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2015文科数学全国1卷.doc

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1、试卷第 1 页,总 5 页2015 文科数学全国 1 卷一、单选题1已知集合 ,则集合 中的元素|32,6,802,4AxnNBAB个数为( )A. 5 B. 4 C. 3 D. 22 (2015 新课标全国文科)已知点 ,向量 ,则向量A(0,1),B(3,2)AC=(4,3) BC=A. B. (7,4)(7,4)C. D. (1,4)3已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 , E 的右焦点与抛物线 的焦122:8Cyx点重合, 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 ( ),ABABA. B. C. D. 369124 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委

2、米依垣内角,下周八尺,高五尺问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有 ( )A. 14 斛 B. 22 斛 C. 36 斛 D. 66 斛5已知 是公差为 1 的等差数列, 为 的前 项和,若 ,则nanSa84S( )10试卷第 2 页,总 5 页A. B. C. D. 17291026函数 的部分图像如图所示,则 的单调递减区间为( )cosfxfxA. 13,4kkZB. 2,C. 1

3、3,4kkZD. 2,7执行如图所示的程序框图,如果输入的 ,则输出的 ( )0.1tnA. 5 B. 6 C. 7 D. 88已知函数 ,且 ,则 ( )12, logxf3fa6fa试卷第 3 页,总 5 页A. B. C. D. 7453419圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 )组成一个几何体,该几何体的三r视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 ,则 ( )1620rA. B. C. D. 124810设函数 的图像与 的图像关于直线 对称,且yfx2xayyx,则 ( )1fA. B. C. D. 124二、填空题11数列 中 为 的前 n 项和,若 ,则 .n

4、a112,nnaS126nS12已知函数 的图像在点 的处的切线过点 ,则 .3fx1,f,7a13若 满足约束条件 ,则 的最大值为_,y02 yx3zxy14已知 是双曲线 的右焦点,P 是 C 左支上一点, ,当F2:18yC0,6A周长最小时,该三角形的面积为 AP三、解答题15已知 分别是 内角 的对边, ,abcABC,2sinisnBAC(1)若 ,求os;(2)若 ,且 求 的面积90B2,16如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点, ,BE平面 ABCD(I)证明:平面 平面 ;AEC BED试卷第 4 页,总 5 页(II)若 , 三棱锥 的体积为 ,求

5、该三棱锥的侧面积.AEEC, EACD6317(本小题满分 12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的宣传费 ix和年销售量 1,28i 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值. xyw821()iix821()iiw81()iiixy81()iiiwy46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中 i= ix , = 81i()根据散点图判断, yabx与 ycdx,哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型(给出判断即可

6、,不必说明理由);()根据()的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程;(III)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 0.2z ,根据()的结果回答下列问题:()当年宣传费 90x时,年销售量及年利润的预报值时多少?()当年宣传费 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据 1(,)uv, 2, (,)nuv,其回归线 vu的斜率和截试卷第 5 页,总 5 页距的最小二乘估计分别为: A12()=niiiiiuv, A=vu18已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x2) 2(y3) 21 交于 M,N 两点(1)求 k 的取值范围;(2)若

7、12,其中 O 为坐标原点,求| MN|.OMN19 (本小题满分 12 分)设函数 .2lnxfea()讨论 的导函数 的零点的个数;fx()证明:当 时 .0a2lfxa20 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲如图 AB 是 直径,AC 是 切线,BC 交 与点 E.()若 D 为 AC 中点,求证:DE 是 切线;()若 ,求 的大小.21在直角坐标系 中,直线 ,圆 ,以坐标原点为极点, 轴xOy C2:(x1)2+(y2)2=1 x正半轴为极轴建立极坐标系(1 )求 , 的极坐标方程;C1(2 )若直线 的极坐标方程为 ,设 的交点为 ,求 的面积C2,C3 M,N

