1、修文县第一中学高一数学数列导学案 梅应奎1数列导学案2.1 数列的概念及简单表示（一）【学习要求】1理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型2探索并掌握数列的几种简单表示法3能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式【学法指导】1在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念2类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法3由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式【知识要点】1按照一定顺序排列的一列数称为 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的
2、第 1 项(通常也叫做_项) ，排在第二位的数称为这个数列的第 2 项，排在第 n 位的数称为这个数列的第 项2数列的一般形式可以写成 a1,a2,an,简记为 3项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做_数列4如果数列a n的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 公式【问题探究】探究点一 数列的概念问题 先看下面的几组例子：（1）全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，；（2）正整数 1,2,3,4,5 的倒数排成一列数：1，；12131415（3） 精确到 1,0.1,0.01,0.001，的不足近似值排成一列数：3,3.1,3.
3、14,3.141，；（4）无穷多个 1 排成一列数：1,1,1,1,1，；（5）当 n 分别取 1,2,3,4,5，时，(1) n 的值排成一列数： 1,1，1,1，1，.请你根据上面的例子尝试给数列下个定义探究 数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质？探究点二 数列的几种表示方法问题 数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法？探究 下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整（1）数列：1,3,5,7,9，用公式法表示：a n ；用列表法表示：修文县第一中学高一数学数列导学案 梅应奎2（2）数列：1，12131415用公
4、式法表示：a n .用列表法表示：用图象法表示为(在下面坐标系中绘出 )：探究点三 数列的通项公式问题 什么叫做数列的通项公式？谈谈你对数列通项公式的理解？探究 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式下表中的一些基本数列，你能准确快速地写出它们的通项公式吗？数列 通项公式1,1，1,1， an 1,2,3,4， an 1,3,5,7， an 2,4,6,8， an 1,2,4,8， an 1,4,9,16， an 1，121314an 【典型例题】例 1 根据数列的通项公式，分别写出数列的前 5 项与第 2 012 项
5、（1）a ncos ；n2（2）b n .112 123 134 1nn 1小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意 n1,2,3，.如果数列的通项公式较为复杂，应考虑运算化简后再求值跟踪训练 1 根据下面数列的通项公式，写出它的前 4 项（1）a n2 n1；（2）b n 2)1(n例 2 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：（1）1，3,5，7,9，；（2），2，8， ，；12 92 252（3）9,99,999,9 999，；（4）0,1,0,1，.小结 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；
6、拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征并对此进行联想、转化、归纳修文县第一中学高一数学数列导学案 梅应奎3跟踪训练 2 写出下列数列的一个通项公式：（1）2 ，4 ，6 ，8 ，；12 14 18 116（2）0.9,0.99,0.999,0.999 9，；（3） ， ， ，.1216 112 120例 3 已知数列a n的通项公式 an . 1nn 12n 12n 1（1）写出它的第 10 项；（2）判断 是不是该数列中的项233小结 判断某数列是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求 n 的值，若存在正整数 n，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项跟踪训练 3 已知数列a n
