1、- 1 -广东省普宁市第二中学等七校联合体 2019届高三数学冲刺模拟试题 理注意事项：1本试题满分 150分，考试时间为 120分钟2答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上3使用答题纸时，必须使用 0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰超出答题区书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求1.若集合 ，则 （ ）|28,0,1234xANBABA B C D0,13,0,12342.在复平面内，复数 满足 ，则 对应的点位于 （ ）ziizA第一象限 B第二象限 C第三象限
2、D第四象限3.若 ，则 （ ）0.430.4,.,logabcA B C Dabacbcba4.若 为第一象限角，且 ，则 的值为（ sin2ios22os4）A B C. D757513735、南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术” ，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实一为从隅，开平方得积 ”若把以上这段文字写成公式，即现有周长为 的 的面积为（ ）22214cabS25ABCA B C. D332542- 2 -6、已知结论：“在 中，各边和它所对角的正弦比相等，即 ”，ABCsinis
3、inabcABC若把该结论推广到空间，则有结论：“在三棱锥 中，侧棱 与平面 、平面ABCDD所成的角为 、 ，则有（ ） ”BCDA. B. C. D. siniAsiniDBsiniBCDASAsiniACDBS7如图，在 ABC中， 2 ， 2 ， AE与 CD交于点 F，过点 F作直AD DB BC BE 线 QP，分别交 AB， AC于点 Q， P，若 ， ，则 的最小AQ AB AP AC 值为( )A. B. C2 D.85 95 1158. 已知直线 过定点 ，线段 是圆 ：10axyaRABCD的直径，则 （ ）223xyABCA 5 B6 C. 7 D89、棱锥的三视图如图
4、所示，且三个三角形均为直角三角形，则 的最小值为（） yx1A. B.1 C.4 D.21053210、定义行列式运算1234a= 321a将函数sin23()co1xf的图象向左平移 6个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 ,04 ,02,03,012.A.B.C.D11、若对于函数 f(x)ln(x1)x2 图象上任意一点处的切线 l1，在函数 g(x)- 3 -asinxcosxx 的图象上总存在一条切线 l2，使得 l1l2，则实数 a的取值范围为( )A ，1 B1， 2 12 1 22C(， ，) D(，11，)1 22 2 1212、如图，已知椭圆 C1： y21，过抛物线
5、 C2： x24 y焦点 F的直线交抛物线于 M， N两x24点，连接 NO， MO并延长分别交 C1于 A， B两点，连接 AB， OMN与 OAB的面积分别记为 SOMN， S OAB 则在下列命题中，正确命题的个数是( )若记直线 NO， MO的斜率分别为 k1， k2，则 k1k2的大小是定值为 ；14 OAB的面积 S OAB是定值 1；线段 OA， OB长度的平方和| OA|2| OB|2是定值 5；设 ，则 2S OMNS OABA4 个 B3 个 C2 个 D1 个二、填空题：本大题共有 4个小题，每小题 5分，共 20分13从标有 1，2，3，4，5 的五张卡片中，依次抽出
6、2张，则在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为_14、已知抛物线 C： x24 y的焦点为 F，直线 AB与抛物线 C相交于 A， B两点，若2 3 0，则弦 AB中点到抛物线 C的准线的距离为_OA OB OF 15、已知 x， y满足约束条件Error!则 z x3 y的最大值是最小值的2 倍，则 k_16、已知数列 an满足： a13， an2 an1 3(1) n(n2)设 akt是等差数列，数列 kt(t N*)是各项均为正整数的递增数列，若 k11，则 k3 k2_三、解答题：共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答,
7、每题 12分第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答,每题 10分(一)必考题：共 60分17等差数列 的前 项和为 ，数列 是等比数列，满足 ，nanSnb1,31ba- 4 -， 102Sb323ab(）求数列 和 的通项公式；n（）令 ，设数列 的前 项和 ，求 ,=nScb为 奇 数为 偶 数 ncnTn218.直角三角形 中， 是 的中点， 是线段 上一ABC09,4,2,ACBEACFAB个动点，且 ，如图所示，沿 将 翻折至 ，使得平面1F DE平面 DE（1）当 时，证明： 平面 ；3BDEF（2）是否存在 ，使得 与平面 所成的角的正弦值是 ？若存在，求出 的值；A23若
