1、2015-2016 学年北京四中高三（下）开学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数 =（ ）A12i B1+2i C 1+2i D12i2已知集合 M=x|1x1， ，则 MN=（ ）Ax|0x1 Bx|0 x1 Cx|x0 Dx|1x03执行如图所示的程序框图，则输出的 i 值为（ ）A3 B4 C5 D64 “a1”是“ 函数 f（x）=a x+cosx 在 R 上单调递增” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5给出下列函数中图象关于 y 轴对称的是
2、（ ）y=log2x； y=x2； y=2|x|； A B C D6已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A3 B12 C2 D77设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax（a0）的焦点 F，且和 y 轴交于点 A，若OAF（O 为坐标原点）的面积为 4，则抛物线方程为（ ）Ay 2=4x By 2=4x Cy 2=8x Dy 2=8x8某地实行阶梯电价，以日历年（每年 1 月 1 日至 12 月 31 日）为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过 2880 度（1 度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电 0.4883 元；全年超过2880 度至
3、 4800 度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电 0.5383 元；全年超过 4800 度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电 0.7883 元下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有（参考数据：0.4883 元/度2880 度=1406.30 元，0.5383 元/ 度度+1406.30 元=2439.84 元 ） （ ）A B C D二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题纸上.9 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著的，书中有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？答曰：二千一百一十二尺术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”这里
4、所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一 ”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积V= （底面的圆周长的平方 高） ，则该问题中圆周率 的取值为 10口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取了 5 次停止种数为 11在各项均为正数的等比数列a n中，若 a2=2，则 a1+2a3 的最小值是 12过双曲线 =1（a 0，b0）的左焦点 F（c ，0）作圆 x2+y2=a2 的切线，切点 E，延长 FE 交双曲线于点 P，O 为原点，若 = （ + ） ，则双曲线的离心率为 13如果实数 x，y 满足关
5、系 ，则 的取值范围为 14在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，若 c=2，C= ，且 sinC+sin（B A）2sin2A=0，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号） b=2a；ABC 的周长为 2+2 ；ABC 的面积为 ；ABC 的外接圆半径为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.本大题共 6小题，共 80 分15已知函数 的图象过点 （）求实数 a 的值及函数 f（x）的最小正周期；（）求函数 f（x）在 上的最小值16某网络营销部门为了统计某市网友 2013 年 11 月 11 日在某淘宝店的网购情况，
6、随机抽查了该市当天60 名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如表）：网购金额（单位：千元）频数 频率（0， 0.5 3 0.05（0.5， 1 x p（1， 1.5 9 0.15（1.5， 2 15 0.25（2， 2.5 18 0.30（2.5， 3 y q合计 60 1.00若网购金额超过 2 千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过 千元的顾客定义为“非网购达人” ，已知“非网购达人” 与“网购达人”人数比恰好为 3：2（1）试确定 x，y，p，q 的值，并补全频率分布直方图（如图） （2）该营销部门为了进一步了解这 60 名网友的购物体验，从“非网购达人” 、 “网购达人”
7、中用分层抽样的方法确定 10 人，若需从这 10 人中随机选取 3 人进行问卷调查设 为选取的 3 人中“网购达人” 的人数，求 的分布列和数学期望17如图 1，梯形 AECD 中， AECD，点 B 为边 AE 上一点， CBBA， ，把BCE 沿边 BC 翻折成图 2，使 EBA=45 （1）求证：BDEC；（2）求平面 ADE 与平面 CDE 所成锐二面角的余弦值18设两个函数 f（x）和 g（ x） ，其中 f（x）是三次函数，且对任意的实数 x，都有 f（x）+2f （x）=9x24x3，f （0）=1 ，g（x）= +xlnx（m1） （1）求函数 f（x）的极值；（2）证明：对于
8、任意的 x1，x 2（0，+ ）都有 f（x 1）g（x 2）成立19已知中心在坐标原点 O，焦点在 y 轴上的椭圆 C 的右顶点和上顶点分别为 A、B，若AOB 的面积为且直线 AB 经过点 P（2，3 ）（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 S（ ，0）的动直线 l 交椭圆 C 于 M，N 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 T，使得无论 l 如何转动，以 MN 为直径的圆恒过点 T，若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由20已知直角的三边长 a，b，c，满足 abc（1）在 a，b 之间插入 2016 个数，使这 2018 个数构成以 a 为首项的等差数列a n，且它们的
9、和为 2018，求斜边的最小值；（2）已知 a，b，c 均为正整数，且 a，b，c 成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列S1，S 2，S 3， ，S n，且 ，求满足不等式 的所有 n 的值；（3）已知 a，b，c 成等比数列，若数列X n满足 ，证明：数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且 Xn 是正整数2015-2016 学年北京四中高三（下）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数 =（ ）A12i B1+2i C 1+2i D12i【考点】复数代
