1、- 1 -江苏省南通基地 2018年高考数学密卷（5）理第卷（必做题，共 160分）一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分1集合 ，若 ，则 0e,10xAB， ， ， ABx2若复数 ( 为虚数单位， )满足 ，则 = (i)zaiaR|2za3某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为 45 s，黄灯时间为 3 s，绿灯时间为 60 s从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为 4函数 ， 的单调减区间为 ()sin3cosfxx0，5下面求 的值的伪代码中，正整数 的最大值为 25821 mI2S0While ImSSIII3End WhilePrint S第 5 题
2、7 98 5 7 7 7 79 1 3第 6 题6如图是某学生 次考试成绩的茎叶图，则该学生 次考试成绩的标准差 = 88s7已知 ， ，且 ，则 的最小值为 0xy12xy xy8已知平面 ，直线 ， ，给出下列命题：mn 若 ， ，则 ； 若 ， ，则 ；/,/,/mn/n 若 ，则 ； 若 ， ，则 .,n其中是真命题的是 （填写所有真命题的序号） 9等差数列 的前 项和为 ，已知 ，且数列 也为等差数列，则 = nanS1anS10a10设 a为实数，已知函数 f(x)| x1| x1|，且 f(2a3) f(a)，则满足条件的 a构成的集合为 11已知抛物线 与双曲线 有相同的焦点
3、F，点 A是2(0)yp21(0)ybab，两曲线的一个交点，若直线 AF的斜率为 ，则双曲线的离心率为 3- 2 -12已知向量 满足 ，且 与 的夹角的正切值为 ， 与 的夹角，abc0bcab12bc的正切值为 ， ，则 的值为 1313在平面直角在平面直角坐标系 中，已知圆 ，圆 ，动xOy21xy： 2(4)Cxy：点 在直线 上的两点 之间，过点 分别作圆 的切线，切点为P20xyEF， PO，若满足 ，则线段 的长度为 AB， PA14已知函数 若对任意实数 ，总存在实数 ，使得 成立，2e()ln0xaf， ， k0x0()fxk求实数 的取值集合为 a二、解答题：本大题共 6
4、小题，共计 90分15 （本小题满分 14分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ，23acb且 tant3tan（1）求角 的大小；（2）若ABC 的外接圆的半径为 3，若 ac，求 的值ACB16 （本小题满分 14分）如图，已知四棱锥 P ABCD的底面是边长为 2的菱形， BCD60，点 E是 BC边的中点， AC， DE交于点 O， PO2 ，且 PO平面 ABCD.3（1）求证： PD BC；（2）在线段 AP上找一点 F，使得 BF平面 PDE，并求此时四面体 PDEF的体积- 3 -17 （本小题满分 14分）为建设美丽乡村，政府欲将一块长 12百米，
5、宽 5百米的矩形空地 ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖 EFG（图中阴影部分） 以 AB所在直线为 x 轴， AB的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系 （如图所示） 景观湖的边界曲线符合函数xOy模型园区服务中心 P在 x 轴正半轴上， PO= 百米1(0)x 43（1）若在点 O和景观湖边界曲线上一点 M之间修建一条休闲长廊 OM，求 OM的最短长度；（2）若在线段 DE上设置一园区出口 Q，试确定 Q的位置，使通道 PQ最短18 （本小题满分 16分）如图，已知椭圆 的离心率为 ，并且椭圆经过点 P ，21(0)yxCab： 323(1)2，直线 的方程为 l4（1）求椭圆的
6、方程；（2）已知椭圆内一点 ，过点 E作一条斜率为 的直线与椭圆交于 A， B两点，(10)， k交直线 于点 M，记 PA， PB， PM的斜率分别为 问：是否存在常数 ，l 123， ， 使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由123kFCDA BOPGEM（第 17 题）yxPEBAOM第 18 题xy- 4 -19 （本小题满分 16分）设 数列 的前 项和，对任意 ，都有 （ 为nSnanN1()nnSabcab， ，常数） （1）当 时，求 ；302bc， ， nS（2）当 时，0a， ，（）求证：数列 是等差数列；na（）若对任意 ，必存在 使得 ，已知 ，,mNppmn
