1、- 1 -蕉岭中学 20182019 学年度高三第一次质检考试数学（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。1已知集合 3|Uxy， 9|logAxy， |2xBy，则 =UAB（ ）A |0 B R C D 02.若纯虚数 z满足 (1)izai，则实数 等于（ ）A B 或 1 C 1 D 13已知公差不为 0 的等差数列 n满足 ， nS为数列 na的前 项和，则423a253S的值为（ ）A. B. C. 3 D. 2 34已知向量 a 与 b 的夹角是 ，且| a|1，| b|4，若(3 a b) a， 则实数 的值为( ) 3A. B C. D32 32
2、 23 235函数 ，若矩形 ABCD 的顶点 A、D 在 轴上，B、C 在函数210xfx x的图象上，且 ，则点 D 的坐标为（ ）yf,AA B C D2,0(12,0)(1,0)1(,0)26.在 中，“ ”是“ 为锐角三角形”的（ ）BCtanCA. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D.充要条件7如图，在长方体 中，点 是棱 上一点，则1DBAP三棱锥 的左视图可能为BAP1- 2 -A B C D8已知函数 ()2sin()0)fx，将 ()fx的图像向左平移 3个单位长度后所得的函数图像过点 0,1，则函数 cos(2gx （ ）A在区间(,)6
3、3上单调递减 B在区间(,)63上有最大值C在区间,上单调递增 D在区间,上有最小值9已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=f(1-x),且在1, +)上是增函数,不等式 f(ax+2) f(x-1)对任意 x ,1恒成立,则实数 a 的取值范围是（ ）A.-3,-1 B.-2,0 C.-5,-1 D.-2,110记不等式组 表示的区域为 ，点 的坐标为 有下面四个命题：4326 yxP,xy， ； ， ；1:pP0y2:p12xy， ； ， 其中的真命题是（ ）3:654:5A ， B ， C ， D ，12132p43p411过点 )(，P作抛物线 yx2的两条切线，切点分
4、别为 A，B，PA，PB 分别交 x 轴于E，F 两点，O 为坐标原点，则PEF 与OAB 的面积之比为( C )A 23B 43C 21D 4112设函数 )(xf在 R上存在导数 )(xf， R，有 2)(xff，在 ),0(上f)(，若 20mm，则实数 的取值范围为（ ）A 1, B 1,+） C 2,) D(,2)二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知已知 32)sin(，则 sin 91- 3 -14.若nx)3(的展开式中各项系数的和为 64,则该展开式中的常数项为 54015 九章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三
5、棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）在如图所示的堑堵 中， ，1CBA4,3,51BCA则阳马 的外接球的表面积是_。16已知椭圆与双曲线有公共焦点 F1、 F2 ， F1 为 左焦 点， F2 为 右焦 点， P 点 为它 们在 第一 象限 的一 个交 点 ， 且 F1PF2= ,设 分 别为 椭 圆 和 双曲 线离 心率 ， 则 4e的最 大值 为 。12e三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）已知数列 n
6、a的前 项和为 nS，且 2na.（1）求数列 的通项公式； （2）若 b，求数列 nb的前 项和 nT18（12 分）为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分） ，从甲、乙两个班级中分别随机抽取 5 名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图规定：成绩不低于 120 分时为优秀成绩(1)从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；(2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取 2 名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为 ，求 的分布列和数学期望 E。19（12 分）四棱锥 中，底面 是平行四边形，PABCDABM DPCAB- 4 -， ，点 为 的中点。2,60BCA
7、PABMA（）在棱 上作点 ，使得 平面DN PC（）若 ，且直线 与平面 所成的角是 ，求二面角C45的余弦值MPA20（12 分）如图,已知椭圆 E 的标准方程为 ,直线 AB 恰好交椭圆 E 于上顶21(0)xyabA(0,1),左顶点 B,平行于 AB 的直线:()2lm与椭圆 E 交于 C,D 两点.(1)求椭圆 E 的标准方程;(2)当梯形 ABCD 的面积 S 最大时,求 m 的值。21（12 分）已知函数 , ,且 在 处取得极小值xexf2)1(xkgln1)()(f0x（1）若曲线 在点（ ）处切线恰好经过点 ，求实数 的值；y )(,fPk（2）若函数 （ 表示 中最小值
8、）在 上函数恰)(,min)(xfxFqp,i ）（ ,有三个零点，求实数 的取值范围k（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，xOyx- 5 -的极坐标方程为 ， 的参数方程为 （ 为参数，l(cos2in)10C3cos2inxy）.R（1）写出 和 的普通方程；lC（2）在 上求点 ，使点 到 的距离最小，并求出最小值。Ml23.选修 4-5：不等式选讲已知 .()2fxax（1）在 时，解不等式 ；()1f（2）若关于
9、 的不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围。 x4xRa- 6 -蕉岭中学 20182019 学年度高三第一次质检考试数学（理科）参考答案一、选择题1A 2C 3D 4B 5B 6D 7D 8B 9B 10A 11C 12B二、填空题13 14-84 15 16. 22 50S三、解答题17（1） nnSa 112nnSa2 1 2- 得 112nnn，则 1， 3分 1 2在 式中，令 ，得 a. 数列 a是首项为 2，公比为 的等比数 1列， na.5分（2） b. 所以123nT.12nn， 3则 n231.1n2， 4- 得， 23n1.n， 3 41221n1nnnT.12分18解：
