1、1选修 4 系列专项强化练(二) 选修 44:坐标系与参数方程(理科)题型一 曲线的极坐标方程1在极坐标系中,已知曲线 C: 2sin ,过极点 O 的直线 l 与曲线 C 交于 A, B两点,且 AB ,求直线 l 的极坐标方程3解:设直线 l 的方程为 0( R), A(0,0), B( 1, 0)则 AB| 10|2sin 0|.又 AB ,故 sin 0 .332解得 0 k 或 0 k, kZ. 3 3所以直线 l 的方程为 或 ( R) 3 232求以 C(4,0)为圆心,半径为 4 的圆的极坐标方程解:如图所示,由题设可知,这个圆经过极点,圆心在极轴上,设圆与极轴的另一个交点是
2、A,在圆上任取一点 P( , ),连结OP, PA,在 Rt OPA 中,| OA|8,| OP| , AOP ,| OA|cos ,即 8cos ,即 8cos 就是圆 C 的极坐标方程临门一脚1在极坐标系中,求直线的极坐标方程的一般方法为:设 M( , )为直线上任意一点,极点为 O,连结 OM,构造出含有 OM 的三角形,再找出我们需求的 与 的关系,即为直线的极坐标方程也可以先求出直角坐标方程,再化为极坐标方程2求圆的极坐标方程要注意作出图形,充分利用三角函数和解三角形的知识,探究极径和极角的关系,几种特殊圆的极坐标方程需要记忆清楚3解极坐标方程时如果求出 0,需要进行检验,防止漏解题
3、型二 方程互化1已知圆 O1和圆 O2的极坐标方程分别为 2, 22 cos 2.2 ( 4)(1)把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解:(1)由 2 x2 y2,且Error!得圆 O1的直角坐标方程为 x2 y24,由 22 cos 2,2 ( 4)得 22 (cos sin )2,x2 y22( x y)2,2故圆 O2的直角坐标方程为 x2 y22 x2 y20.(2)联立方程Error!两式相减,得经过两圆交点的直线方程为 x y10,该直线的极坐标方程为 cos sin 10.2在平面直角坐标系 xOy 中,圆的参数方程为Err
4、or!( 为参数),以坐标原点 O 为极点、 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系求:(1)圆的普通方程;(2)圆的极坐标方程解:(1) 圆的普通方程为( x2) 2 y24.(2) 把Error!代入上述方程,得圆的极坐标方程为 4cos .3在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l:Error!( t 为参数)与椭圆 C:Error! ( 为参数, a0)的一条准线的交点位于 y 轴上,求实数 a 的值解:由题意,直线 l 的普通方程为 2x y9,椭圆 C 的普通方程为 1(0 a3),y29 x2a2椭圆 C 的准线方程为 y ,99 a2故 9,解得 a2 (负值舍去)99 a2 2临
5、门一脚1极坐标与直角坐标互化的基本公式为 x cos , y sin ,也经常需要用到 2 x2 y2,tan (x0)yx2通过消去参数将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线的类型(1)消去参数的方法一般有三种:利用解方程的技巧求出参数的表示式,然后代入消去参数;利用三角恒等式消去参数;根据参数方程本身的结构特征,选用一些灵活的方法从整体上消去参数(2)在参数方程与普通方程的互化中, 必须使两种方程中的 x, y 的取值范围保持一致,否则将导致两种方程所对应的曲线不一致题型三 位置关系及参数方程应用1在极坐标系中,求直线 ( R)被曲线 4sin 所截得的弦长 4解:法一:在 4sin
6、 中,令 ,得 4sin 2 ,即所求弦长为 2 . 4 4 2 2法二:以极点 O 为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系3直线 ( R)的直角坐标方程为 y x, 4曲线 4sin 的直角坐标方程为 x2 y24 y0,由得Error!或Error!故直线 ( R)被曲线 4sin 所截弦长的端点坐标分别为(0,0),(2,2), 4所以直线 ( R)被曲线 4sin 所截得的弦长为 2 . 4 22 22 22已知直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数),曲线 C 的极坐标方程为 3cos ,试判断直线 l 与曲线 C 的位置关系解:由题意知,直线 l 的普通方程
7、为 2x y20,由 2 x2 y2,且Error!得曲线 C 的直角坐标方程为 2 y2 ,它表示圆(x32) 94由圆心 到直线 l 的距离 d ,得直线 l 与曲线 C 相交(32, 0) 15 55 323在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为Error!(其中 为参数),以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 2 cos 3 .求椭圆 3 6C 上的点到直线 l 距离的最大值和最小值解:直线 l 的直角坐标方程为 x y3 0.3 6设椭圆 C 上的点到直线 l 的距离为 d.则 d .|3cos 3sin 36|2 6sin( 4)
8、 362所以当 sin 1 时, dmax2 ;( 4) 6当 sin 1 时, dmin .( 4) 6所以椭圆 C 上的点到直线 l 距离的最大值为 2 ,最小值为 .6 64在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数),曲线 C 的参数方程为Error! (s 为参数)设 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的距离的最小值解:直线 l 的普通方程为 x2 y80.因为点 P 在曲线 C 上,设 P(2s2,2 s),2从而点 P 到直线 l 的距离4d .|2s2 42s 8|12 2 2 2 s 2 2 45当 s 时, dmin .2455因此当点 P 的坐标为(4,4)时,曲线 C 上点 P 到直线 l 的距离取到最小值 .455临门一脚1如果遇到直线与圆的位置关系问题,应优先将方程化为普通方程后再研究较为方便2圆或椭圆的参数方程应用于求曲线上的点到直线距离的最值问题,需要辅助角公式的运用,等号成立的条件一定要写出3直线的参数方程为Error!中 t 的几何意义要清楚,但如果给的方程不是标准形式,此时不要直接用 t 的几何意义来处理弦的问题5