7、的通项公式为 an (nN *)，那么 是这个数列的第_1nn 2 1120项【当堂检测】1下列叙述正确的是 ( )A数列 1,3,5,7 与 7,5,3,1 是相同的数列 B数列 0,1,2,3，可以表示为nC数列 0,1,0,1，是常数列 D数列 是递增数列nn 12观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1， ， ， ，_， ，.3 5 7 113已知下列数列：（1）2 000,2 004,2 008,2 012； （2）0， ，；1223 n 1n（3）1， ，； （4）1， ， ，；1214 12n 1 2335 1n 1n2n 1（5）1,0，1，sin ，； （6）6,6,6,6
8、,6,6.n2其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_，周期数列是_(将合理的序号填在横线上)【拓展提高】4写出下列数列的一个通项公式：（1）a，b，a，b，；（2）1， ， ，.85 157 249修文县第一中学高一数学数列导学案 梅应奎4【课堂小结】1a n与 an 是不同的两种表示，a n表示数列 a1，a 2，a n，是数列的一种简记形式而an 只表示数列a n的第 n 项，a n 与a n是“个体” 与“整体”的从属关系2数列的表示方法：图象法；列表法；通项公式法；递推公式法3由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数
9、之间的联系同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决修文县第一中学高一数学数列导学案 梅应奎52.1 数列的概念及简单表示（二）【学习要求】1理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项2能从函数的观点研究数列，掌握数列的一些简单性质【学法指导】1数列的递推公式是给出数列的另一重要形式一般只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项2由于数列可以看作是一类特殊的函数，因此许多函数的性质可以应用到数列中例如，数列的单调性、数列的最值、数列的周期性都可以类比函数的性质【知识要点】1如果数列a n的第 1 项或前几
10、项已知，并且数列a n的任一项 an 与它的前一项 an1 (或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的 公式2数列可以看作是一个定义域为 (或它的有限子集1,2,3，n) 的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列 3一般地，一个数列a n，如果从 起，每一项都大于它的前一项，那么这个数列叫做 数列如果从第 2 项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列叫做 数列如果数列a n的各项都 ，那么这个数列叫做常数列4已知数列a n满足：a 11，a n1 a n1，则 an ，从单调性来看，数列是单调 数列【问题探究】公元前 13 世纪意大利数学家斐波那契
11、的名著算盘全书中，记载了一个著名的问题，某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开始也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？该问题在原书中作了分析：第一个月和第二个月都是最初的一对兔子，第三个月生下一对兔子，围墙内共有两对兔子，第四个月仍是最初的一对兔子生下一对兔子，共有 3 对兔子到第五个月除最初的兔子新生一对兔子外，第一个月生的兔子也开始生兔子，因此共有 5 对兔子继续推下去，第 12 个月时最终共有 144 对兔子书中还提出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得据载首先是由 19 世纪法国数学家吕卡将级数a n：1,1,2,3
12、,5,8,13,21,34，a n1 ana n1 命名为斐波那契数列，它在数学的许多分支中有广泛应用数列的这种表达形式，是用前面的项来表达后面的项，我们称之为数列的递推公式，数列的递推公式有什么应用呢？这一节我们就来学习数列的递推公式探究点一 数列的函数特性问题 数列是一种特殊的函数，与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的认识探究 1 数列的单调性下面给出了一些数列的图象：修文县第一中学高一数学数列导学案 梅应奎6an2n1an1nan(1) n观察上述数列项的取值的变化规律，请类比单调函数的定义，把下列单调数列的定义补充完整一般地，一个数列a n，如果从第 2 项起，每一项都大于