8、C2MN22 (2015 高考新课标 I,理 24)选修 45:不等式选讲已知函数 .f(x)=|x+1|2|xa|,a0(I)当 时,求不等式 的解集;a=1 f(x)1(II)若 的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.f(x)本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。答案第 1 页,总 11 页参考答案1 D【解析】由已知得 中的元素均为偶数, 应为取偶数,故 ,故ABn8,14AB选 D.视频2 A【解析】试题分析: ,选 A.BC=BA+AC=(3, 1)+(4, 3)=(7, 4)考点:向量运算视频3 B【解析】试题分析:抛物线 的焦点为 所以椭圆的

9、右焦点为 即28yx2,02,0且 椭圆的方程为 抛物线准线为2,c21,41,abc21.6xy代入椭圆方程中得 故选 B.,x,3,.ABA考点:1、抛物线的性质;2、椭圆的标准方程视频4 B【解析】试题分析:设圆锥底面半径为 r,则 ,所以 ,所以米堆的体12384r163r积为 = ,故堆放的米约为 1.6222,故选 B.21635430909考点:圆锥的性质与圆锥的体积公式视频5 B【解析】试题分析:由 得 ,解得84S112846ada.1019,22a考点:等差数列.视频6 D本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。答案第 2 页,总 11 页【解析】试题分析:由五

10、点作图知, ,解得 , ,所以1+42 53=4,令 ,解得cos4fx22,4kxkZ , ,故单调减区间为( , ) , ,故选 D.12k3kZ1432kZ考点:三角函数图像与性质视频7 C【解析】试题分析:执行第 1 次,t=0.01,S=1,n=0,m= =0.5,S=S-m=0.5, 12=0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是,循环,2m执行第 2 次,S=“S-m“ =0.25, =0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是,循环,2m执行第 3 次,S=“S-m“ =0.125, =0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是,循环,执行第 4 次,S=S

11、-m=0.0625, =0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01, 是,循环,执行第 5 次,S=“S-m“ =0.03125, =0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是,循环,2m执行第 6 次,S=S-m=0.015625, =0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是,循环,执行第 7 次,S=S-m=0.0078125, =0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否,输出n=7,故选 C.考点:程序框图视频8 A【解析】试题分析: 或 1323xfa2log137a27614faf考点:函数求值9 B【解

12、析】试题分析:由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。答案第 3 页,总 11 页半径与球的半径都为 r,圆柱的高为 2r,其表面积为 =2214rr=“16“ + 20 ,解得 r=2,故选 B.254r考点:简单几何体的三视图;球的表面积公式;圆柱的测面积公式视频10 C【解析】试题分析:设 是函数 的图像上任意一点,它关于直线 对,xyfxyx称为( ) ,由已知知( )在函数 的图像上, ,解得,y,2xay2ax,即 ,2logxa2logfx,解得 ,故选 C24l41ff a考点:函数求解析式及求值视频11

13、6【解析】试题分析:由题意得,因为 ,即 ,所以数列 构成首项12na12nana,公比为 的等比数列,则 ,解得 12a6nnS考点:等比数列的概念及等比数列求和视频12 1【解析】试题分析: 2313,12:23172fxafaflyaxa.1考点:1、导数的几何意义; 2、直线方程.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程,涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想,考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力,综合性较强,属于较难题型. 首先求导可得本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。答案第 4 页,总 11 页23131,2:23172fxafaflyaxa

14、.2视频13 4【解析】试题分析:作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线 : ,平移直0l30xy线 ,当直线 :z=3x+y 过点 A 时,z 取最大值,由 解得 A(1,1) ,z=3x+y0ll 2= 1xy的最大值为 4.考点:简单线性规划解法视频14 126【解析】设双曲线的左焦点为 ,由双曲线定义知, ,APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+ +|AF|=|PA|+ +|AF|+ ,由于 是定值,要使APF 的周长最小,则|PA|+ 最小,即 P、A、 共线, , (3,0) ,直线 的方程为,即 代入 整理得 ,解得 或 (舍),所以 P 点的纵坐标为 ,本卷由

