1、16 个解答题综合仿真练(一)1.如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，AC， BD 相交于点 O，点 E 为 PC 的中点， OP OC， PA PD.求证：(1) PA平面 BDE; (2)平面 BDE平面 PCD.证明：(1)连结 OE，因为 O 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，所以 O 为 AC 的中点又因为 E 为 PC 的中点，所以 OE PA. 又因为 OE平面 BDE， PA平面 BDE，所以 PA平面 BDE. (2)因为 OE PA， PA PD，所以 OE PD. 因为 OP OC， E 为 PC 的中点，所以 OE PC. 又因为 PD平
2、面 PCD， PC平面 PCD， PC PD P，所以 OE平面 PCD. 又因为 OE平面 BDE，所以平面 BDE平面 PCD.2已知函数 f(x)( cos xsin x)22 sin 2x.3 3(1)求函数 f(x)的最小值，并写出 f(x)取得最小值时自变量 x 的取值集合；(2)若 x ，求函数 f(x)的单调递增区间 2， 2解：(1) f(x)( cos xsin x)22 sin 2x3 33cos 2x2 sin xcos xsin 2x2 sin 2x3 3 sin 2x3 1 cos 2x2 1 cos 2x2 3cos 2 x sin 2x232cos 2(2x 3
3、)当 2x 2 k( kZ)，即 x k (kZ)时， f(x)取得最小值 0. 3 3故 f(x)的最小值为 0， f(x)取得最小值时自变量 x 的取值集合为.x|x k 3， k Z(2)由(1)知 f(x)2cos 2，(2x 3)令 2 k2 x 22 k( kZ)， 32解得 k x k( kZ) 3 56又 x ，则令 k1， x ，令 k0， x ， 2， 2 2， 6 3， 2所以函数 f(x)在 上的单调递增区间是 和 . 2， 2 2， 6 3， 23.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 1( ab0)的x2a2 y2b2离心率为 ， C 为椭圆上位于第一象限内
4、的一点23(1)若点 C 的坐标为 ，求 a， b 的值；(2，53)(2)设 A 为椭圆的左顶点， B 为椭圆上一点，且 ，求直线 AB 的斜率AB 12OC 解：(1)因为椭圆的离心率为 ，23所以 ，即 . a2 b2a 23 b2a2 59又因为点 C 在椭圆上，所以 1. (2，53) 4a2 259b2由解得 a29， b25.因为 ab0，所以 a3， b .5(2)法一：由(1)知， ，所以椭圆方程为 1，即 5x29 y25 a2.b2a2 59 x2a2 9y25a2设直线 OC 的方程为 x my(m0)， B(x1， y1)， C(x2， y2)由Error!消去 x，
5、得 5m2y29 y25 a2，所以 y2 .因为 y20，所以 y2 .5a25m2 9 5a5m2 9因为 ，所以 AB OC.可设直线 AB 的方程为 x my a.AB 12OC 由Error!消去 x，得(5 m29) y210 amy0，所以 y0 或 y ，得 y1 .10am5m2 9 10am5m2 9因为 ，所以( x1 a， y1) ，于是 y22 y1，即AB 12OC (12x2， 12y2) (m0)，所以 m .5a5m2 9 20am5m2 9 35所以直线 AB 的斜率为 .1m 5333法二：由(1)可知，椭圆方程为 5x29 y25 a2，则 A( a，0
6、)设 B(x1， y1)， C(x2， y2)由 ，得( x1 a， y1) ，所以 x1 x2 a， y1 y2.AB 12OC (12x2， 12y2) 12 12因为点 B， C 都在椭圆 5x29 y25 a2上，所以Error!解得 x2 ， y2 ，a4 5a43所以直线 AB 的斜率 k .y2x2 5334.如图，半圆 AOB 是某市休闲广场的平面示意图，半径 OA 的长为10.管理部门在 A， B 两处各安装一个光源，其相应的光强度分别为 4 和9.根据光学原理，地面上某点处照度 y 与光强度 I 成正比，与光源距离x 的平方成反比，即 y (k 为比例系数)经测量，在弧 A
7、B 的中点 C 处的照度为 130.(CkIx2处的照度为 A， B 两处光源的照度之和)(1)求比例系数 k 的值；(2)现在管理部门计划在半圆弧 AB 上，照度最小处增设一个光源 P，试问新增光源 P安装在什么位置？解：(1)因为半径 OA 的长为 10，点 C 是弧 AB 的中点，所以 OC AB， AC BC10 . 2所以 C 处的照度为 y 130，4k 102 2 9k 102 2解得比例系数 k2 000. (2)设点 P 在半圆弧 AB 上，且 P 距光源 A 为 x，则 PA PB，由 AB20，得 PB (0 x20)400 x2所以点 P 处的照度为 y (0 x20)
