1、1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()()ajkiaj由倒格子基矢的定义： 123()ba，31230,(),24,0aa223,0()4,ijkaaijk2134()()bijkijkaa同理可得： 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。23()ijbka所以，面心立方的倒格子是体心立方。（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()()aijkaijk由倒格子基矢的定义： 123()ba，3123,(),2,aaa 223,(),2ijkaajk213()()bjkjk
2、aa同理可得： 即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。23()bikaj所以，体心立方的倒格子是面心立方。1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为 的晶面系，面间距 满足：(,)hkld，其中 为立方边长.222()dahkla解：简单立方晶格： ，123123,iajak由倒格子基矢的定义： ， ，1123ba1223b123ab倒格子基矢： 12,ijk倒格子矢量： ，3GhbklGhijlkaa晶面族 的面间距：()kld221()()kl22()adhkl2.1、证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为（ ） 。2ln证明：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，
3、取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用r 表示相邻离子间的距离，于是有(1)12.34jijrr前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，ir故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为234(1).nx当 X=1 时， 1.34n2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为 ()mnurr试求：（1）平衡间距 ；0r（2）结合能 （单个原子的） ；W（3）体弹性模量；（4）若取 ，计算 及 的值。02,1,3,4mnrAeV解：（1）求平衡间距 r0由 ，有：)(0rdu mnnmnm 1101.0 结
4、合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用 w 表示）（2）求结合能 w（单个原子的）题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即 Umin即： （可代入 r0 值，也可不代入）nmrrUW00)(（3）体弹性模量由体弹性模量公式： 0209rVk（4）m = 2，n = 10， ， w = 4eV，求 、Ar38181052r)5(4)( 802010.20 代 入rrrUeVW5)(20将 ， 代入Ar30 Je196.12153849.
5、27mN详解：（1）平衡间距 r0 的计算晶体内能 ()2nU平衡条件 ， ，0rd10mnr10()nmr（2）单个原子的结合能， ，01()Wur00()mnr1()nm1()2nW（3）体弹性模量 02()VUK晶体的体积 ，A 为常数， N 为原胞数目3VNr晶体内能 ()2mnUr123r212()mnNVrNA0220009nmnVrr由平衡条件 ，得01200()23nVUNA 0mnr0220019mnVUNr02200nV 2009mnNVr0()mnNUr体弹性模量0202()9V 09nKUV（4）若取 0,1,3,4nrAWe，10()mr()2mn，102W01r，-
6、95.eV192.0eVm3.2、讨论 N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a） ，其 2N 个格波解，当 = 时Mm与一维单原子链的结果一一对应。 解：质量为 的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ；质量为 的原子位于 2n， 2n+2， M2n+4 。 牛顿运动方程 22121()nnnmMN 个原胞，有 2N 个独立的方程设方程的解 ，代回方程中得到(2)211itnaqnAeB22()(cos)0cosmAaqBaqMA、B 有非零解， ，则220s12 2()41sin()maq两种不同的格波的色散关系12 222()41sin()imMaq一个 q 对应有两支格波：一
7、支声学波和一支光学波.总的格波数目为 2N. 当 时 ，Mm4cos2inaq两种色散关系如图所示：长波极限情况下 ， ，0qsi()2aq与一维单原子晶格格波的色散关系一致.(2)m3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为 和 ，令两种10原子质量相等，且最近邻原子间距为 。试求在 处的 ，并粗略画出2a0,qa()q色散关系曲线。此问题模拟如 这样的双原子分子晶体。 （注 ：课本中的 c 即为此题中H的 k 对应 q)答：（1）浅色标记的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ；深色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 。第 2n 个原子和第 2n1 个原
8、子的运动方程：2221211()nnnnm体系 N 个原胞，有 2N 个独立的方程方程的解： ，令 ，将解代入上述方程得：1(2)2()1itnaqnitAeB221/,/m112222111()()0iaqiaqiaqiaqAeBeA、B 有非零的解，系数行列式满足： 1222211(),()0iaqiaqiaqiaqee11112222221()()()0iiaqiaqiaqee21212iaqiii因为 、 ，令 得到12020 0,1cm2 40()(cos)aq两种色散关系： 2011)当 时， ，0q20()02当 时， ，a20(18)02（2）色散关系图：44.2、写出一维近自
9、由电子近似，第 n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数 的 0 级波函2ka数。解221()* 411()imxiximximxikxkaaakeeeeLLL 第一能带： *20,()2ixakma第二能带：2 3*21,1,()x ixa akbmxeLii则 即 （ e=）第三能带：25* 22,()ixiixaakcmxeaL 即4.3、电子在周期场中的势能221(),mbxnabxna当0 ， ()Vx b当 (-1)+其中 d4b， 是常数试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度解(I) 题设势能曲线如下图所示(2)势能的平均值：由图可见， 是个以 为周期的周期函
10、数，所以()Vxa11()()()abLbVxdVxd题设 ，故积分上限应为 ，但由于在 区间内 ，故只需4ab3,3b()0Vx在 区间内积分这时， ，于是 ,0n。222 321 1()() 6bb bbmmVxdxdxmaaa（3） ，势能在-2b,2b 区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数 20 0 01()cos,()cos()cos2 2bbmmxVxVxdxVxdb1 120,1()bg gmEEb第 一 个 禁 带 宽 度 以 代 入 上 式利用积分公式 得22 3cossincossinuuduu第二个禁带宽度 代入上式2316mbg 2,2gV以 代 入 上 式 ,再次利用积分公式有220()cosbg xEdb 2mb2gE51、设有一维晶体的电子能带可写成 ， 其中271()(cos2)8Ekkam为晶格常数， 是电子的质量。(注：课本无第一问）am试求（1）能带宽度；（2）电子在波矢 k 状态的速度；（3）带顶和带底的电子有效质量。解：（1） 271()(cos2)8Eka= coska+ (2cos2ka1)2m (coska2) 21 24当 ka(2n+1) 时,n=0,1,22max()Ek当 ka=2n时, min()0Ek能带宽度2axin（2） 1()1(s)4dkka(3) 2* 1co2Ekm当 时,带底，0*m当 时,带顶，a3