15、系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。答案第 5 页,总 11 页 = = .126视频15 ( 1) ;(2)14【解析】试题分析:(1)由 ,结合正弦定理可得: ,再利2sinisnBAC2bac用余弦定理即可得出 co;(2 )利用(1 )及勾股定理可得 c,再利用三角形面积计算公式即可得出试题解析:(1)由题设及正弦定理可得 2bac又 ,可得ab2,ca由余弦定理可得21os4B(2 )由(1 )知 2bac因为 ,由勾股定理得9022b故 ,得2acc所以 的面积为 1考点:正弦定理,余弦定理解三角形视频16 (1)见解析(2)3+2 5【解析】试题分析:()由四边形 AB

16、CD 为菱形知 AC BD,由 BE 平面 ABCD 知 AC BE,由线面垂直判定定理知 AC 平面 BED,由面面垂直的判定定理知平面 平面 AEC;()设 AB= ,通过解直角三角形将 AG、GC、GB、GD 用 x 表示出来,在 AEC 中,BED x Rt用 x 表示 EG,在 EBG 中,用 x 表示 EB,根据条件三棱锥 的体积为 求出 x,即可Rt EACD63求出三棱锥 的侧面积.EACD试题解析:()因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC BD,因为 BE 平面 ABCD,所以 AC BE,故 AC 平面 BED. 又 AC 平面 AEC,所以平面 AEC 平面 BED

17、本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。答案第 6 页,总 11 页()设 AB= ,在菱形 ABCD 中,由 ABC=120,可得 AG=GC= ,GB=GD= .x 32x x2因为 AE EC,所以在 AEC 中,可得 EG= . Rt32x由 BE 平面 ABCD,知 EBG 为直角三角形,可得 BE= . 22x由已知得,三棱锥 E-ACD 的体积 .故 =2VEACD=1312ACGDBE=624x3=63 x从而可得 AE=EC=ED= .6所以 EAC 的面积为 3, EAD 的面积与 ECD 的面积均为 . 5故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 .3+25考点:线面

18、垂直的判定与性质;面面垂直的判定;三棱锥的体积与表面积的计算;逻辑推理能力;运算求解能力视频17 () ycdx适合作为年销售 y关于年宣传费用 x的回归方程类型()10.68()46.24【解析】试题分析:()由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数;()令wx,先求出建立 y关于 w的线性回归方程,即可 y关于 x的回归方程;()()利用 y关于 的回归方程先求出年销售量 y的预报值,再根据年利率 z 与 x、y 的关系为z=0.2y-x 即可年利润 z 的预报值;()根据()的结果知,年利润 z 的预报值,列出关于 x的方程,利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣

19、传费用.试题解析:()由散点图可以判断, ycdx适合作为年销售 y关于年宣传费用的回归方程类型. ()令 wx,先建立 y关于 w的线性回归方程,由于 812()iiiiiwyd=108.=6, cydw=563-686.8=100.6.本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。答案第 7 页,总 11 页 y关于 w的线性回归方程为 10.68yw, 关于 x的回归方程为 x.()()由()知,当 x=49 时,年销售量 y的预报值10.6849y=576.6,57.26.3z. ()根据()的结果知,年利润 z 的预报值0.(18)1.620.zxx,当 x= 3.62,即 4

20、时, z取得最大值.故宣传费用为 46.24 千元时,年利润的预报值最大.12 分考点:非线性拟合;线性回归方程求法;利用回归方程进行预报预测;应用意识18 ( 1) ;(2)247,3【解析】试题分析:(1)由题意可得,直线 l 的斜率存在,用点斜式求得直线 l 的方程,根据圆心到直线的距离等于半径求得 k 的值,可得满足条件的 k 的范围(2 )由题意可得,经过点 M、N、A 的直线方程为 y=kx+1,根据直线和圆相交的弦长公式进行求解试题解析:(1)由题意可得,直线 l 的斜率存在,设过点 A(0,1)的直线方程:y=kx+1,即:kx-y+1=0 由已知可得圆 C 的圆心 C 的坐标

21、(2,3 ) ,半径 R=1故由 ,解得: 231k1247,3kk故当 ,过点 A(0,1 )的直线与圆 C: 相交473k 2231xy于 M, N 两点(2 )设 M ;N ,1,xy2,由题意可得,经过点 M、N、A 的直线方程为 y=kx+1,代入圆 C 的方程,223本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。答案第 8 页,总 11 页可得 ,214170kxx ,12122,k ,22121211241kykxxx由 ,解得 k=1,21248kOMNy故直线 l 的方程为 y=x+1,即 x-y+1=0圆心 C 在直线 l 上,MN 长即为圆的直径所以|MN|=2考点

