1、- 1 -江门市 2018 年普通高中高三调研测试数学（理科）第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别求得集合 A 和 B，取交集即可得到答案【详解】依题意，A=x|-3x1， B=x|x 0，所以 AB= ，故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算.2. 是虚数单位， 是实数集， ，若 ，则 （ ）A. B. C. 2 D. -2【答案】B【解析】【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，结合已知条件列出方程，求解即可得答案【详解
2、】 = ，即 a= ,故选：B【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念.3.已知 ； ，则 是 的（ ）- 2 -A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】试题分析：由已知得条件 ，条件 ，显然充分性不成立，如当 ， 不成立；又由 ，所以必要性成立.故选 B.考点：1.命题的充分条件、必要条件；2.二次不等式.4. 是自然对数的底数，若 ， ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用指数和对数函数的单调性即可得到 a,b,c 的大小关系.【详解】对数函数 y=lnx 在 上单调递增，a
3、=lnxln1=0,指数函数 在 上单调递减，指数函数 在 上单调递增，由幂函数的性质可知即 abc,故选：C.【点睛】本题考查指数函数和对数函数性质的应用.5.若 ， ， ，则向量 与 的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知条件可得 ，再由两个向量夹角的余弦公式，即可求出 夹角的余弦，进而得解【详解】由已知- 3 -，解得 ，则两个向量夹角的余弦值 ，所以两向量夹角为 .故选：C.【点睛】本题考查了平面向量的运算和利用平面向量的数量积求向量的夹角.6.若抛物线 的焦点是双曲线 的右焦点，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】【
4、分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标即可得到 p 值，由离心率公式即可得到答案.【详解】抛物线的焦点为 ,双曲线的右焦点为 ,由题意得 ，解得 ，即 c= ,a= ,故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查离心率的求法.7.已知点 在直线 上运动，则 有（ ）A. 最大值 16 B. 最大值 C. 最小值 16 D. 最小值【答案】D【解析】【分析】由点（a，b）在直线上动，可得 a+2b=-3，然后利用基本不等式求 2a+4b的最值- 4 -【详解】因为点（a，b）在直线 x+2y=-3 上，所以 a+2b=-3所以 2a+4b2 =2 ,所以 2a+4b有最小值 .故选:D【点睛
5、】本题主要考查基本不等式的应用，以及指数幂的基本运算8.已知两条直线 ，两个平面 ，给出下面四个命题： ， ， ， ， ，或 ， 其中，正确命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】利用线面平行,垂直和面面平行垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择【详解】mn，mn 或 n，故不正确；由一直线垂直于两个平行平面中的一个，则也垂直于另一个，得 m，由两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，得 故正确； ， ，或 分析图形可知正确；当 ，m 时，有 m 或 m 或 m 与 相交或 m 故不正确综上可知：只有正确故选：B【点睛】本题
6、利用命题真假的判断，考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系与应用问题.9.正项等比数列 的前 项和 ，若 ， ，则下列结论正确的是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A- 5 -【解析】【分析】根据题意先求出 q，求出通项公式，再分别判断即可【详解】设公比为 q，a 1=1， ，q 6+q6=128，解得 q=2，a n=2n-1，a n+1=2n，a n+2=2n+1，选项 A,S n=2n-1，若 ，2 n-1 2n，恒成立，故正确，选项 B,a n+3=2n+2，若 ，2 n-1+2n+2=2n+2n+1，即 1+8=2+4,显然不成立，故不正确，选项 C，若 ，2 2n
7、-12 n+1，2n-1n+1，解得 n2，故不正确，选项 D,若 ，2 n-1+2n+1=22n，则 1+4=22，显然不成立，故不正确，故选：A【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和等比数列的前 n 项和公式的应用.10.已知函数 的最小正周期为 ，且其图像向左平移 个单位后得到函数 的图像，则函数 的图像（ ）A. 关于直线 对称 B. 关于直线 对称C. 关于点 对称 D. 关于点 对称【答案】C【解析】试题分析：依题意 ，平移后为 ，关于 对称.考点：三角函数图象与性质.11.如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度为（
