1、1 数列中的数学思想数学思想在以后的学习中起着重要的作用，若能根据问题的题设特点，灵活地运用相应的数学思想，往往能迅速找到解题思路，从而简便、准确求解.1.方程思想例 1 在等比数列a n中，已知 a1a 2a 37，a 1a2a38 ，求通项 an.分析 欲求通项 an，需求出 a1 及 q，为此根据题设构造关于 a1 与 q 的方程组即可求解.解 方法一 a 1a3a ，a 1a2a3a 8，a 22.2 32从而Error!解得 a11，a 34 或 a14，a 31.当 a11 时，q2；当 a14 时，q .12故 an2 n1 或 an2 3n .方法二 由等比数列的定义知 a2a
2、 1q，a 3a 1q2代入已知，得Error!即Error!即Error!将 a1 代入得 2q25q20，2qq2 或 q ，12由得Error!或Error!a n2 n1 或 an2 3n .2.分类讨论思想例 2 已知a n是各项均为正数的等差数列，且 lg a1，lg a2，lg a4 也成等差数列，若 bn，n1,2,3，证明： bn为等比数列.21证明 由于 lg a1，lg a 2，lg a 4成等差数列，所以 2lg a2lg a 1lg a 4，则 a a 1a4.2设等差数列a n的公差为 d，则有(a 1d) 2a 1(a13d)，整理得 d2da 1，从而 d(da
3、 1)0.(1)当 d0 时，数列a n为常数列，又 bn ，则b n也是常数列，2此时b n是首项为正数 ，公比为 1 的等比数列.1a2(2)当 da 10 时，则 a2na 1(2 n1)dd(2 n1) d2 nd，所以 bn ，212d 12n 1这时b n是首项为 b1 ，公比为 的等比数列.12d 12综上，b n为等比数列.3.特殊化思想例 3 在数列a n中，若 k(k 为常数)，n N*，则称a n为“等差比数列”.an 2 an 1an 1 an下列是对“等差比数列”的判断：k 不可能为 0；等差数列一定是等差比数列；等比数列一定是等差比数列；等差比数列中可以有无数项为
4、0.其中正确的判断是( )A. B. C. D.分析 本题为新定义题，且结论具有开放性，解决本题可借助新定义构造特殊数列，排除不正确的判断，从而简捷求解.解析 数列 a，a，a(a 0)既是等差数列，又是等比数列，但不满足 k，an 2 an 1an 1 an即不是等差比数列，故、不正确.故选 D.答案 D4.整体思想例 4 在等比数列a n中，a 9a 10a(a0) ，a 19a 20b，则 a99a 100_.分析 根据题设条件可知 q 10 ，a19 a20a9 a10 ba而 q 90，故可整体代入求解.a99 a100a9 a10解析 设等比数列a n的公比为 q，则 q 10 ，
5、a19 a20a9 a10 ba又 q 90(q 10)9 9，a99 a100a9 a10 (ba)故 a99a 100 9(a9a 10) .(ba) b9a8答案 b9a82 求数列通项的四大法宝1.公式法题设中有 an与 Sn的关系式时，常用公式anError!来求解.例 1 已知数列a n的前 n 项和 Sn3 n2，求其通项公式 an.解 当 n1 时，a 1S 13 121；当 n2 时，a nS nS n1 3 n2(3 n1 2) 3 n3 n1 23n1 ，又 a1123 11 ，所以数列a n的通项公式 anError!2.累加法若数列a n满足 ana n1 f(n1)
6、(n2)，且 f(1)f(2) f (n1)可求，则可用累加法求通项.例 2 已知数列a n满足 a11，a n3 n1 a n1 (n2) ，求其通项公式 an.解 由已知，得 ana n1 3 n1 (n2) ，所以 a2a 13，a 3a 23 2，a 4a 33 3，a na n1 3 n1 ，以上各式左右两边分别相加，得ana 133 23 33 n1 ，所以 an 1 (n2)，31 3n 11 3 3n 12又 n1 时，a 11 ，所以 an (nN *).31 12 3n 123.叠乘法若数列a n满足 f(n1)(n2)，其中 f(1)f(2)f(n1) 可求，则可用叠乘法
