1、平面几何解题方法介绍 羊明亮 湖南师范大学附属中学 知识与方法 数学竞赛中常用的著名定理有：梅涅劳斯定理及其逆定理、塞瓦定理及其逆定理、托勒 密定理（不等式） 、西姆松定理及其逆定理、欧拉定理，另外，还用到斯特瓦尔定理、蝴蝶 定理等. 除了上述定理外,我们还应掌握有关根轴、完全四边形、调和四边形、调和线束（点列） 等相关内容和灵活运用 ;此外,也要掌握一些非纯平面几何解题方法: 1、三角法 三角法是代数法的一种，在解题过程中，利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及 三角函数公式等，将几何间的线段、角的关系表示成代数形式，然后通过三角运算，解决几 何问题，这可以使平面几何中复杂的量与量之间的关
2、系变得简单明了，可以将复杂的演绎推 理转化为三角运算，方法简单、思路清晰. 2、解析法 解析法是指建立适当的坐标系，将平面几何问题化归为代数运算，并运算相应的解析 几何知识来解决平面几何问题的一种方法，它是数形结合这一数学思想的代表之一，它能使 复杂的平面几何问题思路有序、直观简捷，其基本要点是：建立适当的直角坐标系；引 进某角（直线的倾斜角或三角形中某角）作为参数，用其表示点的坐标、曲（直）线的方程； 通过三角运算，使问题获得解决. 3、复数法 复数法是指通过数计算来证明平面几何问题的方法，首先是将几何问题（如证明平行与 垂直、与旋转角度有关问题等）转化为相应的复数问题，然后再用复数知识方法
3、解决。此方 法常用到以下有关公式： 定比分点公式： 若 12 ZZZ Z ， 则 12 1 zz z .当 1 时， 12 1 () 2 zzz 即 为中点公式。 1 Z 、 2 Z 、 3 Z 三点共线 21 31 . zz R zz 12 34 / ZZZ Z 43 21 . zz R zz 12 34 ZZZ Z 43 21 (0 ) . zz ki k zz 123 ZZZ 为正三角形 1231 21 32 3 zzzz zz zzz 123 1 22 33 1 1 Im( ). 2 ZZZ Sz z z z z z 注：以上点Z 对应的复数用z 表示。 4、向量法 由于向量既反映数量
4、关系，又体现位置关系，所以它能数形相辅地用代数方法研究几何 问题，即把几何代数化，时几何问题能用代数运算解决，由此可见，解析法、复数法实质上 是一种特殊的向量方法，向量法兼有几何的直观性、表述的简洁性和方法的一般性等待点. 使用向量法应注意一下几点： 首先要在图中指定一些线性无关的向量为基础的向量， 然后以此为依据进行计 算。 在确定点的位置时，一般用向量的线性关系（这是向量的重要性质，贯穿于整 个向量法）来、解决。 一般用向量的内积来解决平行与垂直、长度关系及交角等问题。 一般用向量的外积来解决与面积有关或判断共线与否等问题。 几何中旋转变换问题在向量法中对应的是向量的外积表示， 由向量的外
5、积可以 表示平面上一个向量旋转以后的向量。 5、面积法 用图形的面积知识来解决几何问题的方法称为面积法， 一般有两类： 求多边行的面积； 用面积有关知识作为计算或论证手段，通过适当的变换，从而得出所考虑的量与量之间关 系，最后得出结论，或者将边之间的比和面积结合起来得到一个等式（称面积方程） ，然后 通过面积方法去解决有关问题。 ABC 的面积公式（其中 1 () , 2 P abc R为 ABC 外接圆半径，r 为内切圆半径） ： 111 (, 222 abc a b c Sa ha hc hhhh ，分别为 , abc边上的高的长度） ； 111 sin sin sin ; 222 Sa
6、bCa cBb cA 1 () () () ,() 2 Sp papbpcpabc （海伦公式） ； (sin sin sin ) Sp rR rR rA B C 4c o sc o sc o s; 222 A BC Rr ; 4 abc S R 222 sin sin sin sin sin sin 2sin( ) 2sin( ) 2sin( ) aBCbACcAB S BCA CA B 2 2 sin sin sin ; SRABC 1 ( )tan ( )tan ( )tan , ( ). 222 2 ABC Sppa ppb ppc P abc 范例选讲 例 1 设P为 ABC 的一个
7、内点, , PA PB PC 分别交边 , BCCAAB于 , DEF. 证明: 1 2 PAF PBD ABC ABC SSSS 成立当且仅当P 至少位于 ABC 的一条中线 上. 证明:设 , APB BPC CPA Sa Sb Sc 则 ,. AFcB DaC Eb FB b DC c EA a 从而 1 2 PAF PBD ABC ABC SSSS . 2 ac bc ca a b c bccaab 222 0. abbccaab bc ca , abbcca 中至少有一个成立. 即P至少位于 ABC 的一条中线上. 例 2 在凸五边形ABCDE 中, BAC EAD , BCA ED
8、A .直线BC与DE 相 交于点F . 求证: 三条线段 , BE CD AF 的中点共线. 证明: 过A作APB C ,AQE D ,垂足分别为 , PQ. 设AQ交BC于R ,AP交ED于S .则 PRA ASQ ,且 APC AQD . 从而 PC AP QD AQ . 设PQ的中点为K , , BE CD AF 的中点分别为 , M NO . 下证: KN PQ . 事实上, 1 00 2 KN PQ KN PQ PC QD PQ 0 PC QD PA AQ . PC AQ QD AP (注意到了AP PC ,AQQ D ) sin sin PC AQ ARP QD AP ASQ .
