1、第 1 页 共 17 页2016 届湖南省高考冲刺（三）数学（理）试题一、选择题1复数 满足 ，则 （ ）z25izA B C D2i i2i2i【答案】D【解析】试题分析： ，选 D.5zizii【考点】复数运算【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概()()(),(.)abicdabdciabdR念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、,iR2ab(,)ab共轭为 .2集合 ，则20,1234,1,2|540UABxZx（ ）CABA B C D, , ,【答案】C【
2、解析】试题分析： ，所以2|5402,3xZx，选 C.1,230,UBA【考点】集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍3阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为 ，则判断框中应填入的条件为（ 58）第 2 页 共 17 页A B C D3k4k5k5k【答案】B【解析】
3、试题分析：第一次循环： ；第二次循环： ；1,2Sk246,3S第三次循环： ；第四次循环： ；结束循129,4S158k环，输出的数据为 ，因此 ，选 B.58k【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.4设 是等比数列 的前 项和，若 ，则 （ ）nSna423S64A B C D 或2731012【答案】B【解析】试题分析： ，4224221,3Sqq，选 B.63642417S
4、q【考点】等比数列公比5有四个关于三角函数的命题：或 ； ；1:sinpxyxxy222:,sincos1xpR； 3,coscsoR.412:0,xpx其中真命题是（ ）A B C D13, 23,p14,p24,p【答案】D【解析】试题分析： 或 ， 为sin2xyxk2,xykZ1假命题； 为真命题；222:,cos1pR， 为假命题；,cosxyxyxy3p为真命题；选 D.41s:0,|co|s2p x【考点】命题真假第 3 页 共 17 页6若实数 满足不等式组 ,且 的最小值等于 ,则实数,xy20xym2zyx2的值等于（ ）mA B C D11【答案】A【解析】试题分析：三直
5、线交点为 ，因此直线(,0),)(2,)ABmm过点 B 时取最小值，即 ，选 A.2zyx21【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7如图所示是一个几何体的三视图, 则这个几何体外接球的表面积为（ ）A B C D8163264【答案】C【解析】试题分析：几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为 4）中心，所以半径为 ，表面积为 ，选 C.224()【考点
6、】三视图，外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.8若 ,则 ,则 的值为（ ）23cos2in4sin2A B C D118178178【答案】D【解析】试题分析：，因为223cos2in3(cosin)(cosin)4，所以 ，选 D., 117(i)ii288【考点】二倍角公式，同角三角函数关系第 4 页 共 17 页9如图, 有四个平面图
7、形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆，垂直于 轴的x直线 经过原点 向右平行移动, 在移动过程中扫过平面图形的面:0lxtaOl积为 (图中阴影部分), 若函数 的大致图象如图, 那么平面图形的形状不可yyft能是（ ）【答案】C【解析】试题分析：A 中函数为二次函数，B 中函数也为二次函数，C 中函数一开始为二次函数，后面为一次函数；D 中函数为二次曲线，因此选 C.【考点】函数图像【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象
8、研究.10在直角坐标系 中, 设 是曲线 上任意一点, 是曲线 在xOyP:10CxylC点 处的切线, 且 交坐标轴于 两点, 则以下结论正确的是（ ）PlABA 的面积为定值 B 的面积有最小值为B2OA3C 的面积有最大值为 D 的面积的取值范围4是 ,4【答案】A【解析】试题分析： 设 ，则21:,Cyx1(,)Px,因此 的面积为21:()(0,)lyABx OAB，所以选 A.2【考点】导数几何意义【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，第 5 页 共 17 页过点 P 的切线中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而
9、在点 P 处的切线，必以点 P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.11已知 分别是双曲线 的左、右焦点, 点 在双曲线12,F210,xyabP右支上, 且 为坐标原点), 若 ,则该双曲线的10(POA12FP离心率为（ ）A B C 6363262D 2【答案】A【解析】试题分析： ,其中 M 为 中点，因此1100PFOPFOAA1FP，从而12PF，选 A.21221333 (21)63ceaFP，【考点】双曲线定义及离
10、心率【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|PF 2|F 1F2|，双曲线的定义中要求|PF 1|PF 2|F 1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.12设函数 是定义在 上的偶函数, 对任意 ,都有 ,且当fxRxR4fxf时, , 若在区间 内关于 的方程20x12xf 2,6恰有三个不同的实数根, 则 的取值范围是（ ）logafxaA B C 3,034,234,2D 42【答案】B【解析】试题分析：由 得 ,作出图像如下.关于 的方程4fxfTx恰有三个不同的实数根,
11、就是函数 与log201afx yf有三个不同的交点，即y第 6 页 共 17 页，选 B.31,log23,log624,2aaa(6,3)(2,3)-1【考点】函数零点【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题13 21cosxd【答案】【解析】试题分析： 2 21cossinxdx 【考点】定积分14已知 ,则 21,34OABAOCAOBCA【答案】 14【解析】试题分析： 111()2()244A【考点】