7、a21a且 ，求数列 的通项公式129niS， ） n20 （本小题满分 16分）已知函数 ， 2()lnfxaxR（1）若 在 处取得极值，求 的值；f1（2）设 ，试讨论函数 的单调性；()(3)gxfax()gx（3）当 时，若存在正实数 满足 ，2a12,1212)30ffx求证： 12x- 5 -2018年高考模拟试卷（5）数学(附加题)21 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答A选修 41：几何证明选讲（本小题满分 10分）如图，已知 为半圆 的直径，点 为半圆上一点，过点 作半圆的切线 ，OCD过点 作 于点 . 求证： B2BADB选
8、修 42：矩阵与变换 （本小题满分 10分）设点 在矩阵 对应变换作用下得到点 ()xy，M(23)xy，（1）求矩阵 的逆矩阵 ；1（2）若曲线 C在矩阵 对应变换作用下得到曲线 ，求曲线 C的21C：方程C选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10分）已知曲线 的极坐标方程是 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为4cos()3轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是 （ 为参数） ，x l23xty， t直线 与曲线 相交于 两点lCAB，（1）求 的长；AB（2）求点 到 两点的距离之积(3)P， ，D选修 45：不等式选讲 （本小题满分 10分）已知 ，且 ，求证： 0x
9、y， 1xy16xy【必做题】第 22题、第 23题，每题 10分，共计 20分请在答卷纸指定区域内作答22如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 AB AC 2， AB AC， M是棱 BC的中点，点 P在线段 A1B上（1）若 P是线段 A1B的中点，求直线 MP与直线 AC所成角的大小；DBOAC第 21（A）题- 6 -（2）若 是 的中点，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，N1C1ABPMN7求线段 BP的长度23 （本小题满分 10分）已知抛物线 ，过直线 ： 上任一点 向抛物线 引两条切线C： 24yxl2xACAST，（切点为 ，且点 在 轴上方） ST，（1）求证
10、：直线 过定点，并求出该定点；（2）抛物线 上是否存在点 ，使得 CBSTA1C1B1 PAB CM（第 22 题）N- 7 -2018年高考模拟试卷（5）参考答案数学一、填空题：1 【答案】0【解析】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 BAAe0xe1x0x2 【答案】 1【解析】因为 ，所以 ，所以 ()1iza2)()1(|2az 1a3 【答案】 512【解析】遇到红灯的概率为 45360124 【答案】 6，【解析】 ，由 ， 及 得()2sin()3fx322kxk Z0x，函数的单调减区间为 6，5 【答案】2021【解析】满足条件的正整数 m的取值为 2019，2020，202
11、1，所以正整数 m的最大值为 20216 【答案】 15【解析】学生 8次考试成绩的平均值为 87，则标准差为 15)6428(127 【答案】 32【解析】由 ， ，得 ，当且仅当 时0xy12()332yxxy xy2等号成立，又 ，则 ，所以 的最小值为 12 y38 【答案】 【解析】对于，平行的传递性仅限于相同的元素(点、线、面)，因此均不对9 【答案】19【解析】因为数列 是等差数列，设公差为 ，则 ，nad nddnSn )21(2)1(所以 ，又 也为等差数列，所以 ，所ndS)21(n- 8 -以 190a10 【答案】 ,3【解析】由 由 ，得 或2,1,(),.xf (2
12、3)(faf23a0a或 解得 或 123,a 111 【答案】 7【解析】如图所示 AF的斜率为 ，所以360BAF且 AF AB，所以 是等边三角形，AF所以 ，所以 ，10B124c，所以 ，由双曲线的定义可知 ，c72 ca72所以双曲线的离心率为 3212 【答案】 15【解析】令 ，则 ，ABCA，cab1tant32C，所以 ，所以 ，tnt()t()34B由正弦定理可得 ，所以 2|,|510ca15ac13 【答案】 239【解析】由 得 ，所以 ，PBA 224P 224(1)CPO所以 ，设 ，所以 ，2CO ()xy，8603xy即 ，点 P在圆 上及圆内，46()39
