 号 时 ， 如 幅 值 误 差 限 制 在5%以 内 ， 则 其 时 间 常 数 应 取 多 少 ?若 用 该 系 统 测 试 50Hz 的 正 弦 信 号 ， 问 此 时 的幅 值 误 差 和 相 位 差 为 多 ？解: 根
15、据题意（取等号计算）%120526.195解出 =0.3287所以=0.523mss31052.102387./387.0当用该系统测试 50Hz 的正弦信号时，其幅值误差为%32.13.1 22 相位差为=arctan()=arctan(2500.523103)=9.31-13 一 只 二 阶 力 传 感 器 系 统 ， 已 知 其 固 有 频 率 f0=800Hz， 阻 尼 比 =0.14，现 用 它 作 工 作 频 率 f=400Hz 的 正 弦 变 化 的 外 力 测 试 时 ， 其 幅 值 比 A()和 相 位 角()各 为 多 少 ； 若 该 传 感 器 的 阻 尼 比 =0.7
16、时 ， 其 A()和 ()又 将 如 何 变 化 ?解: 5.842fn所以，当 =0.14 时 2241nnA31.5.01.5.0226.084.arctn12arctn22 radn当 =0.7 时 975.0.745.0122A4375.0.12arctn2rad1-14 用 一 只 时 间 常 数 =0.318s 的 一 阶 传 感 器 去 测 量 周 期 分 别 为 1s、 2s 和 3s的 正 弦 信 号 ， 问 幅 值 相 对 误 差 为 多 少 ?解：由一阶传感器的动态误差公式 12=0.318s %2.51)38.0()(21)1( 21 radHzfsT 95.022.6
17、)(33)( 3rzfs1-15 已知某二阶传感器系统的固有频率 f0=10kHz，阻尼比=0.1，若要求传感器的输出幅 值 误 差 小 于 3%， 试 确 定 该 传 感 器 的 工 作 频 率 范 围 。解：由 f0=10kHz，根据二阶传感器误差公式，有 %nn 314112220691341 222 nn 将=0.1 代入，整理得 45.96.10.183(035.27串nnkHzffo18.1-16 设 有 两 只 力 传 感 器 均 可 作 为 二 阶 系 统 来 处 理 ， 其 固 有 振 荡 频 率 分 别 为800Hz 和 1.2kHz， 阻 尼 比 均 为 0.4。 今 欲
18、 测 量 频 率 为 400Hz 正 弦 变 化 的 外 力 ， 应选 用 哪 一 只 ?并 计 算 将 产 生 多 少 幅 度 相 对 误 差 和 相 位 差 。解：由题意知 3/12/5.8n则其动态误差 4.014122nn%6.175.04.5.0122=7.76%13.3222 相位差 212n11 5.04ta/ ta9.749.0rd= 0.29(rad)= 16.62123/t第 2 章 电阻应变式传感器2-5 一应变片的电阻 R0=120，K =2.05，用作应变为 800m/m 的传感元件。(1) 求R 与 R/R；(2)若电源电压 Ui=3V，求其惠斯通测量电桥的非平衡输
19、出电压 Uo。解：由 K= ，得/ 36104.1085.2m则R=1.64103R=1.64103 120=0.197其输出电压为=1.23(mV)VUi 30 2.64.42-6 一试件的轴向应变 x=0.0015，表示多大的微应变() ？该试件的轴向相对伸长率为百分之几?解： x =0.0015=150010-6 =1500() 由于x =l/l所以l/l=x =0.0015=0.15%2-7 假设惠斯通直流电桥的桥臂 1 是一个 120的金属电阻应变片（K=2.00，检测用） ，桥臂 1 的相邻桥臂 3 是用于补偿的同型号批次的应变片，桥臂 2 和桥臂 4 是120的固定电阻。流过应变
20、片的最大电流为 30mA。（1）画出该电桥电路，并计算最大直流供桥电压。（2）若检测应变片粘贴在钢梁（弹性模量 E=2.11011N/m2）上，而电桥由 5V 电源供电，试问当外加负荷=70kg/cm 2 时，电桥的输出电压是多少？（3）假定校准电阻与桥臂 1 上未加负荷的应变片并联，试计算为了产生与钢梁加载相同输出电压所需的校准电阻值。解 （1）电桥电路如图所示；最大供桥电压Uim=30mA(120+120)=7200mV=7.2V（2） =70kg/cm2=686N/cm2=6.86106N/m2，则=/E=6.86106/2.11011=3.27105=32.7 ()电桥输出为 mVVK
