1、2015 年全国高考数学卷文科卷 1一、选择题1已知集合 32,6,802,4AxnNB，则集合 AB中的元素个数为( )（A） 5 （B）4 （C）3 （D）22已知点 (0,1),，向量 (4,3)A，则向量 C( )（A） 7 （B） (7,) （C） 1, （D） 1,4 3已知复数 z满足 (i，则 z（ ） （A） 2i （B） 2 （C） 2i （D） 2i 4如果 3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3个数为一组勾股数，从 1,45中任取 3个不同的数，则这 3个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A） 0 （B） （C） 10 （D） 1205已知椭圆 E的中心为
2、坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点与抛物线2:8Cyx的焦点重合， ,A是 C的准线与 E的两个交点，则 AB ( )（A） 3 （B） 6 （C） 9 （D） 126 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为 5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1斛米的体积约为 1.62立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米有（ ）（A） 14斛 （B） 2斛 （C） 36斛 （D） 6斛7已知 na是公差为 1的等差数列，
3、 nS为 a的前 项和，若 84S，则10（ ）（A） 2 （B） 92 （C） 10 （D） 128函数 ()cos)fx的部分图像如图所示，则 ()fx的单调递减区间为（ ）（A） 13(,),4kkZ （B） 2（C） (,),kk（D） 134Z9执行右面的程序框图，如果输入的 0.1t，则输出的 n（ ）（A） 5 （B） 6 （C） （D） 210已知函数12,()log()1xf，且 ()3fa，则 (6)fa（ ）（A） 74 （B） 54 （C） 34 （D） 1411圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若
4、该几何体的表面积为 620，则 r( ) （A） 1 （B） 2 （C） 4 （D） 812设函数 ()yfx的图像与 2xay的图像关于直线 yx对称，且(2)4f，则 ( )（A） 1 （B） 1 （C） （D） 4二、填空题13数列 na中 112,nnaS为 的前 n项和，若 126nS，则 .14已知函数 3fx的图像在点 1,f的处的切线过点 ,7，则 .15若 x,y满足约束条件20yx,则 z=3x+y的最大值为 16已知 F是双曲线2:18yC的右焦点，P 是 C左支上一点，,6A，当 A周长最小时，该三角形的面积为 三、解答题17 （本小题满分 12分）已知 ,abc分别是
5、 ABC内角 ,的对边，2sinisnBAC.（）若 ab，求 co;B （）若 90，且 2, 求 AC的面积.18 （本小题满分 12分）如图四边形 ABCD为菱形，G 为 AC与 BD交点，BEACD平，（）证明：平面 AEC平面 BD；（）若 120B， , 三棱锥 EAC的体积为 63，求该三棱锥的侧面积.19（本小题满分 12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8年的宣传费 ix和年销售量 1,28i 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw821()iix
6、821()iiw81()iiixy81()iiiwy46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中 i= ix ， =81i（）根据散点图判断， yabx与 ycdx，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费 x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y关于 x的回归方程；（III）已知这种产品的年利润 z与 x，y 的关系为 0.2z ，根据（）的结果回答下列问题：（）当年宣传费 90x时，年销售量及年利润的预报值时多少？（）当年宣传费 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据 1(,)uv, 2， (,)nuv,其回
7、归线 vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：A12()=niiiiiuv， A=vu20 （本小题满分 12分）已知过点 1,0A且斜率为 k的直线 l与圆 C：2231xy交于 M，N 两点.（）求 k的取值范围；（） O，其中 O为坐标原点，求 N.21（本小题满分 12分）设函数 2lnxfea.（）讨论 fx的导函数 x的零点的个数；（）证明：当 0a时2lnfa.22 （本小题满分 10分）选修 4-1：几何证明选讲如图 AB是 直径，AC 是 切线，BC 交 与点 E.（）若 D为 AC中点，求证：DE 是 切线；（）若 ，求 的大小.3OACEAB23（本小题满分 10分）选修
8、4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 1:2Cx，圆 222:11xy，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（）求 12,C的极坐标方程.（）若直线 3的极坐标方程为 R4，设 23,C的交点为 ,MN，求 2MN 的面积.24 （本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 12,0fxxa .（）当 1a 时求不等式 1fx 的解集；（）若 fx 图像与 x轴围成的三角形面积大于 6，求 a的取值范围.参考答案1D【解析】试题分析：由条件知，当 n=2时，3n+2=8，当 n=4时，3n+2=14，故AB=8,14,故选 D.考点：集合运算2A【解析
9、】试题分析： BOA=（3,1） ， BCA=(-7,-4)，故选 A.考点：向量运算3C【解析】试题分析： (1)zi，z= 21()iii，故选 C.考点：复数运算4C【解析】试题分析：从 1,2,3,4,51,2345中任取 3个不同的数共有 10种不同的取法，其中的勾股数只有 3,4,5，故 3个数构成一组勾股数的取法只有 1种，故所求概率为 0，故选 C.考点：古典概型5B【解析】试题分析：抛物线 2:8Cyx的焦点为（2,0） ，准线方程为 2x，椭圆 E的右焦点为（2,0） ，椭圆 E的焦点在 x轴上，设方程为21(0)xyab，c=2， 12cea， 4， 22bac，椭圆 E
