1、16 个解答题综合仿真练(六)1.如图，在四棱锥 EABCD 中，平面 EAB平面 ABCD，四边形 ABCD 为矩形， EA EB，点 M， N 分别是 AE， CD 的中点求证：(1) MN平面 EBC；(2)EA平面 EBC.证明：(1)取 BE 中点 F，连结 CF， MF，又 M 是 AE 的中点，所以 MF 綊 AB.12又 N 是矩形 ABCD 边 CD 的中点，所以 NC 綊 AB，所以 MF 綊 NC，12所以四边形 MNCF 是平行四边形，所以 MN CF.又 MN平面 EBC， CF平面 EBC，所以 MN平面 EBC. (2)在矩形 ABCD 中， BC AB，又平面
2、EAB平面 ABCD，平面 ABCD平面 EAB AB， BC平面 ABCD，所以 BC平面 EAB.又 EA平面 EAB，所以 BC EA.又 EA EB， BC EB B， EB平面 EBC， BC平面 EBC，所以 EA平面 EBC.2.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，锐角 ， 的顶点为坐标原点 O，始边为 x 轴的正半轴，终边与单位圆 O 的交点分别为P， Q.已知点 P 的横坐标为 ，点 Q 的纵坐标为 .277 3314(1)求 cos 2 的值；(2)求 2 的值解：(1)因为点 P 的横坐标为 ，点 P 在单位圆上， 为锐角，2772所以 cos ，277所以 cos 2
3、2cos 2 1 .17(2)因为点 Q 的纵坐标为 ，点 Q 在单位圆上，3314所以 sin .3314又 为锐角，所以 cos .1314因为 cos ，且 为锐角，277所以 sin ，217因此 sin 2 2sin cos ，437所以 sin(2 ) .437 1314 17 3314 32因为 为锐角，所以 00，所以 00，得 2 xb0)的左顶点 A(2,0)，且点x2a2 y2b2在椭圆上， F1， F2分别是椭圆的左、右焦点过点 A 作斜率为( 1，32)k(k0)的直线交椭圆 E 于另一点 B，直线 BF2交椭圆 E 于点 C.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)若
4、CF1F2为等腰三角形，求点 B 的坐标；(3)若 F1C AB，求 k 的值解：(1)由题意得Error!解得Error!椭圆 E 的标准方程为 1.x24 y23(2) CF1F2为等腰三角形，且 k0，点 C 在 x 轴下方，若 F1C F2C，则 C(0， )；3若 F1F2 CF2，则 CF22， C(0， )；3若 F1C F1F2，则 CF12， C(0， )，3 C(0， )3直线 BC 的方程 y (x1)，3由Error!得Error!或Error!4 B .(85， 335)(3)设直线 AB 的方程为 y k(x2)，由Error!消去 y，得(34 k2)x216 k
5、2x16 k2120， xAxB2 xB ，16k2 123 4k2 xB ， 8k2 63 4k2 yB k(xB2) ，12k3 4k2 B .( 8k2 63 4k2， 12k3 4k2)若 k ，则 B ， C ，12 (1， 32) (1， 32) F1(1,0)， kCF1 ，34 F1C 与 AB 不垂直； k ，12 F2(1,0)， kBF2 ， kCF1 ，4k1 4k2 1k直线 BF2的方程为 y (x1)，4k1 4k2直线 CF1的方程为 y (x1)，1k由Error!解得Error! C(8k21，8 k)由点 C 在椭圆上，得 1， 8k2 1 24 8k 2
6、3即(24 k21)(8 k29)0，即 k2 ，124 k0， k .6125数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn4 an.(1)求证：数列 an为等比数列，并求通项公式 an；(2)是否存在自然数 c 和 k，使得 1 成立？若存在，请求出 c 和 k 的值； 若不ak 1Sk c存在，请说明理由解：(1)证明：当 n1 时， S1 a14，得 a12, 由 Sn4 an，5得 Sn1 4 an1 ，得， Sn1 Sn an an1 ，即 an1 an, 12所以 ，且 a12，an 1an 12所以数列 an是首项为 2，公比为 的等比数列，且 an . 12 12n 2(2)
7、法一：因为 an ，12n 2所以 ak1 ， Sk4 ， 12k 1 (1 12k)要使 1 成立，只要使 c，且 2 Sk4，所以 c 的可能取值为 0,1,2,3)(112k)当 c0 时，11 成立. ak 1Sk c法二：要使 1，只要 2，ak 1Sk c Sk 1 cSk c即只要 0，(32Sk 2) 12故只要 Sk2 c Sk. 32因为 Sk1 Sk，所以 Sk2 S121.32 32又 Sk4，故要使成立， c 只能取 2 或 3. 6当 c2 时，因为 S12，所以当 k1 时， c Sk不成立，从而不成立当 k2 时，因为 S22 c，32 52由 Sk Sk1 ，
8、得 Sk2 Sk1 2，32 32故当 k2 时， Sk2 c，从而不成立. 32当 c3 时，因为 S12， S23，所以当 k1， k2 时， c Sk不成立，从而不成立因为 S32 c，又 Sk2 Sk1 2，32 134 32 32所以当 k3 时， Sk2 c，从而不成立. 32综上所述，不存在自然数 c， k，使 1 成立ak 1Sk c6已知二次函数 f(x) ax2 bx1， g(x) a2x2 bx1.(1)若 f(x) g(x)对任意实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)若函数 f(x)有两个不同零点 x1， x2，函数 g(x)有两个不同零点 x3， x4.若
9、x3 x1 x4，试比较 x2， x3， x4的大小关系；若 x1 x3 x2， m， n， p(， x1)， ，求证：f mg n f ng p f pg mm n p.解：(1)因为 f(x) g(x)对任意实数 x 恒成立，所以 ax2 a2x2对任意实数 x 恒成立， 所以 a2 a0，解得 0 a1.又由题意可得 a0，所以实数 a 的取值范围为(0,1(2)因为函数 g(x)的图象开口向上，且其零点为 x3， x4，故 g(x)0，得 x3xx4. 因为 x1， x2是 f(x)的两个不同零点，故 f(x1) f(x2)0.因为 x3 x1 x4，故 g(x1)0 f(x1)，于是
10、( a2 a)x 0.21注意到 x10，故 a2 a0.因为 g(x2) f(x2)( a2 a)x 0，2故 g(x2) f(x2)0，从而 x3x2x4，于是 x3 x2 x4. 7证明：记 x1 x3 t，故 f(t) at2 bt10， g(t) a2t2 bt10，于是( a a2)t20.因为 a0，且 t0，故 a1.所以 f(x) g(x)且函数图象开口向上. 所以当 x(， x1)时， f(x)单调递减， f( x)单调递增且 f( x)0， g(x)单调递减且 g(x)0.若 m n，则 f( n)f( m)0，于是 0，从而 g(p) g(n)0，故1g n 1g pn p.同上，当 n p 时，可推得 p m.所以 p m n p，矛盾所以 m n 不成立. 同理， n m 亦不成立所以 m n.同理， n p.所以 m n p.8
