1、- 1 -江苏省七市 2019 届高三数学第三次调研考试试题(满分 160 分，考试时间 120 分钟)20195一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1. 已知集合 U1，0，2，3，A0，3，则 UA_ 2. 已知复数 z (i 是虚数单位)是纯虚数，则实数 a 的值为_a i1 3i3. 右图是一个算法流程图若输出 y 的值为 4 时，则输入 x 的值为_ 4. 已知一组数据 6，6， 9，x，y 的平均数是 8，且 xy90，则该组数据的方差为_5. 一只口袋装有形状、大小都相同的 4 只小球，其中有 3 只白球，1 只红球从中 1 次随机摸出 2 只球，则
2、2 只球都是白色的概率为_6. 已知函数 f(x) 则不等式 f(x)f(x)的解集为x2 2x， x 0， x2 2x， x 0， )_ 7. 已知数列a n是等比数列，其前 n 项和为 Sn.若 a3a 24，a 416，则 S3的值为_8. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 1(a0，b0)的右准线与两条渐近线分x2a2 y2b2别交于 A，B 两点若AOB 的面积为 ，则该双曲线的离心率为_ab49. 在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，AB3 cm，BC1 cm，CD2 cm.将此直角梯形绕 AB 边所在的直线旋转一周，由此形成几何体的体积为_cm 3.10. 在平面直
3、角坐标系 xOy 中，若曲线 ysin 2x 与 y tan x 在( ，)上交点的横18 2- 2 -坐标为 ，则 sin 2 的值为_11. 如图，在正六边形 ABCDEF 中，若 (，R)，则 的值为AD AC AE _(第 11 题)(第 12 题)12. 如图，有一壁画，最高点 A 处离地面 6 m，最低点 B 处离地面 3.5 m若从离地高 2 m 的 C 处观赏它，则离墙_m 时，视角 最大13. 已知函数 f(x)x 22x3a，g(x) .若对任意 x10，3，总存在 x22，3，2x 1使得|f(x 1)|g(x 2)成立，则实数 a 的值为_14. 在平面四边形 ABCD
4、 中，BAD90，AB2，AD1.若 ，则 CB CD 的最小值为_AB AC BA BC 43CA CB 12二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分 14 分)在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对边的长，a(sin Asin B)(cb)(sin Bsin C)(1) 求角 C 的值；(2) 若 a4b，求 sin B 的值- 3 -16.(本小题满分 14 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，平面 BPC平面 DPC，BPBC，点 E，F 分别是 PC，AD 的中点
5、求证：(1) BECD；(2) EF平面 PAB.(本小题满分 14 分)17.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 1(ab0)的上顶点为x2a2 y2b2A(0， )，圆 O：x 2y 2 经过点 M(0，1)3a24(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 过点 M 作直线 l1交椭圆 C 于 P，Q 两点，过点 M 作直线 l1的垂线 l2交圆 O 于另一点N.若PQN 的面积为 3，求直线 l1的斜率- 4 -18. (本小题满分 16 分)南通风筝是江苏传统手工艺品之一现用一张长 2 m，宽 1.5 m 的长方形牛皮纸 ABCD 裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边 AB，A
6、D 上取点 E，F，将三角形 AEF 沿直线 EF 翻折到AEF 处，点 A落在牛皮纸上，沿 AE，AF 裁剪并展开，得到风筝面 AEAF，如图 1.(1) 若点 E 恰好与点 B 重合，且点 A在 BD 上，如图 2，求风筝面 ABAF 的面积；(2) 当风筝面 AEAF 的面积为 m2时，求点 A到 AB 距离的最大值3- 5 -19. (本小题满分 16 分)已知数列a n满足(na n1 2)a n(2a n1)a n1 (n2)，b n n(nN *)1an(1) 若 a13，求证：数列b n是等比数列；(2) 若存在 kN *，使得 ， ， 成等差数列1ak 1ak 1 1ak 2