9、这由 PRA ASQ 及 PC AP QD AQ 知成立. 故KN PQ .同理KM PQ . 又由APP C ,AQQ D 及O为AF 的中点,知O为 APQ 的外心,从而OK PQ . 故 , M NO 三点共线. 例 3 给定圆内接五边形ABCDE .已知ACD E , M 为 BD 的中点, 且 AMB CMB . 证明: BE平分AC . 证明:不妨设五边形ABCDE 内接于复平面上以原点O为圆心的单位圆, , ABCDE 对应的复数分别为 , abcde ,则M 对应的复数 1 () 2 mbd . 由ACD E ,有ac de . 由 AMB CMB ,有 2 () () ()
10、amcm R bm , 于是 2 (2 ( )(2 ( ) () abdcbd R bd . 从而 2 2 (2 ( )(2 ( ) (2 ( )(2 ( ) () () abdcbd abdcbd bd bd 2 211211 ( ( )( ( ) 11 () abdcbd bd . 化简,得 22 22 2( ) ( )( )( ) a c b d ac bd a c b d . 现需证 , 2 ac be 所对应的复平面上的点共线,即只需证 2 2 ac b R ac e . 而 222 22 2 ac ac ac bbb R ac ac ac ee e 注意到,只需证 11 1 2 2
11、 11 2 ac ac b b aca c d daca c , 化简,得 22 22 2( ) ( )( )( ) ac bd ac bda cb d .这就是. 故命题成立. 例 4 ABC 中， , BDCE为内角平分线，内心为I ，作 IPD E 交DE 于P ，交 BC 于Q，若 1 . 2 IPI Q 证明： 60 A . 证明: 设 , IBC ICB IDE y . , IED x BIE 作IMB C 于M ,则 0 90 IQM y . 所以 0 sin( 90 ) cos( ) IM IM IQ y y . 作INB C 于N ,则 NEI .,于是 sin sin si
12、n( INx IP IE x . 又2IPI Q ,IMI N ,则2sin cos( ) sin( ) xy . I E N P M Q C B A而 2sin cos( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) xyxyx yxy 于是sin( ) sin( ) sin( ) 2cos sin xy , 即 s i nc o s ()c o ss i n ()2 c o ss i n xy xy . (1) 由对称性,同理可得 sin cos( ) cos sin( ) 2cos sin yx yx . (2) (1) sin (2) sin ,可得sin sin( )
13、0 xy ,而sin 0 ,所以sin( ) 0 xy , 从而x y .代入(1)中, sin 2cos sin ,于是 1 cos 2 ,则 0 60 . 所以 0 180 2( ) 60 A . 例5 设凸四边形ABCD的外接圆的圆心为O.已知ACB D ,且AC 与BD交于点E , 若P为四边形ABCD内部一点,且 0 90 PAB PCB PBC PDC . 求证: O、P、E三点共线. 证明：记 APC 的外接圆的圆心为 1 S ， BPD 的外接圆的圆心为 2 S . 由圆幂定理， 有EC EA EB ED ,知点E对圆 1 S 的幂等于E对圆 2 S 的幂. 于是PE为圆 1
14、S 与圆 2 S 的根轴. 下面只需证明O在圆 1 S 与圆 2 S 的根轴上. 延长OP交圆 1 S 于点Q，连接 , QC QA. 由条件知 0 90 ACP CAP CBA . 连接 , OC OA ，则 0 90 CAO CBA ACP CAP . 从而有 ACP PAO . 又 ACP AQO ，于是 PAO AQO . 故 PAO OQA . Q E P O D C B A所以 2 OP OQ OA ,即点O对圆 1 S 的幂为 2 OA . 同理, 点O对圆 2 S 的幂为 2 OB . 注意到OA OB ,有点O对圆 1 S 与圆 2 S 的幂相等. 故O在圆 1 S 与圆 2
15、 S 的根轴PE上. 所以, O、P、E三点共线. 例 6 设 ABC 的外心为O.过A的切线PD,D在BC上, P在射线DA上,过P作 O的条割线PU ,U 在BD上, PU 交O于 , R S . 证明:若QR ST ,则PQ TU . 证明:先证一条引理:若射线 , OA OB OC OD与直线l分别交于 , EFGH.则 sin sin sin sin EF GH EFO HOG EG FH GOE HOF . 引理的证明:由面积关系,有 sin sin OEF OEG S EF OE OF EOF EG S OE OG EOG ; sin sin OGH OFH S GH OG OH