21、io2 5108. 108.7.345（3）为了使输出电压相同，只要应变 对应的电阻变化相同即可（这里取负应变对应电阻减少输出相同负电压） 。 解题 2-7 图应变 对应的电阻变化为 551 104.627.3KRR=6.54105R1=6.54105120=7.85103并联电阻 RPRP/R1=1207.85103=119.99215()RP=1834.275k1834k2-8 如果将 120 的应变片贴在柱形弹性试件上，该试件的截面积 S=0.510-4m2，材料弹性模量 E=2101lN/m2。若由 5104N 的拉力引起应变片电阻变化为 1.2，求该应变片的灵敏系数 K。解：应变片电
22、阻的相对变化为 01.1.R柱形弹性试件的应变为 ；5.25.014SEF应变片的灵敏系数为 ./K2-10 以阻值 R=120，灵敏系数 K=2.0 的电阻应变片与阻值 120 的固定电阻组成电桥，供桥电压为 3V，并假定负载电阻为无穷大，当应变片的应变为 2 和2000 时，分别求出单臂、双臂差动电桥的输出电压，并比较两种情况下的灵敏度。解：依题意单臂： 20)V(103.246io kU差动： )(.36io灵敏度： 差 动 ）单 臂 ）(2/4ioKUu可见，差动工作时，传感器及其测量的灵敏度加倍。2-11 在材料为钢的实心圆柱试件上，沿轴线和圆周方向各贴一片电阻为 120 的金属应变
23、片 R1 和 R2，把这两应变片接人差动电桥(参看习题图 2-11)。若钢的泊松比=0.285，应变片的灵敏系数 K=2，电桥的电源电压 Ui=2V，当试件受轴向拉伸时，测得应变片 R1 的电阻变化值R=0.48 ，试求电桥的输出电压 Uo；若柱体直径d=10mm，材料的弹性模量 E=21011N/m2，求其所受拉力大小。习题图 2-11 差动电桥电路解：由R 1/R1=K1，则 02.1/48./1KR2= 1= 0.2850.002= 0.00057所以电桥输出电压为 mV57.2)(0. )0421oUi当柱体直径 d=10mm 时，由 ，得ESF1)N(04.3410231F2-12
24、若用一 R=350的应变片（ K=2.1）粘贴在铝支柱（支柱的外径 D=50mm，内径 d=47.5mm，弹性模量 E=7.31011N/m2）上。为了获得较大的输出信号，应变片应如何粘贴？并计算当支柱承受 1000kg 负荷时应变片阻值的相应变化。解 应变片应沿支柱的轴向粘贴。应变片阻值的相应变化为R=KR= KR/E= KR(F/S) /E由于S=(D2d2)/4=(50247.52)/4=191(mm2)=1.91104m2F=1000kg=9800N所以R=2.13509800/(1.91104)/7.31011=0.52()2-13 一台采用等强度梁的电子称，在梁的上下两面各贴有两片
25、电阻应变片，做成称重传感器，如习题图 2-12 所示。已知l=10mm，b 0=llmm，h=3mm ， E=2.1104N/mm2，K=2，接入直流四臂差动电桥，供桥电压 6V，求其电压灵敏度(K u=Uo/F)。当称重 0.5kg 时，电桥的输出电压 Uo 为多大?(a) (b)习题图 2-12 悬臂粱式力传感器解：等强度梁受力 F 时的应变为 EbhFl026当上下各贴两片应变片，并接入四臂差动电桥中时，其输出电压： lKU02iio4则其电压灵敏度为 4202io 1.366EbhlFUKu=3.46310-3 (V/N)=3.463(mV/N)当称重 F=0.5kg=0.59.8N=
26、4.9N 时，输出电压为Uo =Ku F=3.4634.9=16.97(mV)2-14 现有基长为 10mm 与 20mm 的两种丝式应变片，欲测钢构件频率为 10kHz的动态应力，若要求应变波幅测量的相对误差小于 0.5，试问应选用哪一种?为什么?解： =v/f=5000/（1010 3）=0.5(m)l0=10mm 时 %06.1850sin1sin01 ll0=20mm 时 2.2i52由此可见，应选用基长 l0=10mm 的应变片.2-15 有四个性能完全相同的应变片( K=2.0)，将其贴在习题图 2-14 所示的压力传感器圆板形感压膜片上。已知膜片的半径 R=20mm，厚度 h=0