8、 ）- 6 -A. 4 B. 3 C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥 O-ABCD，计算各个棱长求解即可【详解】根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥 O-ABCD，正方体的棱长为2，A，D 为棱的中点，观察图形可知最长棱为 OA,在 中，OA= 故选：B【点睛】本题综合考查了空间几何体的性质，学生的空间思维能力，构造思想，关键是镶嵌在常见的几何体中解决12.设 ，函数 （ 是自然对数的底数） ，若存在 使得 ，则（ ）A. B. C. D. 1- 7 -【答案】C【解析】【分析】已知函数表示两点 P（x，e x） ，Q（m，m）之
9、间的距离的平方分别令 f（x）=e x，g（x）=x利用导数研究切线方程的斜率，再利用点到直线的距离公式即可得出【详解】函数 ，表示两点 P（x，e x） ，Q（m，m）之间的距离的平方，令 f（x）=e x，g（x）=x f（x）=e x，令 =1，解得 x0=0，可得 P（0，1）,则点P（0，1）到直线 y=x 的距离 d= ，d 2= ，因此存在 x0=0 使得 f（x 0） 成立，过点 P 且与y=x 垂直的直线为 y=1-x,联立 y=1-x 和 y=x，解得 x= ,即 m= .故选：C【点睛】本题考查了导数的几何意义、切线的斜率、点到直线的距离公式、相互垂直的直线斜率之间的关系
10、，考查了推理能力与计算能力.第卷二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.直线 被曲线 所截得的弦长等于 _【答案】4【解析】【分析】求出圆心到直线 l 的距离，再利用弦长公式进行求解即可【详解】化圆 （x-1） 2+（y-3） 2=9，圆心（1，3） ，半径 r=3，圆心到直线 l：2 x+y=0 的距离 d= ，直线 2x+y=0 被圆（x-1） 2+（y-3） 2=9 截得的弦长= 故答案为：4【点睛】本题考查了直线被圆截得的弦长公式 ，主要用到了点到直线的距离公式- 8 -14.已知实数 满足约束条件 ，若目标函数 仅在点 取得最小值，则的取值范围是_【答案】
11、【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图所示，若 ，则目标函数 ，即为此时函数在 时取得最大值，不满足条件，当 ，由 ，得 ，若 ，目标函数斜率 ，此时平移 ，得 在点 处的截距最大，此时 取得最大值，不满足条件，若 ，目标函数斜率 ，要使得目标函数 仅在点 处取得最小值，则 ，即 ，所以实数 的取值范围是 .点睛：本题主要考查简单线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距
12、离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题.15.球 是正方体 的外接球，若正方体 的表面积为 ，球- 9 -的表面积为 ，则 _【答案】【解析】【分析】分别计算正方体与外接球的表面积计算比值即可.【详解】设正方体的棱长为 a,其外接球的直径为正方体的体对角线 ，即半径 ，则外接球的表面积 ，正方体的表面积 6 ，则 .故答案为： .【点睛】本题考查正方体的与球的组合体，其中正方体的外接球的直径为正方体的体对角线，内切球的直径为正方体的棱长，与正方体各侧棱相切的球的直径为正方体的面对角线.16.已知函数 ，
13、若 _【答案】【解析】【分析】根据积分的几何意义以及分段函数的积分公式进行求解即可.【详解】由已知得 .【点睛】本题主要考查了定积分的计算和定积分的几何意义.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 的内角 的对边分别为 ， .（1）求 ；（2）若 ，求 .【答案】 （1） （2） 或 .- 10 -【解析】【分析】（1）法一：利用余弦定理直接化简即可；法二：已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出 cosA 的值，即可确定 A；（2）利用余弦定理即可解得 c 的值.【详解】 （1）由余弦定理 ， ，
14、得 ， .（方法二）由正弦定理 ， ， ，得，所以 ， ， .（2）由余弦定理 ，得即解得： 或 .【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用.18.已知数列 的前 项和 ， ， .（1）求 ；（2）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法给予证明.【答案】 （1） ， ， （2）【解析】【分析】(1)由通项和前 n 项和的递推关系式计算即可;(2)由（1）的数值猜想通项，然后利用数学归- 11 -纳法进行证明即可.【详解】 （1）分别取 得， ， ，解得 ， ， .（2）猜想时，由（1）知， ，猜想成立，假设 时，则所以因为 ，所以所以， 时 成立，综上所述，任意 ， .【点睛】本题考查数列的综合
