1、1考点规范练 27 数系的扩充与复数的引入一、基础巩固1.设 i 为虚数单位,则复数(1 +i)2=( )A.0 B.2 C.2i D.2+2i答案 C解析 由题意,(1 +i)2=1+2i+i2=2i,故选 C.2.已知复数 z=2-i,则 z 的值为( )zA.5 B. C.3 D.5 3答案 A解析 z =(2-i)(2+i)=22-i2=4-(-1)=5,故选 A.z3.若复数 z 满足 2z+ =3-2i,其中 i 为虚数单位,则 z=( )zA.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i答案 B解析 设 z=a+bi(a,bR),则 2z+ =3a+bi=3-2i,故
2、a=1,b=-2,则 z=1-2i,选 B.z4.若复数 z=1+i, 为 z 的共轭复数,则下列结论正确的是( )zA. =-1-i B. =-1+i C.| |=2 D.| |=z z z z 2答案 D解析 =1-i,| |= ,选 D.z z 1+1= 25.若 a 为实数,且 =3+i,则 a=( )2+ai1+iA.-4 B.-3 C.3 D.4答案 D解析 由题意,得 2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,所以 a=4.6.设复数 z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称, z1=1+i,则 z1z2=( )A.2 B.-2 C.1+i D.1-i2答案 A解析 由题意可知
3、z2=1-i,故 z1z2=(1+i)(1-i)=2.故选 A.7.设 z=1+i,则 +z2等于( )2zA.1+i B.-1+i C.-i D.-1-i答案 A解析 +z2= +(1+i)2= +2i= +2i=1-i+2i=1+i.2z 21+i 2(1-i)(1+i)(1-i) 2(1-i)28.(2018 河北唐山二模)若复数 z= (i 是虚数单位, aR)是纯虚数,则 z 的虚部为( )1+ia-iA.1 B.i C.2 D.2i答案 A解析 z= .1+ia-i=(1+i)(a+i)(a-i)(a+i)=a-1+(a+1)ia2+1因为 z 是纯虚数,所以 解得 a=1,所以
4、z 的虚部为 =1,故选 A.a-1=0,a+1 0, 1+112+19.已知复数 z1=2+2i,z2=1-3i(i 为虚数单位),则复数 所对应的点在复平面内的( )z21z2A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 B解析 z 1=2+2i,z2=1-3i,z21z2=(2+2i)21-3i= 8i1-3i= 8i(1+3i)(1-3i)(1+3i)= =- i.-24+8i10 125+45 复数 在复平面内所对应的点的坐标为 ,位于第二象限 .故选 B.z21z2 (-125,45)10.若复数( a+i)2在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,则实数 a 的值是
5、. 答案 -1解析 (a+i)2=a2-1+2ai,由题意知 a2-1=0,且 2a0,即 a=-1.311.(2018 北京丰台一模)如图,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为 1,点 A,B 对应的复数分别是 z1,z2,则 = . z2z1答案 -1-2i解析 由题意,得 z1=i,z2=2-i,所以 =-1-2i.z2z1=2-ii =(2-i)(-i)i(-i)12.设复数 z=-1-i(i 为虚数单位), z 的共轭复数为 ,则 |(1-z) |= . z z答案 10解析 依题意得(1 -z) =(2+i)(-1+i)=-3+i,z则 |(1-z) |=|-3+i|= .z
6、 (-3)2+12= 10二、能力提升13.若 z=4+3i,则 =( )z|z|A.1 B.-1 C. i D. i45+35 45-35答案 D解析 因为 z=4+3i,所以 |z|=|4+3i|= =5,共轭复数为 =4-3i.故 i,选 D.42+32 zz|z|=45-3514.设复数 z1=-1+3i,z2=1+i,则 =( )z1+z2z1-z2A.-1-i B.1+i C.1-i D.-1+i答案 C解析 z 1=-1+3i,z2=1+i,z1+z2z1-z2= -1+3i+1+i-1+3i-1-i= 4i-2+2i= 2i-1+i4= =1-i.故选 C.2i(-1-i)(-
7、1+i)(-1-i)=2i(-1-i)215.已知 a,bR,( a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位),则 a2+b2= ,ab= . 答案 5 2解析 由题意可得 a2-b2+2abi=3+4i,则 解得a2-b2=3,ab=2, a2=4,b2=1,则 a2+b2=5,ab=2.16.若复数 z1,z2满足 z1=m+(4-m2)i,z2=2cos + (+ 3sin )i(m, , R),且 z1=z2,则 的取值范围是 . 答案 -916,7解析 由复数相等的充要条件可得 m=2cos ,4-m2= +3sin ,化简,得 4-4cos2=+ 3sin ,由此可得 =- 4cos2
8、- 3sin+ 4=-4(1-sin2 )-3sin+ 4=4sin2- 3sin= 4 .(sin -38)2-916因为 sin -1,1,所以 4sin2- 3sin .-916,7所以 的取值范围为 .-916,717.在复平面内,复数 +z 对应的点的坐标为(2, -2),则 z 在复平面内对应的点位于第 2-3i1+2i象限 . 答案 四解析 设 z=x+yi,x,yR,则 +x+yi=2-2i,2-3i1+2i即 +x+yi=2-2i,(2-3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)i=2-2i,(-45+x)+(y-75)5所以 解得 即 z= i,x-45=2,y-75= -2, x=145,y= -35, 145-35其对应点为 ,在第四象限 .(145,-35)三、高考预测18.若 是 z 的共轭复数,且满足 (1-i)2=4+2i,则 z=( )z zA.-1+2i B.-1-2i C.1+2i D.1-2i答案 B解析 (1-i)2=4+2i, (-2i)=4+2i.z z =(2+i)i=-1+2i.z=- 1-2i.故选 B.z
