1、1考点规范练 30 等比数列及其前 n项和一、基础巩固1.已知等比数列 an满足 a1= ,a3a5=4(a4-1),则 a2=( )14A.2 B.1 C. D.12 18答案 C解析 a 3a5=4(a4-1), =4(a4-1),解得 a4=2.a24又 a4=a1q3,且 a1= ,q= 2.a 2=a1q= .14 122.在正项等比数列 an中, a2,a48是方程 2x2-7x+6=0的两个根,则 a1a2a25a48a49的值为( )A. B.9 C.9 D.35212 3 3答案 B解析 a 2,a48是方程 2x2-7x+6=0的两个根,a 2a48=3.又 a1a49=a
2、2a48= =3,a250,a225a 1a2a25a48a49= =9 .故选 B.a525 33.(2018北京,文 5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献 .十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音122的频率为 f,则第八个单音的频率为( )A. f B. f C. f D. f32 322 1225 1227答案 D解析 由题意知,这十三个单音的频率构成首项为 f,公比为 的等比数列,则第八个单音的频率为(122)7f=
3、 f.122 12274.已知 an为等比数列, a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=( )2A.7 B.5 C.-5 D.-7答案 D解析 an为等比数列, a 5a6=a4a7=-8.联立 可解得a4+a7=2,a4a7= -8, a4=4,a7= -2或 a4= -2,a7=4, 当 时, q3=- ,a4=4,a7= -2 12故 a1+a10= +a7q3=-7;a4q3当 时, q3=-2,a4= -2,a7=4 故 a1+a10= +a7q3=-7.a4q3综上可知, a1+a10=-7.5.等差数列 an的公差为 2,若 a2,a4,a8成等比数列,则 an的前
4、n项和 Sn=( )A.n(n+1) B.n(n-1) C. D.n(n+1)2 n(n-1)2答案 A解析 a 2,a4,a8成等比数列, =a2a8,即( a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得 a1=2.a24S n=na1+ d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).n(n-1)2故选 A.6.设数列 an是首项为 a1,公差为 -1的等差数列, Sn为其前 n项和 .若 S1,S2,S4成等比数列,则 a1的值为 . 答案 -12解析 由已知得 S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+ (-1)=4a1-6.432S 1,S2,S4成等比数列, (2a1-1
5、)2=a1(4a1-6),整理,得 2a1+1=0,解得 a1=- .1237.设数列 an的前 n项和为 Sn,若 S2=4,an+1=2Sn+1,nN *,则 a1= ,S5= . 答案 1 121解析 由题意,可得 a1+a2=4,a2=2a1+1,所以 a1=1,a2=3.再由 an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n2),得 an+1-an=2an,即 an+1=3an(n2) .又因为 a2=3a1,所以数列 an是以 1为首项,3 为公比的等比数列 .所以 S5= =121.1-351-38.(2018辽宁部分重点高中联考)已知数列 an是等差数列, a2,a4,a8成等比
6、数列,则该等比数列的公比为 . 答案 1或 2解析 设 an的公差为 d.a 2,a4,a8成等比数列, =a2a8,a24 (a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),即 d2=a1d,d= 0或 d=a1.当 d=0时, a2=a4,公比为 1;当 d=a1时, a2=2d,a4=4d,公比为 2.故等比数列的公比为 1或 2.9.(2018全国 ,文 17)已知数列 an满足 a1=1,nan+1=2(n+1)an.设 bn= .ann(1)求 b1,b2,b3;(2)判断数列 bn是否为等比数列,并说明理由;(3)求 an的通项公式 .解 (1)由条件可得 an+1= an.2(n+
7、1)n将 n=1代入得, a2=4a1,而 a1=1,所以 a2=4.4将 n=2代入得, a3=3a2,所以 a3=12.从而 b1=1,b2=2,b3=4.(2)bn是首项为 1,公比为 2的等比数列 .由条件可得 ,即 bn+1=2bn,又 b1=1,an+1n+1=2ann所以 bn是首项为 1,公比为 2的等比数列 .(3)由(2)可得 =2n-1,所以 an=n2n-1.ann10.已知 an是公差为 3的等差数列,数列 bn满足 b1=1,b2= ,anbn+1+bn+1=nbn.13(1)求 an的通项公式;(2)求 bn的前 n项和 .解 (1)由已知, a1b2+b2=b1