16、 GOH FH S OF OH FOH . 上两式相乘,即得 sin sin sin sin EF GH EFO HOG EG FH GOE HOF . 下回到原题: 由引理, sin sin sin sin PT QS PAT QAS PQ ST PAQ SAT . 注意到, 00 180 180 PAT DAT ABT , 0 180 QAS QBC PAQ ABQ , SAT TBC . 所以, sin sin sin sin sin sin sin sin PT QS ABT QBC RBT QBU PQ ST ABQ TBC RBQ TBU . 由引理,有 sin sin sin s
17、in RT QU RBT QBU RQUT RBQ TBU . 于是, PT QS RT QU PQ ST RQ UT . 由QR ST ,有 PT QU PQ UT ,即11 QT QT PQ UT ,于是PQ TU . 例 7 已知 ABC , PAB 和 QAC 为 ABC 外面的两个三角形,满足AP AB , AQ AC 以及 BAP CAQ .线段BQ与CP相交于点R .设O是 BCR 的外接圆的圆 心. 证明: AO PQ . 证明:设O的半径为r ,则 22 PR PC PO r , 22 QR QB QO r , 所以 22 PO QO PR PC QR QB . 因为 APA
18、 B ,AQA C , PAC PAB BAC CAQ BAC BAQ , 所以 PAC BAQ ,PC BQ . 过A作 PAC 的高AM 和 BAQ 的高AN .因为AM 和AN ,PM 和BN ,CM 和NQ 是全等 PAC 和 BAQ 的对应元素,所以 AM AN ,PM BN ,CM NQ , 2222 RMA RA M A RA NR N . 于是 22 () PO QO PR PC QR QB PR QR PC ()() PR QN NR PC PR MC MR PC 22 () () PM MC PM MC PM MC 2222 () () PA AM AC AM 2222 P
19、A AC PA QA , 故AO PQ . 例 8 设 ABC 的三条内角平分线分别交外接圆于 111 , ABC .设 11 AC 与 11 AB分别交BC 于 , PQ,记PQ中点为 a M ，类似地定义 , bc M M . 求证： , ab AM BM 和 c CM 三线共点的充分 必要条件为 ABC 是等腰三角形. 证明:设 11 AC 交AB 于S , ABC 的内心为 I ,连接 , ISIP ,设 1 AA 交BC于R . 因为 11 1 1 2 CBB CCB ACB , 11 1 2 BCC ABC , 11 1 2 CC A BAC . 所以 0 11 11 11 1 (
20、) 9 0 2 CBB BCC CC A ACB ABC BAC . 故 11 1 BBA C . 注意到 BI 平分 ABC ,有BSB P . 由内心的性质可知 11 AI AB , 11 CI CB .从而 11 1 CBA CIA . 故 , B I 关于 11 AC 对称. 由此,结合可知四边形BPIS 为菱形,于是BPI S . 故 ASA IA CA Bbc SB IR BC a ,于是 ac SB abc ,从而 ac BP abc . 同理, ab CQ abc . 于是 2 1 () 22 ( ) a a PM BC BP CQ abc ,从而 2 2 a a BM ca
21、MCba . 类似有其余两式. 由赛瓦定理的逆定理, , ab AM BM 和 c CM 三线共点 1 abc abc BM CM AM MCMAMB 222 1 222 cabcab baacac () () ()0 abbcca R S I Q P C B A M a A 1 C 1 B 1ABC 是等腰三角形. 训练题 1、设O是 ABC 的外心， M 是AB的中点，G 是 ACM 的重心. 证明：如果OG CM ，证明： ABC 是等腰的. 证明：我们用向量方法来解决这个问题（垂直关系用向量是比较容易处理的）. 以 ABC 的外心O为原点，设OA a ，OB b ，OC c . 则 1
22、 () 2 OM a b ， 1 (3 2 ) 6 OG a b c ， 1 (2 ) 2 CM a b c . 由OG CM ，得 0 OG CM ，即 11 (3 2 ) ( 2 ) 0 62 abcabc ， 化简得到， ()0 abc ，从而 OA BC ，于是AB AC . 故 ABC 是等腰的. 2、 证明或否定： 在凸四边形ABCD所在的平面上， 存在一点E， 使得 ABE CDE . 证明：命题成立. 设复平面上 , ABCD对应的复数分别为 , abcd. 假设存在满足条件的点E，设E对应的复数为e. 因为 ABE CDE ，则 aece bede . 故( ) ( ) ad