13、xy 94)(2所以 EF为直线截圆所得的弦，所以 EF= 314 【答案】 eyxOABF第 11 题- 9 -【解析】令 ， ，所以函数 在 上递增，在2()lnexh1()exh)(xh0e)，(e)，上递减，又 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，因为对任(e)0h2lnex ex意实数 ，总存在实数 ，使得 成立，且过原点的直线与k0x0()fklnyx切于点 ，所以函数 的图象是不间断的，故 (e1)，)(f ea二、解答题：15解：（1）由 ，tant3tanACAC得 ，即 tant()所以 ，即 ，t()3BtaB所以 因为 ，所以 an03（2）因为ABC 的外接圆的半径为 ，
14、由正弦定理得， ，23sinbB所以 ，所以 3sinb263acb由余弦定理知， ，22osB即 ，所以 ，即 ，9()ac()73ac因为 所以3,c所以ABC 为直角三角形，且 3A所以 。32cos6ACB16 （1）由题可得 BCD为正三角形， E为 BC中点，故 DE BC. 又 PO平面 ABCD， BC 平面 ABCD，则 PO BC， 而 DE PO O， 平面 ，,DEP- 10 -所以 BC平面 PDE. 又 PD 平面 PDE，故 PD BC. （2）取 AP中点为 F，再取 PD中点为 G，连结 FG.则 FG为 PAD中位线，故 FG AD，12又 BE AD，所以
15、 FG BE，于是四边形 BFGE为平行四边形，12因此 BF EG.又 BF 平面 PDE， EG 平面 PDE, 所以 BF平面 PDE. 由（1）知， BC平面 PDE.则有 BC PE， BC DE，而 BC FG，故 FG PE， FG DE，且 DE PE E，所以 FG平面 PDE. 于是四面体 PDEF的体积为 V= S PDEFG 2 11. 13 13 12 3 3另解（等体积转化）：因为 BF/面 PDE，则 B， F两点到平面 PDE的距离相等，所以四面体 PDEF的体积等于四面体 PDEB，因为 PO平面 ABCD，所以 VP-BDE= POS BDE=1.1317解
16、：（1） （方法一）设 ， ，11Mx， 0x则 ， 2211Ox212+当且仅当 ，即 时取等号21=4x所以 的最小值为 百米 M2+（方法二）设直线 （其中斜率 一定存在） ，代入 ，Oykx： k1yx得 ，化简为 1kx2(1)设 则 ， （ ） 1(,)y， 1xk所以 ， 221OMx 221kk令 ，则 ，1(0)tktktt当且仅当 等号成立，即 时成立2t21- 11 -综上， 的最短长度为 百米 OM2（2）当直线 与边界曲线相切时， 最短 PQPQ设切点为 ，由 得 ，221Tx， 1yx2yx所以切线的方程为 2因为 在 轴正半轴上，且 PO= ，所以 点坐标为 Px
17、43P4(0)3，因为切线过点 ，所以 ， 4(0)3， 2 21xx整理得 ，解得 ，或 2x22因为 ，所以 ，此时切点为 ，切线方程为 02115(,)34yx令 ，得 ，即点 在线段 上且距离 轴 百米5y3xQDE1答：当点 在线段 上且距离 轴 百米，通道 PQ最短 Ey1318解：（1）因为椭圆的离心率为 ，所以 ，22231()4ba又椭圆过点 ，所以 ，3(1)2P， 14a所以 ， ，所以椭圆方程为 24ab21xy（2）设直线 的方程为： ，令 ，则 ，所以点 ，AB()yk43k(43)Mk，设 ，1()xy， 2()x，所以 121231ykx1233()(1)kxk
18、x12x12()kx由 ，可得 2()4ykx， 24840k所以 ， ，2128k21x所以 2122283411kk 3k- 12 -又因为 ，所以 ，3326k123k所以存在 ，使得 12319解：（1）当 ， ， 时， 0abc1()2nnSa当 时， ，所以 n113()2S1当 时， 2 nna得： 因为 ，所以 ，所以 ，13110na13na所以 是以 1为首项，3 为公比的等比数列，na所以 ()2nS（2） （）当 ， ， 时， 1a0bc1()2nnSa当 时， n 11()2nnSa得： ，1()所以 11na得： 1()()2()nnaa因为 ，所以 即 ，2n 1
