1、讲题:测量误差的基本知识,内容提要:第六章：测量误差的基本知识 6.1 测量误差的概念 6.2 评定精度的标准 6.3 观测值的算术平均值及改正值 6.4 误差传播定律及应用 6.5 误差传播定律的应用,6.1 测量误差的概念,一、测量误差产生的原因 （一）仪器的原因（二）人的原因（三）外界环境的影响,二、测量误差的分类与处理原则,测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：系统误差和偶然误差。 （一）系统误差(system error)1定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。,2特点： 具有积累性，对测量结果的影响大，
2、但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 例如：钢尺尺长误差、 钢尺温度误差、水准仪视准轴误差、 经纬仪视准轴误差。,（二）偶然误差 (accident error),1、定义： 在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。,(三 ）、粗差 由于粗心或受某些干扰造成的特别大的误差如：瞄错目标，读错大数等。测量误差理论中不讨论粗差。本章重在讨论偶然误差的知识。,三、偶然误差的特性,（一）、几个概念： 1、真值 2、观测值 3、真误差(偶然误差) 从单个偶然误差来看，其符号的正负和数值的大小没有任何规律性。 但是，它存在偶
3、然性下面的必然规律。进行统计的数量越大，规律性也越明显。,例如：在某一测区，于相同的观测条件下共观测了217个三角形的全部内角，计算每个三角形内角之和的真误差i(三角形内角和闭合差)，偶然误差的统计见表所列。,从表1的统计中，可以归纳出偶然误差的特性如下：,（二）、特性： （见图 ） 1）具有一定的范围。 2）绝对值小的误差出现概率大。 3）绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等 4）偶然误差具有抵偿性，即：,图形：偶然误差分布频率直方图,四个特性：有界性，趋向性，对称性，抵偿性。,正态分布曲线的数学方程为：式中： 圆周率（3.1415926）e 自然对数的底（2.7183）标准差标准差的平
4、方为方差。方差为偶然误差平方的理论平均值：标准差：,6.2 评定精度的标准,一、中误差(mean square error),1.用真误差（true error）计算中误差的公式,真误差：,标准差公式：,中误差公式为：,二、相对误差(relative error),1、相对中误差= 2、往返测较差率K=三、极限误差(limit error)或容许误差(tolerance）由偶然误差的第一特性得到，在等精度的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一极限值。,实践表明：在大量同精度观测的一组误差中，误差落在(-， +)、(-2，+2)、(-3，+3)的概率分别为：P(-+)= 683 P(-2+2)
5、 = 954P(-3 +3) = 997可见绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅有03，因此通常以三倍中误差作为偶然误差的极限值m，并称为极限误差。即：m=3m 为防止观测值存在较大的误差，规范常以两倍或三倍中误差作为观测误差的容许值，称为容许误差，即：容=2m容=3m 在测量工作中，如某观测量的误差超过了容许误差，就可以认为它是错误的，其观测值应舍去重测。,6.3 观测值的算术平均值及改正值,一 、算术平均值 在实际测量工作中，只有极少数观测量的理论值或真值是可以预知的，一般情况下，由于测量误差的影响，观测量的真值是很难测定的。 为了提高观测值的精度，测量上通常采用有限的多余观测，通过
6、计算观测值的算术平均值来代替观测量的真值X，用改正数代替真误差以解决实际问题。,算术平均值 （最或然值）： 多次获得观测值而取算术平均值的合理性与可靠性，可以通过偶然误差的特性来证明:设某一量的真值为X，对此量进行n次观测，得到的观测值为l1、l2、ln，在每次观测中产生的真误差为l、2、n，则由公式有：,将上面等式相加，并除以n得到：,二、按观测值的改正值计算中误差,当观测值的真值未知时：,设某未知量的观测值为：,则该量的算术平均值为：,则该量的改正数：,计算得：观测值的中误差,6.4 误差传播定律 一、误差传播定律,某一量(如一个角度、一段距离)直接进行多次观测，通过求得其最或是值，进而计
7、算观测值的中误差或相对误差，作为衡量精度的标准。1、在测量工作中，有一些需要知道的量并非直接观测值，而是根据一些直接观测值用一定的数学公式(函数关系)计算而得，因此称这些量为观测值的函数。例如：（1）两点间的水平距离D分为n段来丈量，各段量得的长度分别为d1、d2、dn，即D=d1+d2+dn。（2）用尺子在1：1000的地形图上量得两点间的距离d，其相应的实地距离D=1000d，则D是d函数等等。2由于观测值中含有误差，使函数受其影响也含有误差，称之为误差传播。3解决观测值中误差与其函数中误差的关系的定律称为误差传播定律。,二、一般函数的中误差公式误差传播定律,设有函数,xi为独立观测值,对
8、上式线性化,中误差关系式：,利用上述公式计算函数的中误差步骤： 第一步：写出函数式 第二步：写出全微分式(线性化) 第三步：写出中误差关系式,三、几种常用函数的中误差,（一）和(差)函数,已知：mx,my, 求：mz=?,（二）倍乘函数,已知：mx, 求：mz=?,解：,列函数式,中误差式,（三）线性函数,已知：mxi, 求：mz=?,线性函数：,特殊,xi为独立观测值,例6距离误差,例：对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术平均值 ； 观测值的中误差 ； 算术平均值的中误差 ； 算术平均值的相对中误差 ：,凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。,观测值函数中误差公式汇总,例1：已知某矩形长a=500米，宽b=40米,ma=mb=0.02m， 求矩形的面积中误差mp。,6 -5 误差传播定律的应用,例2：观测值为斜距S和竖直角v，待定值为水平距离D，求D的中误差。,若观测值：斜距S和竖直角v 待定值：高差h。则h的中误差为？,