22、:直线与圆的位置关系;平面向量数量积的运算视频19 ( )当 时, 没有零点;当 时, 存在唯一零点.()见解0afx 0afx析【解析】试题分析:()先求出导函数,分 与 考虑 的单调性及性质,f即可判断出零点个数;()由()可设 在 的唯一零点为 ,根据fx0+, 0x的正负,即可判定函数的图像与性质,求出函数的最小值,即可证明其最小值不小fx于 ,即证明了所证不等式.2lna试题解析:() 的定义域为 , .fx0+, 2=(0)xafe当 时, , 没有零点;00f当 时,因为 单调递增, 单调递增,所以 在 单调递增.又a2xeaxfx+,,当 b 满足 且 时, ,故当 时, 存在

23、唯一f 4a1b0fbafx零点.()由() ,可设 在 的唯一零点为 ,当 时, ;fx0+, 0x0, 0f当 时, .0+x, 故 在 单调递减,在 单调递增,所以当 时, 取得最小f0x, 0x, 0xfx本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。答案第 9 页,总 11 页值,最小值为 .0fx由于 ,所以 .02=xae002=lnl2afxa故当 时, .lnf考点:常见函数导数及导数运算法则;函数的零点;利用导数研究函数图像与性质;利用导数证明不等式;运算求解能力.视频20 ( )见解析()60【解析】试题分析:()由圆的切线性质及圆周角定理知,AEBC,ACAB,由

24、直角三角形中线性质知 DE=DC,OE=OB,利用等量代换可证DEC+OEB=90,即OED=90,所以 DE 是圆 O 的切线;()设 CE=1,由 得,AB= ,设 AE= ,由勾股定3OACE23x理得 ,由直角三角形射影定理可得 ,列出关于 的方程,21BExB解出 ,即可求出ACB 的大小 .x试题解析:()连结 AE,由已知得,AE BC,AC AB,在 RtAEC 中,由已知得 DE=DC,DEC=DCE,连结 OE, OBE=OEB,ACB+ABC=90,DEC+ OEB=90,OED=90,DE 是圆 O 的切线 . ()设 CE=1,AE= ,由已知得 AB= , ,x23

25、21BEx由射影定理可得, ,2AEC ,解得 = ,ACB=60.21xx考点:圆的切线判定与性质;圆周角定理;直角三角形射影定理本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。答案第 10 页,总 11 页视频21 (1) , ;(2) cos=222cos4sin+4=012【解析】试题分析:(1)将 代入 的直角坐标方程,化简得 ,x=cos,y=sin C1,C2 cos=2;(2)将 代入 ,得 得22cos4sin+4=0 =4 22cos4sin+4=0 232+4=0, 所以 ,进而求得面积为 .|MN|= 212试题解析:(1 )因为 ,所以 的极坐标方程为 ,x=co

26、s,y=sin C1 cos=2的极坐标方程为C2 22cos4sin+4=0(2 )将 代入=4 22cos4sin+4=0得 得 , 所以232+4=0 |MN|= 2因为 的半径为 1,则 的面积为C2 C2MN12 21sin45=12考点:坐标系与参数方程.视频22 (1) (2)(2,+).x|231 x1x1+2x21 或 ,解得 ;()由题设可得,11 x1x+12x+21 232试题解析:()当 时,不等式 化为 ,等价于a=1 f(x)1 |x+1|2|x1|1或 或 ,解得 ,x1x1+2x21 11 x1x+12x+21 231 x|23a f(x) x三个顶点分别为 ,所以 的面积为 A(2a13,0),B(2a+1,0),C(a,a+1) ABC 23(a+1)2由题设得 ,解得 ,所以 的取值范围为 23(a+1)26 a2 a本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。答案第 11 页,总 11 页考点:绝对值不等式视频

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