27、.3mm，材料的泊松比 =0.285，弹性模量E=2.01011N/m2。现将四个应变片组成全桥测量电路，供桥电压 Ui=6V。求：(1)确定应变片在感压膜片上的位置，并画出位置示意图；(2)画出相应的全桥测量电路图；(3)当被测压力为 0.1MPa 时，求各应变片的应变值及测量桥路输出电压 U0；(4)该压力传感器是否具有温度补偿作用?为什么?(5)桥路输出电压与被测压力之间是否存在线性关系? 习题图 2-14 膜片式压力传感器解：（1）四个应变片中，R 2、R 3 粘贴在圆形感压膜片的中心且沿切向；R 1、R 4粘贴在圆形感压膜片 之外沿径向，并使其粘贴处的应变 r 与中心切向应变 tma
28、x/相等。如下图(a)所示。（2）测量电桥电路如上图(b)所示。(a)应变片粘贴示意图 (b)测量电桥电路题解 2-14 图（3）根据（1）的粘贴方式，知)(813max2max32 tt pEhR35122310765. 08.1 =4 = tmax = 0.7656103则测量桥路的输出电压为 mV19.)(019.765.02433tmaxitaxi 4321io KU（4）具有温度补偿作用；（5）输出电压与被测力之间存在线性关系，因此，由（3）知 pEhR2itmaxio82-18 线绕电位器式传感器线圈电阻为 10K，电刷最大行程 4mm，若允许最大消耗功率为 40mW，传感器所用激
29、励电压为允许的最大激励电压。试求当输入位移量为1.2mm 时，输出电压是多少?解：最大激励电压 VPRUi 2010433当线位移 x=1.2mm 时，其输出电压 )(6.2ioxl2-19 一测量线位移的电位器式传感器，测量范围为 010mm，分辨力为0.05mm，灵敏度为 2.7V/mm，电位器绕线骨架外径 d=5mm，电阻丝材料为铂铱合金，其电阻率为 =3.2510-4mm。当负载电阻 RL=10k 时，求传感器的最大负载误差。解：由题知，电位器的导线匝数为N=10/0.05=200则导线长度为l=Nd=200d， (d 为骨架外径)电阻丝直径与其分辨力相当，即 d 丝 =0.05mm
30、故电阻丝的电阻值 24丝lSR50.1025.32052.13LRmLm 15m%=150.052%=0.78% 第 3 章 电感式传感器3-15 某差动螺管式电感传感器( 参见习题图 3-15)的结构参数为单个线圈匝数 W=800 匝，l=10mm，l c=6mm，r=5mm，r c=1mm，设实际应用中铁芯的相对磁导率 r=3000，试求：(1)在平衡状态下单个线圈的电感量 L0=?及其电感灵敏度足 KL=?(2)若将其接人变压器电桥，电源频率为 1000Hz，电压 E=1.8V，设电感线圈有效电阻可忽略，求该传感器灵敏度 K。(3)若要控制理论线性度在 1以内，最大量程为多少?解：（1）
31、根椐螺管式电感传感器电感量计算公式，得 习题图 3-15 差动螺管式电感传感器 220crllWL)H(46.01630150184 9292237 差动工作灵敏度：r2c0LlKm/6.15/. 308046237(2) 当 f=1000Hz 时，单线圈的感抗为XL =L0 =2f L0 =210000.46=2890() 显然 XL 线圈电阻 R0，则输出电压为 0o2LEU测量电路的电压灵敏度为 m/V96.1/.46.02V81ou LEUK而线圈差动时的电感灵敏度为 KL =151.6mH/mm，则该螺管式电感传感器及其测量电路的总灵敏度为 /./m.5uL=297.1mV/mm 3
32、-16 有一只差动电感位移传感器，已知电源电 Usr=4V， f=400Hz，传感器线圈铜电阻与电感量分别为 R=40， L= 30mH，用两只匹配电阻设计成四臂等阻抗电桥，如习题图 3-16 所示，试求：(1)匹配电阻 R3 和 R4 的值；(2)当Z=10 时，分别接成单臂和差动电桥后的输出电压值；(3)用相量图表明输出电压 与输入电压 之间的相位scUsr差。 习题图 3-16解：（1） 线圈感抗XL=L=2fL=240030103=75.4（）线圈的阻抗 4.85.74022LRZ故其电桥的匹配电阻(见习题图 3-16)R3 = R4 =Z=85.4（）（2）当 Z=10时，电桥的输出