8、,b1=1,b2= ,得 a1=2.13所以数列 an是首项为 2,公差为 3的等差数列,通项公式为 an=3n-1.(2)由(1)和 anbn+1+bn+1=nbn得 bn+1= ,bn3因此 bn是首项为 1,公比为 的等比数列 .13记 bn的前 n项和为 Sn,则 Sn= .1-(13)n1-13 =32- 123n-111.已知等差数列 an的前 n项和为 Sn,且 S4=4(a3+1),3a3=5a4,数列 bn是等比数列,且b1b2=b3,2b1=a5.(1)求数列 an,bn的通项公式;(2)求数列 |an|的前 n项和 Tn.解 (1)设等差数列 an的公差为 d.S 4=4
9、(a3+1),3a3=5a4, 4a1+6d=4(a1+2d+1),3a1+6d=5a1+15d, 5解得 a n=11-2n.a1=9,d= -2.设数列 bn的公比为 q.b 1b2=b3,2b1=a5, 解得b21q=b1q2,2b1=1, b1=12,q=12.b n= .(12)n(2)由(1)知, Sn=10n-n2.由 an=11-2n0 可知 n5 .5,即 a10,a20,a50,a60,q0)的两个不同的零点,且 a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q的值等于( )A.6 B.7 C.8 D.9答案 D解析 a ,b是函数 f(x)
10、=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点, a+b=p ,ab=q.p 0,q0,a 0,b0.又 a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列, 或 .2b=a-2,ab=4 2a=b-2,ab=4 解 得 解 得a=4,b=1; a=1,b=4.p=a+b= 5,q=14=4.p+q= 9.故选 D.13.6(2018北京石景山一模)如图,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形的腰上再连接正方形,如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股树” .若某“勾股树”含有 1 023个正方形,且其最大的正方形的边长为 ,则其最小的正方形的边长为 . 22答案132
11、解析 由题意,得各正方形的边长构成以 为首项, 为公比的等比数列 .已知共得到 1023个正方形,22 22则 1+2+2n-1=1023,解得 n=10,故最小的正方形的边长为 .22(22)9=13214.设等比数列 an满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2an的最大值为 . 答案 64解析 设 an的公比为 q.由已知 a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,两式相除得 ,解得 q= ,a1=8,a1+a3q(a1+a3)=105 12所以 a1a2an=8n ,抛物线 f(n)=- n2+ n的对称轴为 n=-(12)1+2+(n-1)=2-12n2+7n2
12、12 72=3.5,722(-12)又 nN *,所以当 n=3或 n=4时, a1a2an取最大值为 =26=64.2-1232+73215.(2018广东东莞二模)已知等比数列 an与等差数列 bn,a1=b1=1,a1 a2,a1,a2,b3成等差数列,b1,a2,b4成等比数列 .(1)求 an,bn的通项公式;(2)设 Sn,Tn分别是数列 an,bn的前 n项和,若 Sn+Tn100,求 n的最小值 .解 (1)设数列 an的公比为 q,数列 bn的公差为 d,则 解得 (舍)或2q=2+2d,q2=1+3d, d=0,q=1 d=1,q=2,故 an=2n-1,bn=n.7(2)
13、由(1)易知 Sn= =2n-1,Tn= .1-2n1-2 n(n+1)2由 Sn+Tn100,得 2n+ 101.n(n+1)2 是单调递增数列,2n+n(n+1)2 且 26+ =85101,672 782n 的最小值为 7.三、高考预测16.已知数列 an满足 a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n2) .(1)求证: an+1+2an是等比数列;(2)求数列 an的通项公式 .(1)证明 a n+1=an+6an-1(n2),a n+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n2) .又 a1=5,a2=5,a 2+2a1=15,a n+2an-10( n2), =3(n2),an+1+2anan+2an-1 数列 an+1+2an是以 15为首项,3 为公比的等比数列 .(2)解 由(1)得 an+1+2an=153n-1=53n,则 an+1=-2an+53n,a n+1-3n+1=-2(an-3n).又 a1-3=2,a n-3n0, an-3n是以 2为首项, -2为公比的等比数列 .a n-3n=2(-2)n-1,即 an=2(-2)n-1+3n=3n-(-2)n.8