7、求数列a n的通项公式；求证：ln n anln(n1) an1 .12 12- 6 -20. (本小题满分 16 分)已知函数 f(x) (a0)，e 是自然对数的底数ax21 ln x(1) 当 a0 时，求 f(x)的单调增区间；(2) 若对任意的 x ，f(x)2e b1 (bR)，求 的最大值；12 ba(3) 若 f(x)的极大值为2，求不等式 f(x)e x0 的解集.- 7 -2019 届高三模拟考试试卷数学附加题(满分 40 分，考试时间 30 分钟)21. 【选做题】 在 A，B，C 三小题中只能选做两题，每小题 10 分，共 20 分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写
8、出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修 42：矩阵与变换)已知 a，b，c，dR，矩阵 A 的逆矩阵 A 1 .若曲线 C 在矩阵 A 对应的变a 20 b 1cd1换作用下得到曲线 y2x1，求曲线 C 的方程B. (选修 44：坐标系与参数方程)在直角坐标平面内，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点A，B 的极坐标分别为(4， )，(2 ， )，曲线 C 的方程为 r(r0) 2 2 54(1) 求直线 AB 的直角坐标方程；(2) 若直线 AB 和曲线 C 有且只有一个公共点，求 r 的值C.(选修 45：不等式选讲)已知 aR，若关于 x 的方程 x2
9、4x|a1|a|0 有实根，求 a 的取值范围- 8 -【必做题】 第 22，23 题，每小题 10 分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 现有一款智能学习 APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响已知该 APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积 1 分，每日上限积 5 分；观看视频累计 3 分钟积 2 分，每日上限积 6 分经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表 1所示，视频学习积分的概率分布表如表 2 所示表 1文章学习积分 1 2 3 4 5概率 19 19 19 16 12表 2视频学习积分 2 4 6概率 16 13 12
10、(1) 现随机抽取 1 人了解学习情况，求其每日学习积分不低于 9 分的概率；(2) 现随机抽取 3 人了解学习情况，设积分不低于 9 分的人数为 ，求 的概率分布及数学期望(1) 求 2P2Q 2的值；(2) 化简 nPnQ n.- 9 -2019 届高三模拟考试试卷(南通、泰州、徐州等苏北七市联考)数学参考答案及评分标准1. 1，2 2. 3 3. 1 4. 5. 6. (2，0)(2，) 7. 14 8. 145 122 9. 10. 73 15811. 12. 13. 14. 43 6 13 26215. 解：(1) 在ABC 中， 因为 a(sin Asin B)(cb)(sin B
11、sin C)，由正弦定理 ，asin A bsin B csin C所以 a(ab)(bc)(cb)，(3 分)即 a2b 2c 2ab.由余弦定理 c2a 2b 22abcos C，得 cos C .(5 分)12因为 00，所以 sin B .(14 分)392616. 证明：(1) 在PBC 中，因为 BPBC，点 E 是 PC 的中点，所以 BEPC.(2 分)因为平面 BPC平面 DPC，平面 BPC平面 DPCPC，BE?平面 BPC，所以 BE平面 PCD.(5 分)因为 CD 平面 DPC，所以 BECD.(7 分)- 10 -(2) 如图，取 PB 的中点 H，连结 EH，A
12、H.在PBC 中，因为点 E 是 PC 的中点，所以 HEBC，HE BC.(9 分)12又底面 ABCD 是平行四边形，点 F 是 AD 的中点，所以 AFBC，AF BC.12所以 HEAF，HEAF，所以四边形 AFEH 是平行四边形，所以 EFHA.(12 分)因为 EF 平面 PAB，HA 平面 PAB，所以 EF平面 PAB.(14 分)17. 解：(1) 因为椭圆 C 的上顶点为 A(0， )，所以 b .3 3又圆 O：x 2y 2 a2经过点 M(0，1)，所以 a2.(2 分)14所以椭圆 C 的方程为 1.(4 分)x24 y23(2) 若直线 l1的斜率为 0，则 PQ
13、 ，MN2，463所以PQN 的面积为 ，不合题意，所以直线 l1的斜率不为 0.(5 分)463设直线 l1的方程为 ykx1，由 消 y，得(3 4k2)x28kx80.x24 y23 1，y kx 1 )设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则 x1 ，x 2 ， 4k 262k2 13 4k2 4k 262k2 13 4k2所以 PQ .(8 分)（ x1 x2） 2 （ y1 y2） 2 1 k2|x1 x2|461 k22k2 13 4k2由题可知，直线 l2的方程为 y x1，即 xkyk0，1k- 11 -所以 MN2 .(11 分)1 k21 k2 21 k2所以PQ