33、电压分别为单臂工作： V17.085srcU双臂差动工作： 234.42srcZ（3） 97.50tant11LR3-17 如习题图 3-17 所示气隙型电感传感器，衔铁截面积 S=44mm2，气隙总长度=0.8mm，衔铁最大位移 =0.08mm，激励线圈匝数 W=2500 匝，导线直径d=0.06mm，电阻率 =1.7510-6.cm，当激励电源频率 f=4000Hz 时，忽略漏磁及铁损，求：习题图 3-17 气隙型电感式传感器（变隙式）(1)线圈电感值；(2)电感的最大变化量；(3)线圈的直流电阻值；(4)线圈的品质因数；(5)当线圈存在 200pF 分布电容与之并联后其等效电感值。解：（
34、1）线圈电感值 m1570.1108.425436720SWL（2）衔铁位移 =+0.08mm 时，其电感值 362720 845 =1.3110-1(H)=131mH衔铁位移 =0.08mm 时，其电感值 362720 10804514 SWL=1.9610-1(H)=196(mH)故位移=0.08mm 时，电感的最大变化量为L=LL=196131=65(mH)(3)线圈的直流电阻设 为每匝线圈的平均长度，则m206.4Cpl42CpdlWSlR6.249106.2.50171(4)线圈的品质因数 8.156.249072RfLQ(5)当存在分布电容 200PF 时，其等效电感值mLCfp1
35、6060.110257.4221223-18 如图 3-4（b）所示差动螺管式电感传感器，其结构参数如下：l=160mm，r=4mm，r c=2.5mm，l c=96mm，导线直径 d=0.25mm，电阻率 =1.7510-6cm，线圈匝数 W1=W2=3000 匝，铁芯相对磁导率 r=30，激励电源频率 f=3000Hz。要求：(1)估算单个线圈的电感值 L=？直流电阻 R=？品质因数 Q=？(2)当铁芯移动5mm 时，线圈的电感的变化量L=？(3)当采用交流电桥检测时，其桥路电源电压有效值 E=6V，要求设计电路具有最大输出电压值，画出相应桥路原理图，并求输出电压值。解：（1）单位线圈电感
36、值 m .rlrl/lWLc0571075 1052102963014102626301042 6362372电阻值 （l cp=2r，每匝导线长度）42/dlWSlRCp)(9.64/105.31075.26 则品质因数 .39.722RfLQ(2)铁芯位移 lc=5mm 时，单个线圈电感的变化 m2.5102.5 10510.364/3 323272crllWL(3)要使电桥输出最大，须使电桥为等臂电桥，则相邻桥臂阻抗比值 a=1；且将电感线圈 L 和平衡电阻 R 放置在桥路输出的两侧，则 =(/2)，这时电桥的灵敏度|K|=0.5，差动工作时为其 2 倍，故其输出电压 6572.0o E
37、LKU=0.544(V)=544mV其电桥电路如下图所示，其中 Z1、Z 2 为差动螺管式电感传感器、R 1、R 2 为电桥平衡电阻。题 3-18 题解图第 4 章 电容式传感器4-2 试计算习题图 4-2 所示各电容传感元件的总电容表达式。(a) (b) (c)习题图 4-2解：由习题图 4-2 可见（1）图(a)等效为三个平板电容器串联 ， ， 1dSC2dS3dSC总电容量为 SddSC32121321 3串故 3212131231 / ddSdC串（2）图(b)等效为两个平板电容器并联 CS2121 串（3）图(c)等效为两柱形电容器并联，总电容量为 HddLdHLdC )/ln()/
38、l()/ln(/ln 12012012012 4-3 在压力比指示系统中采用差动式变间隙电容传感器和电桥测量电路，如习题4-3 图所示。已知： 0=0.25mm；D=38.2mm；R=5.1k ； Usr=60V(交流)，频率f=400Hz。试求：(1)该电容传感器的电压灵敏度 Ku (V/m)；(2)当电容传感器的动极板位移=10m 时，输出电压 Usc 值。习题图 4-3 解：由传感器结构及其测量电路可知（1）初始电容 020214DCpF6.46.415388.1223由于 1200 0fCXc)k.(R. 1510896则 0002dUCii从而得 m/V1./15.620 iudUK
39、(2) U0 = Ku d=0.12V/m10m=1.2V 4-4 有一台变间隙非接触式电容测微仪，其传感器的极板半径 r=4mm，假设与被测工件的初始间隙 d0=0.3mm。试求：(1)如果传感器与工件的间隙变化量d=10m，电容变化量为多少?(2)如果测量电路的灵敏度足 Ku=100mV/pF，则在d=1m 时的输出电压为多少?解：由题意可求（1）初始电容： pF48.1048.1103.452 232 drSC由 ，则当 d=10um 时0d pF049.30d如果考虑 d1=0.3mm+10m 与 d2=0.3mm10m 之间的电容变化量 C，则应为C=2|C|=20.049=0.09