13、它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递增数列；如果从第 2 项起，每一项都小于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递减数列；如果数列 an的各项都相等，那么这个数列叫做常数列因此，要证明数列a n是单调递增数列，只需证明 an1 an 0；要证明数列 an是单调递减数列，只需证明 an1 a n 0.探究 2 数列的周期性已知数列a n中，a 11，a 22，a n2 a n1 a n，试写出 a3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发现数列a n具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第 2 012 项是多少？探究点二 由简单的递推公式求通项公式问题 递推公式与通项公式，都可以用来写出数
14、列中的任意项，都是给出数列的一种方法，那么修文县第一中学高一数学数列导学案 梅应奎7它们究竟有什么不同呢？探究 1 对于任意数列a n，等式：a 1(a 2a 1)(a 3a 2)(a na n1 )a n 都成立试根据这一结论，求解下列问题已知数列a n满足：a 11，a n1 a n2，试求通项 an.探究 2 若数列a n中各项均不为零，则有：a 1 a n 成立试根据这一结论求解下a2a1a3a2 anan 1列问题已知数列a n满足：a 11， (n2)，试求通项 an.anan 1 n 1n【典型例题】例 1 在数列a n中，已知 a12，a 23，a n2 3a n1 2an(n
15、1)，写出此数列的前 6 项小结 已知数列递推公式求数列通项时，依次将项数 n 的值代入即可跟踪训练 1 已知数列a n中，a 11，a 2 ， (nN *，n3)，求 a3，a 4.23 1an 2 1an 2an 1例 2 已知数列a n的通项公式为 an .求证：数列a n为递增数列n2n2 1小结 数列是一种特殊的函数，因此可用函数单调性的方法来研究数列的单调性跟踪训练 2 已知数列a n的通项公式是 an ，其中 a、b 均为正常数，那么 an 与 an1 的大anbn 1小关系是 ( )Aa nan1 Ba nan1 )，则图象呈上升趋势，即数列递增，即 an递增a n1 an 对
16、任意的 n (nN *)都成立类似地，有 an递减 a n1 0，则数列 an为 数列；若公差 d0 an为 数列d0 an为 数列d0，d0，Error! 时，S n 取得最小值3求等差数列a n前 n 项的绝对值之和，关键是找到数列 an的正负项的分界点【拓展提高】等差数列习题课【学习要求】1熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前 n 项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题2熟练掌握等差数列的性质、等差数列前 n 项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题3熟练掌握等差数列的五个量 a1，d，a n，n，S n 的关系，能够用其中三个求另外两个【学法指导】a1，d，n 称为等差数列的三
17、个基本量，a n 和 Sn 都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，a n，S n 中可知三求二，即等差数列的通项公式及前 n 项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前 n 项和公式联立方程(组) 求解这种方法是解决数列运算的最基本方法，对此类问题，注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用【知识要点】1等差数列的通项公式 an ，其中 a1 为首项，d 为公差2等差数列的前 n 项和：一般地，若已知首项 a1 及公差 d，用公式 Sn 较好，若已知首项 a1 及末项 an，用公式 Sn 较好3若数列a n是公差为 d
18、 的等差数列，则有下列性质：若 mnpq，则 (m，n，p，qN )；若 Sk 表示a n的前 k 项和，则 Sk，S 2kS k，S 3kS 2k， 是_数列若a n有 2k 1 项，k N ，则中间一项是 ，S 2k1 _， S奇S偶4对于数列a n，一般地，我们称 a1a 2a 3a n 为数列 an的前 n 项和，用 Sn 表示，即Sna 1a 2a 3a n，若已知 Sn，则 an 修文县第一中学高一数学数列导学案 梅应奎19【基础自测】1设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 S510，S 10 5，则公差 d 为 ( )A1 B1 C1 D22已知某等差数列共有 10 项，