19、n11n所以 是等差数列na（）因为 ，所以 211d因为 ，所以 ，所以 pmna1122apmn11apmn因为 ，所以 又因为 ，*,NZ19所以 ，所以 或 192a 1a12当 时， ， ， ，n()nS121ni nS所以 不符合题意12439S- 13 -当 时， ， ，12a1n(3)2nS所以 满足题意1 1939niS所以 na20 （1）解：因为 ，所以 ，2()lnfxax1()2fxax因为 在 处取得极值，()f1所以 ，解得 20fa1a验证：当 时， ，1()21()2(0)xfxx易得 在 处取得极大值 ()fx（2）解：因为 ，22()(3)ln(3)ln(
20、)gfxaxaxax所以 1()1()20x若 ，则当 时， ，所以函数 在 上单调递增；0a (0,)()gx ()gx1,2当 时， ， 函数 在 上单调递减 1(,)2xgx1(,2若 ， ，0a1()2)(0)ax当 时，易得函数 在 和 上单调递增，2()gx,a1,在 上单调递减； 1(,)a当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递增；2()0gx ()gx0,)当 时，易得函数 在 和 上单调递增，()gx10,2a在 上单调递减 1(,)2a（3）证明：当 时， ，22()lnfxx因为 ，11()30fxf所以 ，221lnln30即 ，1211()()xx所以 212lx-
21、 14 -令 ， ，12tx()ln(0)tt则 ，()t当 时， ，所以函数 在 上单调递减；0,t()()ln(0)tt(,1当 时， ，所以函数 在 上单调递增(10t )所以函数 在 时，取得最小值，最小值为 )ln()t1t所以 ，2112(xx即 ，所以 或 2)()0 12x 12x因为 为正实数，所以 1,x12当 时， ，此时不存在 满足条件，1212x12,x所以 12x数学（附加题）21 【选做题】A证明：因为 为圆的切线，弧 所对的圆周角为 ，CDBCBAC所以 BA又因为 为半圆 的直径，O所以 90又 BD CD，所以 90CDBA由得 ，A 所以 2BB （1）
22、， ，所以 03Mdet()61310623M（2）设曲线 上任意一点 在矩阵 对应变换作用下得到点 ，C()xy，1 ()xy则 ，所以 103xy23xy，又点 在曲线 上，所以 ，即 ()x，C2()1x2149yx- 15 -所以曲线 的方程为 C2149yxC （1）由 ，得 ，所以 ， 4cos()3cos3in223xyy即 ，所以曲线 是以 为圆心， 为半径的圆22()4xyC(1)，直线 的普通方程为 l 30xy所以圆心 到直线 的距离为 ，(1)，l2d所以 24ABd（2）点 在直线 上，设 两点对应的参数分别为 (3)P， lAB， 12t，将 与 联立可得 ，23x
23、ty，22(1)(3)4xy20tt所以 120t，所以 1|PABtD证法一：因为 22()(1)(16xyxy所以 16证法二：分析法，要证 ，xy即证 ，22(16) (即证 ，()1xy即证 ，23()1xy由基本不等式易得22以 为正交基建立如图所示的空间直角坐标系，1ABC，则 ， ， ， ， (0)(20)(20)C1(2)A， ， (10)M，（1）若 P是线段 A1B的中点，则 ， ， ()()M，()， A1C1B1 PACB M第 22 题x yzN- 16 -所以 2cosMPAC，又 ，所以 0PAC， 34，所以直线 MP与直线 AC所成的角的大小为 （2）由 ，得
24、 (021)N， ， (1)MN， ，设 ， ， ，PxyzBA0 则 ，()(2)所以 ，所以 ，所以 20yz，(0)P，(12)MP，设平面 的法向量 ，PMN(,)xyzn则 ， ， n所以 取 0,(12),xyz1(,)2因为 ，设直线 与平面 所成角为 BA， ，1ABPMN由 ，得 11 221()7sinco ， n 14所以 ，所以 14BPA14BPA23 （1）设 12()()()SxyTt，当 时， ，则 ，所以直线 AT的方程为： 0xy )(1xy代入点 得 ，所以 ，又 ，()t， )(11 1112xxt12所以 ，得 ，同理 ，1122xty02ty02ty所以直线 ： ，所以直线 过定点 ST0tyST()，（2）因为直线 过定点 ，故设 ： ，),2( 2myx由 得 ，所以 24xmy，084y121248，- 17 -设 ，因为 ，所以 ，0()Bxy，BTS0TS所以 ，)()( 201201yyx即 ，0210220 x， ，41622y 4)(2121myx又 ，04)(00 mxmx 0x所以 ，所以 ，42y 2022 )(4yy所以 或 因为点 B不在直线 ST上，0x0x所以 因为 ，2412my2m所以当 或 时，抛物线上存在点 B； 当 时，抛物线上不存在点 B2
