1、1第四讲 大题考法三角函数题型(一)结合三角函数定义进行化简求值 主要考查以三角函数定义为背景的三角函数的化简和求值问题.典例感悟例 1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴正半轴为始边作锐角 ，其终边与单位圆交于点 A.以 OA 为始边作锐角 ，其终边与单位圆交于点 B， AB .255(1)求 cos 的值；(2)若点 A 的横坐标为 ，求点 B 的坐标513解 (1)在 AOB 中，cos AOB ，即 cos OA2 OB2 AB22OAOB 12 12 (255)2211 35.35(2)因为 cos ， ，35 (0， 2)所以 sin .1 (35)2 45因为点 A
2、的横坐标为 ，513由三角函数定义可得 cos ，513因为 为锐角，所以 sin .1 (513)2 1213所以 cos( )cos cos sin sin ，sin( )sin cos cos sin 513 35 1213 45 3365 1213 35 513 45.5665所以点 B .(3365， 5665)方法技巧结合三角函数定义化简求值问题的解题策略2(1)利用三角函数的定义求一个角的三角函数值需明确三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x，纵坐标 y，该点到原点的距离 r.(2)当求角 的终边上点的坐标时，要根据角的范围，结合三角公式进行求解(3)同角三角函数间的
3、关系应注意正确选择公式，注意公式应用的条件演练冲关如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为顶点， x 轴正半轴为始边作两个锐角 ， ，它们的终边分别与单位圆相交于 A， B 两点，已知A， B 的横坐标分别为 ， .210 255(1)求 tan 的值；(194 )(2)求 2 的值解：(1)由条件得 cos ，cos ， 、 为锐角，210 255故 sin 0 且 sin .7210同理可得 sin ，55tan 7，tan .12tan( ) 3.tan tan 1 tan tan 7 121 712tan tan(194 ) ( 34) .tan tan341 tan tan34
4、 12(2)tan( 2 )tan( ) 1， 3 121 3 1200， 0， 0，)的图象如图所示(1)求 f(x)的解析式；(2)求函数 g(x) f(x) f(x2)在 x1,3上的最大值和最3小值解：(1)由图可得 A3， f(x)的周期为 8，则 8，即 .2 4f(1) f(3)0，则 f(1)3，所以 sin 1，( 4 )即 2 k， kZ.又 0，)，故 . 4 2 4综上所述， f(x)的解析式为 f(x)3sin .( 4x 4)(2)g(x) f(x) f(x2)33sin 3 sin( 4x 4) 3 4 x 2 43sin 3 cos( 4x 4) 3 ( 4x
5、4)6 12sin( 4x 4) 32cos( 4x 4)136sin .( 4x 712)当 x1,3时， x . 4 712 3， 43故当 x ，即 x 时，sin 取得最大值 1，则 g(x)的最大值为 4 712 2 13 ( 4x 712)g 6；(13)当 x ，即 x3 时，sin 取得最小值 ，则 g(x)的最小值为 4 712 43 ( 4x 712) 32g(3)6 3 .(32) 34.如图所示，角 的始边 OA 落在 x 轴的非负半轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点 A， C， ， AOB 为正三角形(0， 2)(1)若点 C 的坐标为 ，求 cos BOC；(35
6、， 45)(2)记 f( ) BC2，求函数 f( )的解析式和值域解：(1)因为点 C 的坐标为 ，(35， 45)根据三角函数的定义，得 sin COA ，cos COA .45 35因为 AOB 为正三角形，所以 AOB . 3所以 cos BOCcos ( COA 3)cos COAcos sin COAsin 3 3 .35 12 45 32 3 4310(2)因为 AOC ，(0 2)所以 BOC . 3在 BOC 中， OB OC1，由余弦定理，可得 f( ) BC2 OC2 OB22 OCOBcos BOC1 21 2211cos 22cos .( 3) ( 3)因为 0 ， 214所以 . 3 356所以 cos .32 ( 3)12所以 122cos 2 .( 3) 3所以函数 f( )的值域为(1,2 )315