19、其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差为( )A1 B2 C3 D43在等差数列a n中，若 a1a 4a 8a 12a 152，则 S15 等于 ( )A28 B30 C31 D324在等差数列a n中，已知前三项和为 15，最后三项和为 78，所有项和为 155，则项数n_【题型解法】题型一 等差数列中基本量的运算例 1 等差数列a n的前 n 项和记为 Sn，已知 a1030，a 2050.（1）求通项 an；（2）若 Sn242，求 n；小结 在等差数列中，五个基本的量，只要已知三个量，就可以求出其他两个量，其中 a1 和 d 是两个最基本量，利用通项公式与前 n 项和公式
20、，先求出 a1 和 d，再求解跟踪训练 1 设a n为等差数列，S n 为数列a n的前 n 项和，已知 S77，S 1575，T n 为数列的前 n 项和，求 Tn.Snn题型二 等差数列前 n 项和的基本性质例 2 一个等差数列的前 10 项之和为 100，前 100 项之和为 10，求前 110 项之和小结 解数列问题时，要注意数列性质的灵活应用，可以运用等差数列前 n 项和 SnAn 2Bn 这一整体形式，避免繁琐复杂的计算跟踪训练 2 设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 SpS q(p，qN *且 pq)，则 Spq _题型三 等差数列中的创新型问题例 3 下表给出一个“等差
21、数阵”：4 7 ( ) ( ) ( ) a1j 7 12 ( ) ( ) ( ) a2j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a3j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a4j ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 aij 其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第 i 行第 j 列的数（1）写出 a45 的值；（2）写出 aij 的计算公式修文县第一中学高一数学数列导学案 梅应奎20小结 关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决跟踪训练 3 把自然数 1,
22、2,3,4，按下列方式排成一个数阵12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15根据以上排列规律，数阵中第 n (n3)行从左至右的第 3 个数是 _【当堂检测】1已知等差数列a n中，a 7a 916，a 41，则 a12 的值是 ( )A15 B30 C31 D642在等差数列a n中，a 13a 8a 15120，则 2a9a 10 的值为 ( )A24 B22 C20 D83等差数列a n中，S 104S 5，则 等于 ( )a1dA B2 C D412 144已知等差数列a n的公差 d 不等于 0，S n 是其前 n 项和，给出下列命题：给定 n(n2，且 nN *
23、)，对于一切 kN *(k0，且 S3S 8，则 S5 与 S6 都是数列 Sn中的最小项；点 ， ， ， (nN *)，在同一条直线上(1，S11) (2，S22) (3，S33) (n，Snn)其中正确命题的序号是_(把你认为正确的命题序号都填上)【课堂小结】1等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前 n 项和公式的出发点2a 1，d，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和 Sn 都可以用这三个基本量表示，五个量a1，d，n，a n 和 Sn 中知三可求二通常的做法是利用公式联立方程(组) 求解这是解决数列运算的最基本方法，具体求解时
24、应注意已知与未知的联系及整体思想的运用2.4 等比数列（一）【学习要求】1通过实例，理解等比数列的概念并会应用修文县第一中学高一数学数列导学案 梅应奎212掌握等比中项的概念并会应用3理解等比数列的通项公式及推导【学法指导】1要善于通过实例的观察、分析、归纳，提炼等比数列的概念2学习等比数列时，要注意与等差数列进行类比，掌握两个数列的联系与区别3由等差中项类比得到等比中项时，要注意等比中项的存在前提是 a，b 必须同号，而且同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，这点与等差中项不同【知识要点】1如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个
