1、ch6 数值计算,5.1 数值微积分 5.1.1 近似数值极限和导数 5.1.2 数值求和与近似数值积分 5.2 矩阵和代数方程 5.2.1 矩阵运算和特征参数 5.2.2 矩阵的变换和特征值分解 5.2.3 线性方程的解 5.2.4 一般代数方程的解,5.1.1 近似数值极限和导数（1）有限精度浮点的离散本质（2）自变量的增量选取一定要大于原数据相对精度的10倍以上（3）尽量使用Matlab提供的现成指令Dx=diff(X) 求差分 FX=gradient(F) 求一元函数梯度 FX,FY=gradient(F) 求二元函数梯度,5.1.2 数值求和与近似数值积分Sx=sum(X) 沿列方向
2、求和 Scs=cumsum(X) 沿列方向求累计和 St=trapz(x,y) 采用梯形法沿列方向求函数y关于x的积分 Sct=cumtrapz(x,y) 采用梯形法沿列方向求函数y关于x的累计积分,5.2.1 矩阵运算和特征参数1. 矩阵运算2. 矩阵的标量特征参数秩 rank(A)迹 trace(A)行列式 det(A),5.2.2 矩阵的变换和特征值分解R,ci=rref(A) 借助初等变换把A变换成行阶梯矩阵RX= null(A)A矩阵零空间的全部正交基，满足AX=0Z=orth(A)A矩阵空间的全部正交基，满足span(Z)=span(A)V,D=eig(A)A矩阵的特征值、特征向量
3、分解，使AV=AD,5.2.3 线性方程的解1 直接解法对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运算符“”求解： x=Ab 例1 用直接解法求解下列线性方程组。 命令如下： A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; x=Ab,数据分析,1、查取最大值 MAX函数的命令格式有： Y,I= max (X)：将max(X)返回矩阵X的各列中的最大元素值及其该元素的位置赋予行向量Y与I；当X为向量时，则Y与I为单变量。 Y,I=max(X,DIM)：按数组X的第DIM维的方向查取其最大的元素值及其该元素的位置赋予向量Y与I。,例查找下面数列x
4、的最大值。 x=3 5 9 6 1 8 % 产生数列x x = 3 5 9 6 1 8 y=max(x) % 查出数列x中的最大值赋予y y = 9 y,l=max(x) % 查出数列x中的最大值及其该元素的位置赋予y,l y = 9 l = 3,例分别查找下面34的二维数组x中各列和各行元素中的最大值。 x=1 8 4 2;9 6 2 5;3 6 7 1 % 产生二维数组x x = 1 8 4 29 6 2 53 6 7 1 y=max(x) % 查出二维数组x中各列元素的最大值产生赋予行向量y y = 9 8 7 5,y,l=max(x) % 查出二维数组x中各列元素的最大值及其这些 %
5、元素的行下标赋予y,l y = 9 8 7 5 l = 2 1 3 2 y,l=max(x, ,1) % 本命令的执行结果与上面命令完全相同 y = 9 8 7 5 l = 2 1 3 2 y,l=max(x, ,2) % 由于本命令中DIM=2,故查找操作在各行中进行 y = 897 l = 213,例试取下面两个23的二维数组x、y所有同一位置上的元素值大者构成一个新矩阵p。 x=4 5 6;1 4 8 % 产生二维数组x x = 4 5 61 4 8 y=1 7 5;4 5 7 % 产生二维数组y y = 1 7 54 5 7 p=max(x,y) % 在x,y同一位置上的两个元素中查找
6、出最大值% 赋予与x,y同样大小的二维数组p p =4 7 64 5 8,2、查取最小值 MIN函数用来查取数据序列的最小值。它的用法与命令格式与MAX函数完全一样，所不同的是执行的结果是最小值。,3、求中值 所谓中值，是指在数据序列中其值的大小恰好在中间。例如，数据序列9,-2,5,7,12的中值为7 。 如果为偶数个时，则中值等于中间的两项之平均值。,MEDIAN函数调用的命令格式有： Y=median(X)：将median(X)返回矩阵X各列元素的中值赋予行向量Y。若X为向量，则Y为单变量。Y=median(X,DIM)：按数组X的第DIM维方向的元素求其中值赋予向量Y。若DIM=1，为
7、按列操作；若DIM=2，为按行操作。若X为二维数组，Y为一个向量；若X为一维数组，则Y为单变量。,例试分别求下面数列x1与x2的中值。 x1=9 -2 5 7 12; % 奇数个元素 y1=median(x) y1 =7 x2=9 -2 5 6 7 12; % 偶数个元素 y2=median(x) y2 =6.5000,例对下面二维数组x，试从不同维方向求出其中值。 x=1 8 4 2;9 6 2 5;3 6 7 1 % 产生一个二维数组x x = 1 8 4 29 6 2 53 6 7 1 y0=median(x) % 按列操作 y0 = 3 6 4 2 y1=median(x,1) % 此