10、方程为216xy，将 x代入椭圆 E的方程解得 A（-2,3） ，B（-2，-3） ，|AB|=6，故选 B.考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质6B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为 r，则 12384r，所以 163r，所以米堆的体积为 2163()54= 09，故堆放的米约为 2091.6222，故选 B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式7B【解析】试题分析：公差 1d，84S， 1874(3)22aa，解得 1a= 2，1099a，故选 B.考点：等差数列通项公式及前 n项和公式8D【解析】试题分析：由五点作图知，1+4253，解得 =， 4，所以()cos)4fx，令 ,4kxkZ，
11、解得 12k 32k， Z，故单调减区间为（ 12， 34） ， ，故选D.考点：三角函数图像与性质9C【解析】试题分析：执行第 1次，t=0.01,S=1,n=0,m= 12=0.5,S=S-m=0.5, 2m=0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是，循环，执行第 2次，S=S-m =0.25, m=0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循环，执行第 3次，S=S-m =0.125, 2=0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循环，执行第 4次，S=S-m=0.0625, =0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环，执行第 5次，S=S
12、-m =0.03125, 2m=0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环，执行第 6次，S=S-m=0.015625, =0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循环，执行第 7次，S=S-m=0.0078125, 2m=0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，输出n=7，故选 C.考点：程序框图10A【解析】试题分析： ()3fa，当 1a时， 1()23af，则12a，此等式显然不成立，当 时， 2log()，解得 7， (6)f1f= 4，故选 A.考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质11B【解
13、析】试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的高为 2r，其表面积为2214r= 254r=16 + 20，解得 r=2，故选 B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式12C【解析】试题分析：设 (,)xy是函数 ()fx的图像上任意一点，它关于直线y对称为（ ） ，由已知知（ ,y）在函数 2xay的图像上， 2yax，解得 2log()xa，即 2()log()fxxa，()441ff，解得 ，故选 C.考点：函数对称；对数的定义与运算136【解析】试题分析： 112,naa，数列 n是首项为 2，公比为 2的
14、等比数列， ()62nnS， 4n，n=6.考点：等比数列定义与前 n项和公式141【解析】试题分析： 2()31fxa， ()31fa，即切线斜率 31ka，又 (1)f，切点为（1， ） ，切线过（2,7） ，27a，解得 1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；154【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 0l： 3xy，平移直线 0l，当直线 l:z=3x+y过点 A时，z 取最大值，由 2=1解得A（1,1） ，z=3x+y 的最大值为 4.考点：简单线性规划解法16 126【解析】试题分析：设双曲线的左焦点为 1F，由双曲线定义知， 1|2|PF
15、a，APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+ 12|aP+|AF|=|PA|+ 1|+|AF|+ ，由于 2|aAF是定值，要使APF 的周长最小，则|PA|+ 1|最小，即P、A、 1共线， 0,6， 1（3,0） ，直线 1AF的方程为 136xy，即32yx代入28yx整理得 2690y，解得 26或86(舍)，所以 P点的纵坐标为 ， 11APFFSS= 16262= .考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题17 （） 14（）1【解析】试题分析：（）先由正弦定理将 2sinisnBAC化为变得关系，结合条件 ab，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定
16、理即可求出角 B的余弦值；（）由（）知 2bac=，根据勾股定理和即可求出 c，从而求出 ABC的面积.试题解析：（）由题设及正弦定理可得 2.又 ab=，可得 2c,a,由余弦定理可得21os4b+-=.（）由(1)知 2bac.因为 B90，由勾股定理得 22b+.故 2ac+=，得 c=.所以 DABC的面积为 1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力18 （）见解析（） 3+25【解析】试题分析：（）由四边形 ABCD为菱形知 ACBD，由 BE 平面 ABCD知 ACBE，由线面垂直判定定理知 AC 平面 BED，由面面垂直的判定定理知平面AEC平面 BD；（）设 AB=x，通过解
17、直角三角形将 AG、GC、GB、GD用 x表示出来，在 RtAEC中，用 x表示 EG，在 RtDEBG中，用 x表示 EB，根据条件三棱锥 A的体积为 63求出 x，即可求出三棱锥的侧面积.试题解析：（）因为四边形 ABCD为菱形，所以 ACBD，因为 BE平面 ABCD，所以 ACBE，故 AC 平面 BED.又 AC平面 AEC，所以平面 AEC 平面 BED（）设 AB=x，在菱形 ABCD中，由 ABC=120，可得AG=GC= 32,GB=GD= .因为 AEEC，所以在 RtDAEC中，可得 EG= 32x.由 BE 平面 ABCD，知 EBG为直角三角形，可得 BE= .由已知