10、数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解： = = =2i1，故选：D2已知集合 M=x|1x1， ，则 MN=（ ）Ax|0x1 Bx|0 x1 Cx|x0 Dx|1x0【考点】交集及其运算【分析】求出 N 中不等式的解集确定出 N，找出 M 与 N 的交集即可【解答】解：由 N 中不等式变形得： x（x1）0，且 x1，解得：0x1，即 N=x|0x1，M=x|1x1，M N=x|0x1，故选：A3执行如图所示的程序框图，则输出的 i 值为（ ）A3 B4 C5 D6【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 m，i 的值，当 m=0 时满足条件
11、m=0，退出循环，输出 i 的值为 4【解答】解：模拟执行程序框图，可得m=1，i=1，m=1（21）+1=2 ，i=2 ，不满足条件 m=0，m=2 （2 2）+1=1，i=3，不满足条件 m=0，m=1 （2 3）+1=0，i=4，满足条件 m=0，退出循环，输出 i 的值为 4故选：B4 “a1”是“ 函数 f（x）=a x+cosx 在 R 上单调递增” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若函数 f（x）=ax+cosx 在 R 上单调递增
12、，则 f（x）0 恒成立，即 f（ x）=a sinx0，即 asinx ，1 sinx1，a1，则“a1”是“ 函数 f（x）=a x+cosx 在 R 上单调递增” 充分不必要条件，故选：A5给出下列函数中图象关于 y 轴对称的是（ ）y=log2x； y=x2； y=2|x|； A B C D【考点】函数奇偶性的判断【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可【解答】解：y=log 2x 的定义域为（0，+） ，定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；y=x2；是偶函数，图象关于 y 轴对称，满足条件y=2|x|是偶函数，图象关于 y 轴对称，满足条件 是奇函数，图象关于 y 轴不对称，
13、不满足条件，故选：B6已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A3 B12 C2 D7【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图可知该几何体为一个四棱锥，从一个顶点出发的三条棱两两互相垂直，可将该四棱锥补成正方体，再去求解【解答】解：由三视图知该几何体为有一侧棱垂直底面的四棱锥，将此四棱锥补成正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以 2r= ，所以 r= 所以该几何体外接球的表面积为 =3故选 A7设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax（a0）的焦点 F，且和 y 轴交于点 A，若OAF（O 为坐标原点）的面积为 4，则抛物线方程为（ ）Ay 2=4x B
14、y 2=4x Cy 2=8x Dy 2=8x【考点】抛物线的标准方程【分析】先根据抛物线方程表示出 F 的坐标，进而根据点斜式表示出直线 l 的方程，求得 A 的坐标，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得 a，则抛物线的方程可得【解答】解：抛物线 y2=ax（a0）的焦点 F 坐标为 ，则直线 l 的方程为 ，它与 y 轴的交点为 A ，所以OAF 的面积为 ，解得 a=8所以抛物线方程为 y2=8x，故选 C8某地实行阶梯电价，以日历年（每年 1 月 1 日至 12 月 31 日）为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过 2880 度（1 度=千瓦时）的电量，执行第
15、一档电价标准，每度电 0.4883 元；全年超过2880 度至 4800 度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电 0.5383 元；全年超过 4800 度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电 0.7883 元下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有（参考数据：0.4883 元/度2880 度=1406.30 元，0.5383 元/ 度度+1406.30 元=2439.84 元 ） （ ）A B C D【考点】函数的图象【分析】通过居民阶梯电价可知图象不正确，通过记用电量为 x 度可知电费 f（x）的表达式，进而可知均正确【解答】解：依题意，当全年用电量在 2880 度至 4800 度之间
16、时，电价分两段，即全年电量中的 2880 度（1 度=千瓦时）的每度电 0.4883 元、超出部分按每度电 0.5383 元计算，故图象不正确；记用电量为 x 度，电费为 f（ x）元/年，当 0x2880，f（x）=0.4883x，当 2880x4800，f（x）=0.488328880+0.5383（x 2880）=1406.3+0.5383（x 2880） ，当 x4800，f（x）=2439.84+0.7883（x 4800） ，x4800故均正确；综上所述，正确的是，故选：B二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题纸上.9 九章算术是我国古代内容极为
17、丰富的数学名著的，书中有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？答曰：二千一百一十二尺术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一 ”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积V= （底面的圆周长的平方 高） ，则该问题中圆周率 的取值为 3 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】由题意，圆柱体底面的圆周长 20 尺，高 4 尺，利用圆堡瑽（圆柱体）的体积 V= （底面的圆周长的平方高） ，求出 V，再建立方程组，即可求出圆周率 的取值【解答】解：由题意，圆柱体底面的圆周长 20 尺，高 4 尺，圆堡瑽（圆柱体）的体积 V=
18、 （底面的圆周长的平方高） ，V= = ，=3 ， R= ，故答案为：310口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取了 5 次停止种数为 42 【考点】排列、组合的实际应用【分析】恰好取 5 次球时停止取球，分两种情况 3，1，1 及 2，2，1，利用组合知识求解即可 【解答】解：分两种情况 3，1，1 及 2，2，1当取球的个数是 3，1，1 时，满足条件的事件数是 C31C43C21=24；当取球的个数是 2，2，1 时，满足条件的事件数是 C31C42C22=18；这两种情况是互斥的，利用加法原理可得恰好取了
19、5 次停止种数为 24+18=42，故答案为 4211在各项均为正数的等比数列a n中，若 a2=2，则 a1+2a3 的最小值是 4 【考点】等比数列的通项公式；数列的函数特性【分析】由基本不等式可得，a 1+2a32 = ，结合已知即可求解【解答】解：a 2=2，且 an0由基本不等式可得，a 1+2a32 = =4即最小值为故答案为：12过双曲线 =1（a 0，b0）的左焦点 F（c ，0）作圆 x2+y2=a2 的切线，切点 E，延长 FE 交双曲线于点 P，O 为原点，若 = （ + ） ，则双曲线的离心率为 【考点】双曲线的简单性质【分析】由题设知|EF|=b ，|PF|=2b，|PF|=2a，再由|PF|PF|=2a，知 b=2a，由此能求出双曲线的离心率【解答】解：|OF|=c，|OE |=a，OE EF ，