14、N 的面积 S PQMN 3，12 12 461 k22k2 13 4k2 21 k2解得 k ，即直线 l1的斜率为 .(14 分)12 1218. 解：(1) (解法 1)建立如图所示的直角坐标系，则 B(2，0)，D(0， )，32直线 BD 的方程为 3x4y60.(2 分)设 F(0，b)(b0)，因为点 F 到 AB 与 BD 的距离相等，所以 b ，解得 b 或 b6(舍去)(4 分)|4b 6|5 23所以ABF 的面积为 2 m2，12 23 23所以四边形 ABAF 的面积为 m2.43答：风筝面 ABAF 的面积为 m2.(6 分)43(解法 2)设ABF，则ABA2.在
15、直角三角形 ABD 中，tan 2 ，(2 分)ADAB 34所以 ，解得 tan 或 tan 3(舍去)2tan 1 tan2 34 13所以 AFABtan .(4 分)23所以ABF 的面积为 2 m2，所以四边形 ABAF 的面积为 m2.12 23 23 43答：风筝面 ABAF 的面积为 m2.(6 分)43- 12 -(2) (解法 1)建立如图所示的直角坐标系设 AEa，AFb，A(x 0，y 0)，则直线 EF 的方程为 bxayab0.因为点 A，A关于直线 EF 对称，所以y0x0 ab，bx02 ay02 ab 0， )解得 y0 .(10 分)2a2ba2 b2因为四
16、边形 AEAF 的面积为 ，所以 ab ，所以 y0 .3 323a3a4 3 23a 3a3因为 0ln(n1) an1 ，12 12即证 (ana n1 )ln ，即证 2ln .12 n 1n 1n 1n 1 n 1n设 t ，则 t1 t ，且 t1，n 1n 1n 1n 1 t 1t 1t从而只需证：当 t1 时，t 2ln t(12 分)1t设 f(x)x 2ln x(x1)，则 f(x)1 ( 1) 20，1x 1x2 2x 1x所以 f(x)在(1，)上单调递增，所以 f(x)f(1)0，即 x 2ln x.1x因为 t1，所以 t 2ln t，所以原不等式得证(16 分)1t
17、20. 解：(1) f(x)的定义域为(0，e 1 )(e 1 ，)由 f(x) ，(2 分)2ax（ 1 ln x） ax21x（ 1 ln x） 22ax（ 12 ln x）（ 1 ln x） 2令 f(x)0，因为 a0，得 xe .12因为 e e1 ，所以 f(x)的单调增区间是(e ，)(4 分)12 12(2) 当 a0 时，令 f(x)0，则 .(8 分)ba beb设 g(b) (b0)，则 g(b) .beb 1 beb当 00；当 b1 时，g(b)0 时，f(x)无极大值当 a0；当 x(e 1 ，)，F(x)e x ，ex（ 1 2ln x）（ 1 ln x） 2由(
18、2)知 exe x，又 12ln x(1ln x) 2，所以 F(x)0，且 F(x)不恒为零，所以 F(x)在(e 1 ，)上单调递增不等式 f(x)e x0)，其直角坐标方程为 x2y 2r 2.又直线 AB 和曲线 C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切，所以圆心到直线 AB 的距离为 ，即 r 的值为 .(10 分)432 12 2105 2105C. 解：因为关于 x 的方程 x24x|a1|a|0 有实根，所以 164(|a1|a|)0，即|a1|a|4.(4 分)当 a1 时，2a14，得 1a ；52当 0a1 时，14，恒成立，即 0a1；当 a0 时，12a4，得 a0.3
19、2综上，所求 a 的取值范围是 a .(10 分)32 5222. 解：(1) 由题意，获得的积分不低于 9 分的情形有文章 3 4 5 5视频 6 6 4 6因为两类学习互不影响，所以概率 P ，19 12 16 12 12 13 12 12 59- 17 -所以每日学习积分不低于 9 分的概率为 .(4 分)59(2) 随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，3.由(1)知每个人积分不低于 9 分的概率为 ，则59P(0)( )3 ；P(1)C ( )( )2 ；49 64729 1359 49 240729P(2)C ( )2( ) ；P(3)( )3 .2359 49 300729 59 125729所以随机变量 的概率分布列为 0 1 2 3P 64729 240729 300729 125729(8 分)所以 E()0 1 2 3 .64729 240729 300729 125729 53所以随机变量 的数学期望为 .(10 分)53