12、向量数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ab|a|b|cos ；二是坐标公式 abx 1x2y 1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.15某校高一开设 门选修课, 有 名同学, 每人只选一门, 恰有 门课程没有同学442选修, 共有 种不同的选课方案(用数字作答)第 7 页 共 17 页【答案】 84【解析】试题分析：先确定同学选修的 门： ,再确定 名同学选法2246C4，共有 种不同的选课方案421684【考点】排列组合【方法点睛】求解排列、组合问题
13、常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法” ；(2)元素相间的排列问题“插空法” ；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法” ；(4)带有“含”与“不含” “至多” “至少”的排列组合问题间接法.16如图, 在 中, , 点 在线段 上, 且ABC3sin,22ABDAC,则 432,ADco【答案】 79【解析】试题分析：,因为222114|cosABC399BDACBDABC所以 ，负cossin,3268|37舍；因而 ，故221| |322+7cos.9【考点】向量数量积，二倍角公式，余弦定理【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数
14、交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系” ，再利用三角函数的相关知识进行求解.三、解答题17已知数列 中, .na11,3nnaN（1）求证： 是等比数列, 并求 的通项公式 ；2nnna（2）数列 满足 ,数列 的前 项和为 ,若不等式b31nnaAnbnT第 8 页 共 17 页对一切 恒成立, 求 的取值范围.112nnTN【答案】 （1） （2）3a3【解析】试题分析：（1）证明等比数列，一般从定义出发，即证相邻
15、项的比值是一个与项数无关的非零常数，即 ，由 通项112=3nnna12na得 （2）先代入化简得 ，所以用错位相减法求113,2nna31na1nb和 ，对不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，由于有符号14nT数列，所以分类讨论：若 为偶数, 则 ；若 为奇数, 则min12(4)3，因此求交集得 的取值范围min12()2试题解析：（1）由数列 中, ,可得na 11,3nnaaN, 是首项为 ,公比为 的1 13,32nnna2n等比数列, .,2nna（2） ,101221, 3.1nnbT ,两式相减得231.n nT011 112,. 4,4222nnn nnT ,若 为
16、偶数, 则 ；若 为奇数, 则n14,3n,14,2,n的取值范围是 .3【考点】等比数列定义，错位相减法求和，不等式恒成立【方法点睛】证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.等比数列的判定方法(1)定义法：若 q(q 为非零常数)或 q(q 为非零常数且 n2)，则a n是等比数列；第 9 页 共 17 页(2)等比中项法：在数列a n中，a n0 且 a a nan2 (nN)，则数列a n是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 ancq n(c，q 均是不为 0 的常数
17、，nN)，则a n是等比数列；(4)前 n 项和公式法：若数列a n的前 n 项和 Snkq nk(k 为常数且 k0，q0,1)，则a n是等比数列.18交通指数是指交通拥堵指数简称, 是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为 ，其范围为 ，分别有五个级别： 畅通： 基本畅通：T0,10,2T2,4T轻度拥堵： 中度拥堵： 严重拥堵. 在晚高峰时段 4,6 68T 81,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示：2（1）在这 个路段中, 轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？20（2）从这 个路段中随机抽出 个路段, 用 表示抽取的中度拥堵的路段的个数, 3X求 的分布列及数学期望
18、.X【答案】 （1）9,（2） 5180EX【解析】试题分析：（1）频率分布直方图中小长方形面积表示对应区间的概率，因此轻度拥堵的路段频率为 ，个数（频数）为 ，同理可得.2.30.326中度拥堵的路段个数是 .（2）先确定随机变量取法 ，05109,13再利用组合数分别求各自概率，列表可得分布列，最后利用公式求数学期望试题解析：（1）由直方图得：轻度拥堵的路段个数是 个,中度.1026拥堵的路段个数是 .0.251209（2） 的可能取值为 , ,X3302119 932 0,7676CCPXPXAA.120391930 2,55CPA所以 的分布列为X13P763957. 102380EX
19、【考点】频率分布直方图，概率分布及数学期望【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第 10 页 共 17 页第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的
20、随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布XB(n，p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19如图, 平面 平面 为等边三角形, , 过PAC,BACPPEBCA作平面交 分别于点 ,设 .BC,ENMNE（1）求证： 平面 ； MNABC（2）求 的值, 使得平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 .MN45【答案】 （1）详见解析（2） 31【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需结合平几条件，如三角形相似，本题可根据 得 ,而 ，因此 （2）利用空间AMNEPEAPBCNBA向量研究二面角，首先利用垂直关系建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解两个平面的法向量，利用向量数量积求夹角，最后根据向量夹角与二面角之间关系得等量关系，求 的值试题解析：（1）证明：如图, 以点 为原点建立空间直角坐标系 ,不妨设Cxyz,则0,CABtPECB,13130,1,0,22tEt由 ,得 ,则MANEP 13,02tN.易知 是平面 的一个法向量, 且 ,故0,Nt0,1nABC0nMA,又因为 平面 , 平面 .n