7、求通项.anan 1例 3 已知数列a n中，a 13，a n an1 (an0，n2)，求其通项公式 an.3n 43n 1解 由 a13，a n an1 ，得 ，3n 43n 1 anan 1 3n 43n 1所以 ， ， ， ， (n2) ，以上各式左右两边分别相a2a1 25 a3a2 58 a4a3 811 a5a4 1114 anan 1 3n 43n 1乘，得 ，ana1 23n 1所以 an (n2)，63n 1又 a13 ，所以 an (nN *).631 1 63n 14.构造法当题中出现 an1 pa nq(pq 0 且 p1) 的形式时，把 an1 pa nq 变形为a
8、n1 p( an )，即 an1 pa n(p1) ，令 (p1)q，解得 ，从而构造出等比qp 1数列a n.例 4 数列a n满足 a11，a n1 an3(nN *)，求其通项公式 an.14解 设 an1 t (ant)，则 an1 an t，14 14 34与已知比较，得 t3，所以 t4，34故 an1 4 (an4)，14又 a1 4 1 4 3 0， 故 数 列 an 4是 首 项 为 3， 公 比 为 的 等 比 数 列 ， 因 此14an 4 3 n1 ，(14)即 an43 n1 (nN *).(14)3 如何研究数列的单调性和最大(小)项研究数列的单调性和最大(小 )项
9、，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性例 1 已知数列a n的通项公式为 ann n1 ，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项(79)的项数；若无，说明理由.解 a n1 a n(n1) n2 n n1 n1 ，当 n3 时，a n1 a n0.综上，可知a n在 n1,2,3时，单调递增；在 n4,5,6,7， 时，单调递减.所以存在最大项，且第 4 项为最大项.点评 之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意 x1 1，即 3 时，数列a n也是单调递增的 .( 2) 2故 的取值范围为 (3，).正解 2 因为数列 an是递增数列，所以 an1 a
10、 n0 (nN *)恒成立.又 ann 2n (nN *)，所以(n1) 2(n1)( n2n )0 恒成立，即 2n10.所以 (2 n 1) (nN *)恒成立.而 nN *时，(2n1)的最大值为3( n1 时)，所以 的取值范围是 (3，).温馨点评 利用函数观点研究数列性质时，一定要注意数列定义域是1，2，3，4，n，或其子集这一特殊性，防止因扩大定义域而出错 .2.忽视数列与函数的区别而致错例 2 设函数 f(x)Error!数列a n满足 anf (n)，nN *，且数列 an是递增数列，则实数 a的取值范围是_.错解 因为数列 an是递增数列，且点(n，a n)在函数 f(x)
11、的图象上，所以分段函数 f(x)是递增函数，故实数 a 满足不等式组Error!解得 0 时，a 11 时，a 8180应该舍掉 .正解 凸 n 边形内角和为( n2) 180，所以 120n 5(n 2)180，nn 12解得 n9 或 n16.当 n9 时，最大内角为 12085 160180 舍去 .所以凸 n 边形的边数为 9.温馨点评 凸 n 边形是一个明确的几何概念，是本题中容易忽略的一个条件.利用数列知识解实际问题时，一定要注意所得结果的实际含义，必要时作出取舍.6.忽视等差数列前 n 项和公式的基本特征而致错例 6 已知两个等差数列a n和b n的前 n 项和分别为 Sn和 T
12、n，且对一切正整数 n 都有 SnTn，试求 的值.5n 32n 7 a9b9错解 设 Sn(5 n3)k ，T n(2n7)k，k0，则 a9S 9S 8(593)k (583)k5k，b9T 9T 8(297)k(287) k2k ，所以 .a9b9 52点拨 此解答错在根据条件 ，SnTn 5n 32n 7设 Sn(5n3)k ，T n(2 n7) k，这是把等差数列前 n 项和误认为是关于 n 的一次函数，没有准确把握前 n 项和公式的特点.正解 因为a n和b n是公差不为 0 的等差数列，故设 Snn(5n3)k ，T nn(2n7) k，k0，则a9S 9S 89(593)k 8