15、应用，数学归纳法的应用.19.如图，三棱柱 中，侧面 是菱形， .（1）证明： ；（2）若 ， ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）见解析（2）【解析】- 12 -【分析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，可证 平面 ，得 B1CAO，B 10=CO，进而可得 AC=AB1；（2）先根据已知条件证明 平面 以 为原点， 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 ，求得平面 的一个法向量，然后利用向量公式即可求得结果【详解】 （1）连接 交 于点 ，连接 ，四边形 是菱形， 且 为 中点， ， ， 平面 ，平面 ， ，为 中点， 为 的垂直平分线， .（2）不妨设 ，则 ， ， ， ，
16、 ，又 ， ， 平面（方法一）以 为原点， 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ，设平面 的一个法向量为 ，则，设 ，直线 与平面 所成角的正弦值，即直线 与平面 所成角的正弦值为（方法二）设点 到平面 的距离为 ，- 13 -三棱锥 的体积三棱锥 的体积解 ，得直线 与平面 所成角的正弦值，即直线 与平面 所成角的正弦值为.【点睛】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键.20.在平面直角坐标系 中， ， ， 为不在 轴上的动点，直线 、 的斜率满足 .（1）求动点 的轨迹 的方程；（2）若 ， 是轨迹 上两点， ，求 面积的最大值.【答案】 （1） （2
17、）【解析】【分析】（1）设 ，将 利用斜率公式进行化简整理即可得点 P 轨迹方程；（2）由斜率为 1，设直线 MN 的方程与椭圆联立，写出韦达定理，计算弦长|MN|和点 T 到直线 MN 的距离，表示出三角形的面积，利用导数即可求出面积最大值.【详解】 （1）设 为轨迹 上任意一点，依题意， ，整理化简得：（2）设由 ，得 ，- 14 -设 ，则 ， ，到直线 的距离的面积设 ，解 ，得 或 或因为 ，即 有且仅有一个解 ，面积的最大值 .【点睛】本题考查动点轨迹方程的求法，同时考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长关系、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、以及利用
18、导数求函数最值的运用.21.已知函数 ， 是常数且 .（1）若曲线 在 处的切线经过点 ，求 的值；（2）若 （ 是自然对数的底数） ，试证明：函数 有两个零点，函数 的两个零点 满足 .【答案】 （1） （2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据切线的斜率求出 a 的值即可；（2）对函数 f(x)求导，根据函数单调性得到函数的最大值且最大值大于 0，可知函数 有两个零点，根据零点存在性定理可知两个零点 ，因为 ，即 ，所以问题转化为只要证明 x1 -x2即可【详解】 （1）切线的斜率，- 15 -解 ，得（2）解 ，得当 时， ；当 时， ，所以 在 处取得最大值，因为 ，所以
19、， 在区间 有零点，因为 在区间 单调递增，所以 在区间 有唯一零点.由幂函数与对数函数单调性比较及 的单调性知， 在区间 有唯一零点，从而函数有两个零点.不妨设 ，作函数 ， ，则 ，所以 ，即 ，又 ，所以因为 ，所以 ，因为 在区间 单调递减，所以 ，又 ， ，所以【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，综合性较强.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标
20、系，曲线 的极坐标方程为 .（1）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）证明：直线 与曲线 相交于 两点，并求点 到 两点的距离之积.- 16 -【答案】 （1） （2）1【解析】【分析】（1）消去参数 t 即可得到直线 l 的普通方程，将 两边同时乘以 后代入公式， ，整理即可得到答案；（2）把直线的参数方程代入曲线 C 的方程，化为关于 t 的一元二次方程后利用参数 t 的几何意义可得结论【详解】 （1）由 消去参数得直线 的普通方程为由 ，得 ，曲线 的直角坐标方程为（2）方法一：将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，得即，方程有两个不同的根，即直线与曲线相交于两点由参
21、数 的几何意义得（方法二）由解得： ， ，【点睛】本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义.选修 4-5：不等式选讲23.已知函数 ， 是常数，且 .（1）求不等式 的解集；（2）若 时恒有 ，求 的取值范围.【答案】(1) (2) ，或【解析】试题分析：- 17 -本题考查绝对值不等式的解法和分类讨论方法.（1）将绝对值不等式化为不等式组求解.（2）去掉绝对值，将问题化为函数的问题处理，根据单调性求得函数的最小值，根据最小值大于等于 0 可得解.试题解析：(1)因为 ，所以 或 ，解得 或 ，所以原不等式的解集是为 .(2)因为 为增函数，当 时，得 ，解得 ，当 时，得 ，解得 ，综上可得 的取值范围为 或 .