23、bcea db c . 注意到ABCD为凸四边形，有AD的中点与BC的中点不重合. 从而 22 adbc ,即()()0 adbc . 于是 ()() ad bc e adbc . 故，此复数对应的复平面上的点E，满足 ABE CDE . 3、设P为凸四边形ABCD对角线的交点，且有 BD AC AB ， I O, （ I O ）分 别为 ABP 外心和内心. 求证： CD OI . 证明 只需证明 2222 DO CO DI CI . 记ABA CB Dp ，PC a ,PD b ，则APpa ，BPpb . 记 ABP 的外接圆半径为R . 由圆幂定理， 22 pbD PD BD OR ，
24、类似地 22 paC OR . 因此， 22 () DO CO p b a . 注意到BAB D ，有IDI A ，类似地，IBI C . 记 ABC 的内切圆切AB于点T ,于是 11 () () 22 AT A BA PB P pba , 1 () 2 BTpa b . 由于 ITA B ,则 2222 AI BI AT BT . 于是 222222 () () DI CI AI BI AT BT AT BT AT BT () pba . 所以 2222 DO CO DI CI . 4、 ABC 的外接圆为 O ,延长中线AD交 O 于 2 A ,过D作AO的垂线与点 2 A 的切 线交于
25、 3 A ,类似定义 33 , B C . 证明： 333 , ABC三点共线. 证明：设 ABC 的九点圆的圆心为V ,连接 2 OA , 则由九点圆的性质不难知VM AO ,所以 3 VM AE ,又在M 九点圆上, 故 3 AM为 V 的切线. 又 223 2 90 90 AME OAA OA A A AM .所以 33 2 AM AA , 从而 3 A 对 V 的幂等于对 O 的幂,即有 3 A 在这两圆的根轴上， 同理， 33 , B C 也在根轴上,结论成立. 5、 ABC 的内切圆I 切 , BCCAAB于点 , DEF, AD与I 的令一个交点为 X , , BXCX分别交I
26、于 , PQ.若AXX D 。 求证:(1) FP EQ ; (2) BQ、CP、AD三线共点. 证明： （1）注意到四边形FXDP为调和四边形，有FP DX PD FX . 而AX XD ，于是 PD AX FP XF . 又 FXA FPD ， 所以 FPD PXA . 故 FAX FDP BFP ,从而 FP AD . 同理, EQA D . 故FP EQ . (2) BQ 、 CP 、 AD 三线共点 1 XP BD CQ PB DC QE . 由边比定理, sin sin XPD X X D P PB DB PBD , sin sin CQ CD CDQ QE DX QDX . 又
27、PDB DXB , CDQ CXD . 所以 sin sin 11 sin sin XP BD CQ XDP CXD PX DQ PD QX PB DC QE DXB QDX 四边形PDQX 为调和四边形. 注意到四边形FXDP为调和四边形,由托勒密定理,有 2 PX DF PD FX . 同理, 2 QX DE QD EX . 注意到四边形FXED为调和四边形,有FX DE XE FD . ,得PX DQ PD QX . 故命题成立. 6、给定 ABC 和其外接圆 ,圆 A 与边 , ABAC 分别切于 12 , DD,与圆 内切于L ,类 似定义 12 12 ,;, EEMFFN . 求证
28、: AL、BM 、CN 三线共点. Q P F X E D C B A证明: 连接 1 LD 与圆 交于点P , 2 LD 与圆 交于点Q,LA与圆 A 交于点K . 连接 12 DD , 1 DK, 2 DK,PA .过L作两 圆的外公切线ST . 则 11 BDL SLD PAC . 于是 11 PAD ALD ,从而P 为 AB 的中点.同理Q为 AC 的中点. 在 1 ADL 及 2 ALD 中分别用正弦定 理,易得 11 22 sin sin sin sin DL ALD BAL CAL D L ALD . 注意到,四边形 12 DKDL为调和四边形,有 11 1 22 2 sin sin 2 sin sin 2 C DL DK ALD B DL DK ALD . 于是 2 2 sin sin 2 sin sin 2 C BAL B CAL . 同理, 2 2 sin sin 2 sin sin 2 A CBM C ABM , 2 2 sin sin 2 sin sin 2 B ACN A BCN . 所以 sin sin sin 1 sin sin sin BAL CBM ACN CAL ABM BCN . 由角元形式塞瓦定理的逆定理知AL、BM 、CN 三线共点. C K B S T L Q P A D 2 D 1