18、得，三棱锥 E-ACD的体积 3163224EACDVGBEx-=.故x=2从而可得 AE=EC=ED= 6.所以 DEAC的面积为 3， EAD的面积与 DECD的面积均为 5.故三棱锥 E-ACD的侧面积为 +25.考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力19 （） ycdx适合作为年销售 y关于年宣传费用 x的回归方程类型（） 10.68（）46.24【解析】试题分析：（）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（）令 wx，先求出建立 y关于 w的线性回归方程，即可 y关于 x的回归方程；（）()利用 关于 x的回归方
19、程先求出年销售量 的预报值，再根据年利率 z与 x、y 的关系为 z=0.2y-x即可年利润 z的预报值；（）根据（）的结果知，年利润 z的预报值，列出关于 x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.试题解析：（）由散点图可以判断， ycd适合作为年销售 y关于年宣传费用 x的回归方程类型. （）令 w，先建立 关于 w的线性回归方程，由于812()iiiiiyd=108.6， cyw=563-686.8=100.6. y关于 w的线性回归方程为 10.68yw， 关于 x的回归方程为 x.（）()由（）知，当 x=49时，年销售量 y的预报值10.6849y=5
20、76.6，57.26.3z. （）根据（）的结果知，年利润 z的预报值0.(18)1.620.xx，当 x= 3.62，即 4时， 取得最大值.故宣传费用为 46.24千元时，年利润的预报值最大.12 分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识20 （） 47,3-+（）2【解析】试题分析：（）设出直线 l的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于 k的不等式，即可求出 k的取值范围；（）设 12(,)(,)MxyN，将直线 l方程代入圆的方程化为关于 x的一元二次方程，利用韦达定理将12,xy用 k表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及OMN列出关于 k方程
21、，解出 k，即可求出|MN|.试题解析：（）由题设，可知直线 l的方程为 1ykx=+.因为 l与 C交于两点，所以 2|31|k-+时， ()fx存在唯一零点.（）见解析【解析】试题分析：（）先求出导函数，分 与 考虑 fx的单调性及性质，即可判断出零点个数；（）由（）可设 ()fx在 0+， 的唯一零点为 0x，根据 fx的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于 2lna+，即证明了所证不等式.试题解析：（） ()fx的定义域为 ()0， ， ()2(=0xafe-.当 0a时, ， 没有零点；当 时，因为 2xe单调递增， ax-单调递增，所以 ()fx
22、在 +， 单调递增.又 ()f,当 b满足 04时，fx存在唯一零点.（）由（） ，可设 ()fx在 +， 的唯一零点为 0x，当 ()0x， 时，()0fx.故 ()fx在 0， 单调递减，在 )+， 单调递增，所以当 0x=时，取得最小值，最小值为 0(fx.由于 02=xae-，所以 002)=lnl2af a+.故当 0a时， 2()lnfxa+.考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.22 （）见解析（）60【解析】试题分析：（）由圆的切线性质及圆周角定理知，AEBC，ACAB，由直角三角形中线性质知 DE=DC，O
23、E=OB，利用等量代换可证DEC+OEB=90，即OED=90，所以 DE是圆 O的切线；（）设 CE=1,由 得，3OACEAB= ，设 AE= ，由勾股定理得 ，由直角三角形射影定理23x21BEx可得 ，列出关于 的方程，解出 ，即可求出ACB 的大小.AECBx试题解析：（）连结 AE，由已知得，AEBC，ACAB，在 RtAEC 中，由已知得 DE=DC，DEC=DCE，连结 OE，OBE=OEB，ACB+ABC=90，DEC+OEB=90，OED=90，DE 是圆 O的切线. （）设 CE=1，AE= ,由已知得 AB= ， ，x2321BEx由射影定理可得， ，2AEC ，解得
24、= ，ACB=60.21xx考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理23 （） cos2, cos4in0（） 12【解析】试题分析：（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得 1C， 2的极坐标方程；（）将将 =4代入 2cos4in0即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出 2CMNA的面积.试题解析：（）因为 cs,ixy， 1C的极坐标方程为 o， 2的极坐标方程为2cos4in0.5分（）将 =代入 2cs4in0，得23，解得 1= ， 2= ，|MN|= 1 2= ，因为 2C的半径为 1，则 2CMNA的面积 osi45= .考点:直角坐标方程与极坐标互化；
25、直线与圆的位置关系24 （） 2|3x（） （2，+）【解析】试题分析：（）利用零点分析法将不等式 f(x)1化为一元一次不等式组来解；（）将 ()fx化为分段函数，求出 ()fx与 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于 a的不等式，即可解出 a的取值范围.试题解析：（）当 a=1时，不等式 f(x)1化为|x+1|-2|x-1|1，等价于 12x或 12x或 2x，解得23，所以不等式 f(x)1的解集为 |3x. （）由题设可得，12,(),af xx，所以函数 ()fx的图像与 轴围成的三角形的三个顶点分别为 21(,0)3aA，21,0Ba， ,+1)Ca，所以ABC 的面积为 2(1)3a.由题设得 2(36，解得 2.所以 的取值范围为（2，+）. 考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法