25、常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示(q0)2a n成等比数列 q(nN *，q0)an 1an3等比中项的定义如果 a、G、b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的 ，且 G .4等比数列的通项公式： .【问题探究】探究点一 等比数列的概念观察下面几个数列：1,2,4,8,16，1， ，121418 1161，1,1，1,1， ，1,2，4,8，12上面这几组数列的共同点是： _像这样的数列，就叫做等比数列这个非零常数叫做等比数列的 问题 下列所给数列中，等比数列的序号是_1,1,1,1,1，.0,1,2,4,8，.2 ，1,2 ，.3 3 ，2,4,8,16，.12探究点二 等
26、比中项问题 请你类比等差中项的概念，给出等比中项的概念探究 下表是等差中项与等比中项概念的对比，请填充完整.对比项 等差中项 等比中项定义 若 a，A，b 成等差数列，则A 叫做 a 与 b 的等差中项 若 a，G，b 成 数列，则 G 叫做 a 与 b 的等比中项定义式 AabA修文县第一中学高一数学数列导学案 梅应奎22公式Aa b2 G 个数 a 与 b 的等差中项唯一 a 与 b 的等比中项有 个，且互为 备注 任意两个数 a 与 b 都有等差中项 只有当 时，a 与 b 才有等比中项探究点三 等比数列的通项公式问题 如果等比数列a n的首项为 a1，公比为 q，你能用归纳的方法给出数
27、列 an的通项公式吗？探究 除了利用归纳法，你还有其它的方法推导等比数列的通项公式吗？【典型例题】例 1 在等比数列a n中，（1）已知 a13，q2，求 a6；（2）已知 a320，a 6160，求 an.小结 等比数列的通项公式 ana 1qn1 中有四个量 a1，q，n，a n.已知其中三个量可求得第四个，简称“知三求一” 跟踪训练 1 已知a n为等比数列，a 32，a 2a 4 ，求 an的通项公式203例 2 在 243 和 3 中间插入 3 个数，使这 5 个数成等比数列，求这 3 个数小结 利用等比数列的通项公式求各项时，要注意选取的首项 a1 与项数 n 的对应关系，计算各项
28、时注意防止序号出错跟踪训练 2 在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为83 272_例 3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数小结 合理地设出所求数中的三个，根据题意得出另一个是解决这类问题的关键一般地，三个数成等比数列，可设为 ，a，aq；三个数成等差数列，可设为 ad，a，ad.aq跟踪训练 3 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为 21，中间两项和为 18，求这四个数【当堂检测】1在等比数列a n中，a 5a 115，a 4a 26，则
29、 a3 等于 ( )A4 B8 C4 或 4 D8 或 82已知公差不为 0 的等差数列的第 2,3,6 项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比 q 为 ( )A B3 C D313 13345 和 80 的等比中项为_修文县第一中学高一数学数列导学案 梅应奎234在 160 与 5 中间插入 4 个数，使它们同这两个数成等比数列，则这 4 个数依次为_【课堂小结】1由等比数列的概念可知，要判定一个数列是否为等比数列，只需看 的比值是否为不为零an 1an的常数即可，也就是看 q(q0)是否对任意的正整数 n 都成立an 1an2两个同号的实数 a、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两
30、个( )，而不是一个( )，这ab ab是容易忽视的地方3等比数列的通项公式 ana 1qn1 共涉及 a1，q，n，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量【拓展提高】2.4 等比数列（二）【学习要求】1灵活应用等比数列的定义及通项公式2熟悉等比数列的有关性质3系统了解判断是否成等比数列的方法【学法指导】1等差数列与等比数列联系十分紧密，既有诸多相似之处，又有不同的地方，充分准确地把握它们之间的联系，会为我们解题带来诸多便利2等比数列的通项公式是研究等比数列各种性质的关键所在【知识要点】1等比数列的通项公式：a n ，推广形式：a na m (n，m N *)2如果一个数列a n的通项公
31、式为 anaq n，其中 a，q 都是不为 0 的常数，那么这个数列一定是等比数列，首项为 ，公比为 .3一般地，如果 m，n，k，l 为正整数，且 mnkl，则有_，特别地，当 mn2k 时，aman .4若a n是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，即 a1ana 2 a k .【问题探究】探究点一 等比数列的单调性探究 观察下面几个等比数列中项的变化趋势：1,2,4,8,16，1， ， ， ， ，12 14 18 116修文县第一中学高一数学数列导学案 梅应奎249,3,1，13191，2，4，8，16，1， ， ， ，1214 18 116通过上面的例子，可以得出下列结论：当