13、(583)k88k，b9T 9T 89(297)k8(287) k41k ，所以 .a9b9 8841温馨点评 等差数列的前 n 项和 Sn n2 n，当 d0 时，点(n，S n)在二次函数 f(x)d2 (a1 d2) x2 x 的图象上.当 d0 时，S nna 1，但是本题不属于这种情况d2 (a1 d2).(否 则 SnTn na1nb1 a1b1与 SnTn 5n 32n 7矛 盾 )7.等差数列的特点考虑不周全而致错例 7 在等差数列a n中，已知 a120，前 n 项和为 Sn，且 S10S 15，求当 n 取何值时，S n有最大值，并求出它的最大值.错解 设公差为 d，S 1
14、0S 15，1020 d1520 d，1092 15142得 120d200，即 d ，53a n20(n1) ，53当 an0 时，20(n1) 0，n0 是不正确的，事实上应解 an0，a n1 0.正解 设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d.由 a1 20， S10 S15， 得 1020 d 152010 92d，解得公差 d .15 142 53S 10S 15，S 15S 10a 11a 12a 13a 14a 150，a 11a 15a 12a 142a 13，a 130.公差 d0，a 1，a 2，a 11，a 12均为正数，而 a14及以后各项均为负数.当 n12 或
15、13 时，S n有最大值为 S12S 131220 130.12112 ( 53)温馨点评 求等差数列前 n 项和最值的关键是分清正负项，找准正负项的分界点，尤其是数列中含有零项时，注意答案的全面性.8.忽略题目中的隐含条件而致错例 8 已知数列1，a 1，a 2，4 成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4 成等比数列，求的值.a2 a1b2错解 1，a 1，a 2，4 成等差数列，设公差为 d，则 a2a 1d (4)(1)1.131，b 1，b 2，b 3，4 成等比数列，b (1) (4)4，b 22.2当 b22 时， ，a2 a1b2 12 12当 b22 时， .a2 a1b2
16、 1 2 12 .a2 a1b2 12点拨 注意 b2 的符号已经确定，且 b20，忽视了这一隐含条件，就容易产生上面的错误 .正解 1，a 1，a 2，4 成等差数列，设公差为 d，则 a2a 1d (4)(1)1，131，b 1，b 2，b 3，4 成等比数列，b (1) (4)4，2b 22.若设公比为 q，则 b2(1)q 2，b 20.b 22， .a2 a1b2 1 2 12温馨点评 若设数列1，b 1，b 2，b 3，4 的公比为 q，则 b21 q20，这是题目中的隐含条件.利用等比中项的概念解题时要注意这一现象.9.求和时项数不清而致错例 9 求 122 22 n的和.错解
17、122 22 n 2 n1.1 2n1 2点拨 错因在于没有搞清项数，首项为 12 0，末项为 2n，项数应为 n1.正解 这是一个首项为 1，公比为 2 的等比数列前 n1 项的和，所以 122 22 n2 n1 1.1 2n 11 2温馨点评 数列求和时，弄清项数是关键，等比数列前 n 项和 Sn q1中的 n 指a11 qn1 q的就是数列的项数.10.利用等比数列求和公式忽视 q1 的情形而致错例 10 已知等比数列a n中，a 34，S 312，求数列a n的通项公式.错解 设等比数列的公比为 q，则Error!解得 q .12所以 ana 3qn3 4 n3 n5 .( 12) (
18、 12)点拨 上述解法中忽视了等比数列前 n 项和公式中 q 1 这一特殊情况.正解 当 q1 时，a 34，a 1a 2a 34，S3a 1a 2a 312，所以 q1 符合题意，a n4.当 q1 时，Error!解得 q ，a na 3qn3 n5 .12 ( 12)故数列通项公式为 an4 或 an n5 .( 12)温馨点评 利用等比数列前 n 项和公式时，要注意判断公比 q 是否等于 1，防止漏掉 q1这种情况.以上十例论述了数列中常见的一些错误及其原因，当然数列解题中的错误原因还有未尽之处，本文旨在抛砖引玉，使同学们在学习中养成良好的纠错习惯.集“错”成册，常翻常阅，引以为戒，警钟长鸣.