40、8pF(2) 当 d=1m 时 pF049.8.103.0 mC由 Ku=100mV/pF=Uo/C，则Uo=KuC=100mV/pF(0.0049pF)=0.49mV4-5 有一变间隙式差动电容传感器，其结构如习题图 4-5 所示。选用变压器交流电桥作测量电路。差动电容器参数：r=12mm；d 1=d2=d0=0.6mm；空气介质，即=0=8.8510-12F/m。测量电路参数：U sr=U= = 3sint (V)。试求当动极板上输入位sr移(向上位移) x=0.05mm 时，电桥输出端电压 Usc?习题图 4-5解：由习题图 4-5 可求初始电容C1=C2=C0=S/d=0r2/d0pF
41、67.1067.16.85. 232变压器输出电压 UCZUZUsc 212121其中 Z1，Z 2 分别为差动电容传感器 C1，C 2 的阻抗.在 xd0 时，C 1= C0 +C，C 2 = C0C，且C/C 0=d/d0，由此可得(V)ttxsrsc sin5.si36.0504-6 如习题图 4-6 所示的一种变面积式差动电容传感器，选用二极管双厂网络测量电路。差动电容器参数为：a=40mm，b=20mm，d l=d2=d0=1mm；起始时动极板处于中间位置，C l=C2=C0，介质为空气，= 0=8.8510-12F/m。测量电路参数：D 1、D 2 为理想二极管；及 R1=R2=R
42、=10k；R f=1M，激励电压 Ui=36V，变化频率 f=1MHz。试求当动极板向右位移x =10mm 时，电桥输出端电压 Usc？习题图 4-6解：由习题图 4-6 可求传感器初始电容 331200 012485.2dbaSC=3.541012（F）=3.54pF当动极板向右移 x=10mm 时，单个电容变化量为 pFCa7.1542/412/00（或）7.()0.185. 12330 xdbC则 C1 = C0+C，C 2 = C0C，由双 T 二极管网络知其输出电压Usc = 2 k Ui fCVCfRif5.2107.36101022644-7 一只电容位移传感器如习题图 4-7
43、所示，由四块置于空气中的平行平板组成。板 A、C 和 D 是固定极板；板 B 是活动极板，其厚度为 t，它与固定极板的间距为d。B 、 C 和 D 极板的长度均为 a，A 板的长度为 2a，各板宽度为 b。忽略板 C 和 D 的间隙及各板的边缘效应，试推导活动极板刀从中间位置移动 x=a/2 时电容 CAC 和 CAD的表达式( x=0 时为对称位置 )。习题图 4-7解：参见习题图 4-7 知CAC 是 CAB 与 CBC 串联，C AD 是 CAB 与 CBD 串联。当动极板向左位移 a/2 时，完全与 C 极板相对（见题解 4-7 图） ，此时CAB=CBC=0ab/d则CAC=CAB/
44、2=CBC/2=0ab/2d；CAD=0ab/(2d+t)。题解 4-7 图同理，当动极板向右移 a/2 时，与上相仿（见题解 4-7 图） ，有CAC =0ab/(2d+t)；C AD=0ab/2d4-8 已知平板电容传感器极板间介质为空气，极板面积 S=aa=(22)cm2，间隙d0=0.1mm。求：传感器的初始电容值；若由于装配关系，使传感器极板一侧间隙 d0，而另一侧间隙为 d0+b(b=0.01mm)，此时传感器的电容值。解：初始电容 pF4.35)(104.3510282340dSC当装配不平衡时（见题解 4-8 图(a)） ，可取其平均间隙计算（见题解 4-8 图(b) ）220bd)bd(d=0.1+0.01/2=0.105(mm)则其电容为 3412005.8dSC=33.710-12(F)=33.7pF (a) (b) (c)题解 4-8 图或利用积分法计算传感器的电容， （见题解 4-8 图(c)） ，在位置 x 处，取宽度为dx、长度为 a 的两个狭窄长条之间的微电容为 abxdC/0所以，总电容为 3.8pF()108.3.01ln10.)2(85/ 23200 abxdCa两种计算方法结果接近，但积分法更为严密。4-14 习题图 4-14(a)所示差动式同心圆筒柱形电容传感器，其可动内电极圆筒外经d=9.8mm