32、q0 时，等比数列既不是递增数列，也不是递减数列，而是_数列；当 a10，q1 时，等比数列是 数列；当 a10,0q1 时，等比数列是 数列；当 a10，q1 时，等比数列是 数列；当 a10,0q1 时，等比数列是 数列综上所述，等比数列单调递增 ；等比数列单调递减 .探究点二 等比数列的性质探究 1 在等比数列a n中，若 mnst，证明 aman asat(m，n，s，t N *)探究 2 在等比数列a n中，若 mn2k，证明 amana (m，n，kN *)2k问题 在各项均为正数的等比数列a n中，若 a3a54，则 a1a2a3a4a5a6a7_.探究点三 等比数列的判断方法探
33、究 1 判断或证明一个数列是等比数列的常用方法有哪些？探究 2 如何判断或证明一个数列不是等比数列？问题 1 若数列a n为等差数列，公差为 d，b nc (c0 且 c1)，试问数列b n是什么数列？并证明你的结论问题 2 若数列a n为等比数列，公比为 q，且 an0，b nlg an，试问数列b n是什么数列？并证明你的结论问题 3 已知 an2 n3 n，判断数列a n是否是等比数列？【典型例题】例 1 已知a n为等比数列（1）若 an0，a 2a42a 3a5a 4a625，求 a3a 5；（2）若 an0，a 5a69，求 log3a1log 3a2log 3a10 的值跟踪训练
34、 1 设a n是由正数组成的等比数列，公比 q2 ，且 a1a2a3a302 15，求a2a5a8a29 的值例 2 已知数列a n满足 a11，a n1 2a n1，（1）求证：数列a n1是等比数列；（2）求a n的通项公式小结 利用等比数列的定义 q(q0)是判定一个数列是等比数列的基本方法要判断一个数an 1an列不是等比数列，举一组反例即可，例如 a a1a3.2跟踪训练 2 设a n、b n是公比不相等的两个等比数列，c na nb n，证明数列 cn不是等比数列例 3 某制糖厂 2011 年制糖 5 万吨，如果从 2011 年起，平均每年的产量比上一年增加 20%，那么修文县第一
35、中学高一数学数列导学案 梅应奎25到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过 30 万吨(保留到个位) ？(lg 60.778，lg 1.20.079)小结 等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项 a1，项数 n 所对应的实际含义跟踪训练 3 在利用电子邮件传播病毒的例子中，如果第一轮感染的计算机数是 80 台，并且从第一轮起，以后各轮的第一台计算机都可以感染下一轮的 20 台计算机，到第 5 轮可以感染到多少万台计算机？【当堂检测】1已知各项均为正数的等比数列a n中，lg(a 3a8a13)6，则 a1a15 的值为 ( )A100 B100 C10 0
36、00 D10 0002某种产品平均每两年降低价格 ，目前售价为 8 100 元，则 6 年后此产品的价格为 ( )13A2 700 元 B3 600 元 C4 800 元 D5 400 元3一直角三角形的三边边长成等比数列，则 ( )A三边边长之比为 345 B三边边长之比为 1 33C较小锐角正弦值为 D较大锐角正弦值为5 12 5 124在 1 与 2 之间插入 6 个正数，使这 8 个数成等比数列，则插入的 6 个数的积为_【课堂小结】1等比数列的判断或证明（1）利用定义： q (与 n 无关的常数) an 1an（2）利用等比中项：a a nan2 (nN *)2n 12解等比数列的问
37、题的基本方法是基本量法，但利用等比数列的性质会大大提高解题速度，这些性质在课本中没有提出，但在习题中却时有出现，所以有必要总结一些，并会推证，但不必过多、过细3解与等比数列有关的应用题，要抓住其中带有等比数列特征的关键性语言，如“每年平均增长 P%”“每次是上次的几分之几” 等，建立等比数列的模型，再用数列的相关知识解之【拓展提高】2.5 等比数列前 项和（一）n【学习要求】1掌握等比数列前 n 项和公式的推导方法2会用等比数列前 n 项和公式解决一些简单问题修文县第一中学高一数学数列导学案 梅应奎26【学法指导】1推导等比数列前 n 项和公式的关键在于准确把握“错位相减，消除差别”的内涵2运
38、用等比数列前 n 项和公式时，一定要注意“q1”与“q1”时必须使用不同的公式3推导等比数列前 n 项和的方法叫错位相减法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前 n 项和【知识要点】1等比数列前 n 项和公式：（1）公式：S nError!.（2）注意：应用该公式时，一定不要忽略 q1 的情况2若a n是等比数列，且公比 q1，则前 n 项和 Sn (1q n)A( qn1)其中 A .a11 q3等比数列 1，x，x 2，x 3， 的前 n 项和 Sn 为 ( )A B CError! DError!1 xn1 x 1 xn 11 x【问题探究】国际象棋起源于古代印度，相传有位数