8、时DIM=1,故按列操作,结果y1为行向量 y1 = 3 6 4 2 y2=median(x,2) % 此时DIM=2,故按行操作, 结果y2为列向量 y2 = 3.00005.50004.5000,4、求和 命令格式有： Y=sum(X)：将sum(X)返回矩阵X各列元素之和赋予行向量Y；若X为向量，则Y为单变量。Y=sum(X,DIM)：按数组X的第DIM维的方向的元素求其和赋予Y。若DIM=1，为按列操作；若DIM=2，为按行操作。若X为二维数组，Y为一个向量；若X为一维数组，则Y为单变量。,例如： x=4 5 6;1 4 8 x =4 5 61 4 8 y=sum(x,1) y =5
9、9 14 y=sum(x,2) y =1513,5、求平均值 MEAN函数调用的命令格式有： Y= mean(X)：将mean (X)返回矩阵X各列元素之的平均值赋予行向量Y。若X为向量，则Y为单变量。Y= mean(X,DIM)：按数组X的第DIM维的方向的元素求其平均值赋予向量Y。若DIM=1，为按列操作；若DIM=2，为按行操作。若X为二维数组，Y为一个向量；若X为一维数组，则Y为单变量。,例如： x=4 5 6;1 4 8; y1= mean(x,1) y1 =2.5000 4.5000 7.0000 y2= mean(x,2) y2 =5.00004.3333,6、求积 命令格式有：
10、 Y= prod(X)：将prod(X)返回矩阵X各列元素之积赋予行向量Y。若X为向量，则Y为单变量。Y= prod(X,DIM)：按数组X的第DIM维的方向的元素求其积赋予向量Y。若DIM=1，为按列操作；若DIM=2，为按行操作。若X为二维数组，Y为一个向量；若X为一维数组，则Y为单变量。,例如： x=4 5 6;1 4 8; y1= prod(x,1) y1 =4 20 48 y2= prod(x,2) y2 =12032,7、 求累计和、累积积,在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式为： cumsum(X)：
11、返回向量X累加和向量。 cumprod(X)：返回向量X累乘积向量。 cumsum(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累加和向量。 cumprod(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累乘积向量。 cumsum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumsum(A)；当dim为2时，返回一个矩阵，其第i行是A的第i行的累加和向量。 cumprod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumprod(A)；当dim为2时，返回一个向量，其第i行是A的第i行的累乘积向量。,8、 标准方差与相关系数 1求标准方差 在MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的函数std。
12、对于向量X，std(X)返回一个标准方差。对于矩阵A，std(A)返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵A各列或各行的标准方差。std函数的一般调用格式为： Y=std(A,flag,dim) 其中dim取1或2。当dim=1时，求各列元素的标准方差；当dim=2时，则求各行元素的标准方差。flag取0或1，当flag=0时，按1所列公式计算标准方差，当flag=1时，按2所列公式计算标准方差。缺省flag=0，dim=1。,2相关系数 MATLAB提供了corrcoef函数，可以求出数据的相关系数矩阵。corrcoef函数的调用格式为： corrcoef(X)：返回从矩阵X形成的一个相关系数矩
13、阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵X一样。它把矩阵X的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。 corrcoef(X,Y)：在这里，X,Y是向量，它们与corrcoef(X,Y)的作用一样。,例生成满足正态分布的100005随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这5列随机数据的相关系数矩阵。 命令如下： X=randn(10000,5); M=mean(X) D=std(X) R=corrcoef(X),9、 排序 MATLAB中对向量X是排序函数是sort(X)，函数返回一个对X中的元素按升序排列的新向量。 sort函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序，其调用格式为： Y,I=sort(A,dim) 其中dim指明对A的列还是行进行排序。若dim=1，则按列排；若dim=2，则按行排。Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中位置。,