8、8 000x2 18 000400 x2所以 y 16 000x3 36 000x 400 x2 24 0009x4 4 400 x2 2x3 400 x2 220 000 . x2 160 x2 800x3 400 x2 2由 y0，解得 x4 . 10当 0 x4 时， y0， y 为减函数；108 000x2 18 000400 x24当 4 x20 时， y0， y 为增函数108 000x2 18 000400 x2所以 x4 时， y 取得极小值，也是最小值. 10所以新增光源 P 安装在半圆弧 AB 上且距 A 为 4 (距 B 为 4 )的位置10 155已知函数 f(x)(
9、a3) x a2ln x(aR)(1)若函数 f(x)在(1，)上为单调增函数，求实数 a 的最小值；(2)已知不等式 f(x)3 x0 对任意 x(0,1都成立，求实数 a 的取值范围解：(1)法一：因为 f( x) a3 (x0), 2x当 a3 时， f( x)0， f(x)在(0，)上单调递减； 当 a3 时，由 f( x)0，得 0 x ， f(x)在 0， 上单调递减，2a 3 2a 3由 f( x)0，得 x ， f(x)在 上单调递增. 2a 3 ( 2a 3， )因为函数 f(x)在(1，)上为单调增函数，所以 a3 且 1，所以 a5, 2a 3所以实数 a 的最小值为 5
10、. 法二：因为函数 f(x)在(1，)上为单调增函数，所以 f( x) a3 0 在(1，)上恒成立， 2x所以 a3 在(1，)上恒成立， 2x又当 x1 时，3 5, 所以 a5，2x所以实数 a 的最小值为 5. (2)令 g(x) f(x)3 x a(x1)2ln x， x(0,1，所以 g( x) a . 2x当 a2 时，由于 x(0,1，所以 2，2x所以 g( x)0， g(x)在(0,1上单调递减，所以 g(x)min g(1)0，所以对任意 x(0,1， g(x) g(1)0，即对任意 x(0,1不等式 f(x)3 x0 都成立，所以 a2; 当 a2 时，由 g( x)0
11、，得 0 x ， g(x)在 上单调递减；2a (0， 2a)由 g( x)0，得 x ， g(x)在 上单调递增2a (2a， 15所以，存在 (0,1)，使得 g g(1)0，不合题意2a (2a)综上所述，实数 a 的取值范围为(，26已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2 an1.(1)求数列 an的通项公式；(2)记集合 M n|n(n1) a n， nN *，若 M 中有 3 个元素，求 的取值范围；(3)是否存在等差数列 bn，使得 a1bn a2bn1 a3bn2 anb12 n1 n2 对一切nN *都成立？若存在，求出 bn；若不存在，说明理由解：(1)当 n1
12、时， S12 a11，得 a11.当 n2 时，由 Sn2 an1，得 Sn1 2 an1 1，得 an2 an1 ，即 2( n2)anan 1因此 an是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以 an2 n1 . (2)由已知可得 ，令 f(n) ，n n 12n 1 n n 12n 1则 f(1)2， f(2)3， f(3)3， f(4) ， f(5) ， 52 158下面研究 f(n) 的单调性，n n 12n 1因为 f(n1) f(n) ， n 1 n 22n n n 12n 1 n 1 2 n2n所以，当 n3 时， f(n1) f(n)0， f(n1) f(n)，即 f(n)单
13、调递减. 因为 M 中有 3 个元素，所以不等式 解的个数为 3，所以 2 ，即n n 12n 1 52 的取值范围为 .(2，52(3)设存在等差数列 bn使得条件成立，则当 n1 时，有 a1b12 2121，所以 b11.当 n2 时，有 a1b2 a2b12 3224，所以 b22.所以等差数列 bn的公差 d1，所以 bn n. 设 S a1bn a2bn1 a3bn2 anb1，S1 n2( n1)2 2(n2)2 n2 22 n1 1，所以 2S2 n2 2(n1)2 3(n2)2 n1 22 n1，得 S n22 22 32 n1 2 n n 2 n1 n2，2 1 2n1 26所以存在等差数列 bn，且 bn n 满足题意.