39、学家带着画有 64 个方格的木盘，和 32 个雕刻成六种立体形状，分涂黑白两色的木制小玩具，去见波斯国王并向国王介绍这种游戏的玩法国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，一天到晚兴致勃勃地要那位数学家或者大臣陪他玩高兴之余，他便问那位数学家，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐呢？数学家开口说道：“请您在棋盘上的第一个格子上放 1 粒麦子，第二个格子上放 2 粒，第三个格子上放 4 粒，第四个格子上放 8 粒即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的 2 倍，直到最后一个格子第 64 格放满为止，这样我就十分满足了 ”“好吧！” 国王挥挥手，慷慨地答应了数学家的这个谦卑
40、的请求国王觉得，这个要求太低了，问他：“你怎么只要这么一点东西呢？”数学家笑着恳求道：“ 陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一算！”第二天，管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字，国王大吃一惊：“我的天！我哪来这么多的麦子？”这个玩具也随着这个故事传遍全世界，这就是今日的国际象棋假定一千粒麦的质量为 40 g，那么，数学家要求的麦粒数的总质量究竟是多少呢？(将超过 7 000 亿吨) 这实际上是求数列 1,2,4，2 63 的和据查，目前世界年度小麦产量约 6 亿吨，显然国王无法满足数学家的要求这个传说中的计算是一个等比数列的求和问题，那么等比数列的求和公式是怎样的呢？怎样的等比数列才能应用
41、这个公式呢？这一节我们就来学习等比数列的求和公式探究点一 等比数列前 n 项和公式的推导探究 1 阅读教材后，完成下面等比数列前 n 项和公式的推导过程设等比数列 a1，a 2，a 3，a n，它的前 n 项和 Sna 1a 2a 3a n，由等比数列的通项公式可将 Sn 写成：S na 1a 1qa 1q2a 1qn1 .则 qSn . 由得：(1q)S n .当 q1 时，S n .当 q1 时，由于 a1a 2a n，所以 Sn .修文县第一中学高一数学数列导学案 梅应奎27综上所述，S nError!当 q1 时，因为 ana 1qn1 .所以 Sn 可以用 a1，q，a n 表示为
42、SnError!探究 2 下面提供了两种推导等比数列前 n 项和公式的方法请你补充完整方法一 由等比数列的定义知： q.a2a1 a3a2 a4a3 anan 1当 q1 时，由等比性质得： q，即 q.a2 a3 a4 ana1 a2 a3 an 1故 Sn .a11 qn1 q当 q1 时，易知 Sn .方法二 由 Sna 1a 2a 3a n 得：Sna 1a 1qa 2qa n1 qa 1q a 1q 从而得(1q)S n .当 q1 时，S n ；当 q1 时，S nna 1.探究点二 错位相减法求和问题 教材中推导等比数列前 n 项和的方法叫错位相减法这种求和方法是我们应该掌握的重
43、要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列a n与一个等比数列b n对应项之积构成的新数列求和下面是利用错位相减法求数列 前 n 项和的步骤和过程，请你补充完整n2n设 Sn ， Sn ，12 222 323 n2n 12S n Sn ，12即 Sn .12S n .【典型例题】例 1 在等比数列a n中，S 3 ，S 6 ，求 an.72 632小结 涉及等比数列前 n 项和时，要先判断 q1 是否成立，防止因漏掉 q1 而出错跟踪训练 1 设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S3S 62S 9，求数列的公比 q.例 2 已知等比数列的首项为 1，项数为偶数，其奇数项的和为
44、 85，偶数项的和为 170，求这个数列的公比与项数小结 本题利用了等比数列的“子数列”性质，若等比数列的项的序号成等差数列，则对应项依次成等比数列另外，两个等式之间的除法运算体现了“整体消元”的方法技巧跟踪训练 2 在等比数列a n中，a 1a n66，a 3an2 128 ，S n126，求 n 和 q.例 3 求和：S nx2x 23x 3nx n (x0)修文县第一中学高一数学数列导学案 梅应奎28小结 一般地，如果数列a n是等差数列，b n是等比数列，求数列a nbn的前 n 项和时，可采用错位相减法跟踪训练 3 求数列 1,3a,5a2,7a3，(2n1) an1 的前 n 项和【当堂检测】1设数列( 1)n的前 n 项和为 Sn，则 Sn 等于 ( )A B C D2