10、(1)设事件A表示“从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，其中只有一个优秀成绩” 1235pAC3分（2） 的所有可能取值为0，1，2，3 4分45890Cp，21234458105123245 12Cp8分 的分布列为0 1 2 3p9015- 7 -的数学期望为 91231605025E 12分19 （）点 为 中点NPD下证：取 中点 ， 中点 ，连结 ， ， ，CQANMQ在 中， 分别是所在边 ， 的中点，C, P则 且 因为点 为 中点，NQD1=2AB，AB所以 且 所以四边形 是平行四边形，所以 M AMQNANMQ又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 -4 分NPCPCA
11、PC（）在 中， ， ，B2B60设 ，则 ，由余弦定理有：Aaa，22cos603CACa则 ，由勾股定理的逆定理可得： -5 分B ACB又因为 ， ， 平面 ，所以 PB,PB平 面 PAB因为 ，所以 MA平 面 CM因为 ，点 为线段 的中点，所以 ，因此 两两垂A,MC直-6 分以 为原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标A,AB,xy系因为直线 与平面 的所成角是 ，PC45所以 ，所以 是等腰直角三角形，45ARtCAP所以 则 ， ， ， ，3Pa0,02aM1,02aP0,3CaNDQPM CABzyxQNPM DCAB- 8 -， 10,2aMP,302aC设平面
12、 的一个法向量为 ，-9 分1,xyzn则 即 得 ，同理可得，平面 的一个法向10,nC,230,zx123,0PAC量为 ， 则 由图可得所求二面角的平面2,112124cos,n角为锐角，所以二面角的余弦值为 4320.(1)由题意,点 A (0,1)在椭圆 E 上,故 b=1,又 l AB,且 l:y= x+m(m0,可得 - m1,且 x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2. -6 分|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=(-2m)2-4(2m2-2)=4(2-m2), 故 |CD|= |x1-x2|= ,而 |AB|= ,AB 与 CD 两平行线间的距离 d= ,-8
13、分故 S= (|AB|+|CD|)d=(1+ )(1-m)(- m1).令 m= cos ( ),则sin ,S=(1+ )(1-m)=(1+ sin )(1- cos )=1+ (sin - cos )-2sin cos .令 =sin - cos = sin(- )(0, ,则 2sin cos =1- 2,故 S=1+ - (1- 2)= 2+ ( (0, ),可知 S 在 (0, 上为单调递增函数,故当 = 时, Smax=4,由 = 可得 = ,此时 m= cos =-1.所以当梯形 ABCD 的面积 S 最大时, m=-1.-12分21. 解：（1）f（x）=（x 21）e x，令
14、 f（x）0，解得：x1 或 x1，- 9 -令 f（x）0，解得：1x1，故 f（x）在（，1）单调递增，在（1，1）单调递减，在（1，+）单调递增，f（x）在 x=1 处取极小值，f（1）=0，故 P（1，0），由g（x）=k ，故 g（e）=k ，且 g（e）=ke，则 y=g（x）在点（e，g（e）处切线 yke=（k ）（xe），由 P（1，0）在切线方程，代入切线方程解得：k= 1， 故实数 k 的值 1；-5 分（2）g（x）=1+kxlnx（x0），g（x）=k ，当 k0 时，g（x）0，则 g（x）在（0，+）上单调递减，故 g（x）无极值，-6 分当 k0 时，由 g（x
15、）=0，解得：x= ，当 x（0， ）时，g（x）0，当 x（ ，+）时，g（x）0，则 g（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+）单调递增，此时 g（x）存在极小值 g（ ）=2+lnk，无极大值，可知：k0 时，g（x）在（0，+）单调递减，g（x）在（0，+）上至多有一个零点，故 k0，不符合题意，-8 分k0 时，g（x）极小值=g（ ）=2+lnk，即为 g（x）的最小值，（i）当 g（ ）=0 时，则 k=e2 ，g（x）只有一个零点，不满足题意，（ii）当 ke 2 ，g（ ）0 时，g（x）在（0，+）上无零点，不满足题意；（iii）当 0ke 2 时，g（ ）0，又 g（1
16、）=1+k0，故 g（ ）g（1）0，g（x）在（1， ）上有一个零点，设为 x1，即 g（x 1）=0，由 e 2，取 x= ，则 g（ ）=1+k ，-10 分下面证明 g（ ）=1+k 0， 令 h（x）=xlnx 2，x2，h（x）=1 0，故 h（x）在（2，+）上单调递增，h（x）h（2）=2（1ln2）0，即 xlnx 2， e xx 2，令 x= ，则 ，- 10 -g（ ）=1+k 1+k =10， g（ ）g（ ）0，g（x）在（ ， ）上有一个零点，设为 x2，则 g（x 2）=0g（1）=k+1，f（x 1）0， f（x 2）0， 故 F（x）=minf（x），g（x）
17、中，有：F（1）=f（1）=0g（1）=1+k，F（x 1）=g（x 1）=0f（x 1），F（x 2）=g（x 2）=0f（x 2），即函数 F（x）有三个零点；综上，满足题意的 k 的取值范围是（0，e 2 ）-12 分22.解：（1）由 ： ，及 ， .lcosin10cosxsiny 的方程为 . 由 ， ，消去 得 .l210xy3cosx2iny2194xy（2）在 上取点 ，则C(3cos,in)M4si105d.015cs()1其中 ，当 时， 取最小值 . 03o4sin50d5此时 ， .09cs0082incos9(,)5M23.解：（1）在 时， . 在 时， ，a1xx2(2)1x；5x在 时， ， ， 无解；2(2)(3在 时， ， ， .1x)1xx13x综上可知：不等式 的解集为 .()f|53（2） 恒成立，而 ，24xa2(1)xaax或 ，(1)x故只需 恒成立，或 恒成立， 或 . 的取值为()x()4a或 . 1- 10 -