8、不存在，请说明理由19、某公司推出一新款手机,因其功能强大，外观新潮，一上市便受到消费者争相抢购，销量呈上升趋势。散点图是该款手机上市后前 6周的销售数据。- 5 -(I)根据散点图，用最小二乘法求 关于 的线性回归方程，并预测该款手机第 8周的销量；yx(II)为了分析市场趋势，该公司市场部从前 6周的销售数据中随机抽取 2周的数据，记抽取的销量在 18 万台以上的周数为，求 Z的分布列和数学期望。参考公式：回归直线方程 ，其中 。axbyxbyaxnyinii ,1220、如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 C1： ，椭圆 C2：24y，21(0)yxabC2与 C1的长轴长之比为
9、 1，离心率相同2（1）求椭圆 C2的标准方程；（2）设点 为椭圆 C2上一点P 射线 与椭圆 C1依次交于点 ，求证： 为定值；OAB， PA 过点 作两条斜率分别为 的直线 ，且直线 与椭圆 C1均有且只有一个公共12k， 12l， 12l，点，求证： 为定值12k21. 设函数 （其中 ） 2xfxekR（1）求函数 的单调区间；（2）当 时，讨论函数 的零点个数0kfx（二）选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22（本小题满分 10分）.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）M 是曲线 上的动点，将线段 OM绕 O点顺时针旋转 得到
10、线段 ON，设点 N的轨迹为曲线以坐标原点 O为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线 的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，若射线 与曲线 分别交于 A, B两点（除极点外） ，且有定点 ，求 的面积- 6 -23.（本小题满分 10分）已知函数（1）当 时，求不等式 的解集；（2）对于任意的实数 ,存在实数 ,使得不等式 成立,求实数 的取值范围。- 7 -参考答案1、选择题ABDBA CACAB DA2、填空题13、3/4 14、9/4 15、1 16、13、解答题17 【解析】 （）设数列 的公差为 ，数列 的公式为 ，nadnbq由 252310,bSb得 ，解得 dqd43
11、62q 6 分1,2)1(nnba（）由 得 ，,n )2(Sn则 为奇数， ，ncn为偶数， 12 )()( 2421312 nnn cccT )2(15 13 n12分).4(3241)(21nnn18.证明：（1）在 中， ，即 ，则 ，ABC09ACBDE- 8 -取 的中点 ，连接 交 于 ，当 时， 是 的中点，BFNCBEM13FAN而 是 的中点，所以 是 的中位线，EAFAN所以 ，/在 中， 是 的中点，所以 是 的中点，在 中， ，RtBC2所以 ，则 ，MEFB又平面 平面 ，平面 平面 ，DADEABE所以 平面 ，又 平面 ，所以 B而 ，所以 平面 ；EFBF（2
12、）以 为原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴，建立如图所示空间直角CAxCBy坐标系，则 ，0,4,0,2由（1）知 是 的中点， ，又平面 平面 ，MBEDEDABE所以 平面 ，则 ，DA1,假设存在满足题意的 ，则由 ，FAB可得 ，4,20F则 ，设平面 的一个法向量为 ，31,D DE,nxyz则 即 ，0nAE20xyz令 ，可得 ，即 ，2y,1,21n所以 与平面 所成的角的正弦值DF，222sin 3341A解得 或 3（舍去） ，12- 9 -综上，存在 ，使得 与平面 所成的角的正弦值为 12DFAE2320解析：【解】 （1）设椭圆 C2的焦距为 2c，由题意，
13、 ， ， ，2a3c22abc解得 ，因此椭圆 C2的标准方程为 3 分2b 18yx（2）法一：1当直线 OP斜率不存在时， ，则 4 分1PA1B2321PAB2当直线 OP斜率存在时，设直线 OP的方程为 ，ykx代入椭圆 C1的方程，消去 y，得 ，2(4)kx所以 ，同理 6 分24Axk281Px所以 ，由题意， 同号，所以 ，PA与 2PAx从而 |231APBxx所以 为定值 6 分32PAB（20 题）xyO- 10 -法二：设 ， ，设 ，则 ，所PAB01110(,)(,)(,)AxyByPx01,xy以，又 ，所以 ， ，所以21()8xy214xy21()32.3PA
14、B设 ，所以直线 的方程为 ，即 ，0()xy， 1l010()ykx10ykx记 ，则 的方程为 ，1tk1l1kxt代入椭圆 C1的方程，消去 y，得 ，221(4)84t因为直线 与椭圆 C1有且只有一个公共点，l所以 ，即 ，2221(8)4()(0kttV210kt将 代入上式，整理得， ， 8 分0tyx221(4)xxy同理可得， ，200()yk所以 为关于 k的方程 的两根，1k， 220()0k从而 10 分204yx又点在 椭圆 C2： 上，所以 ，0()P，218yx220014yx所以 为定值 12 分012214kx21.解：（1）函数 的定义域为 ，f,，1xxx
15、xfekek当 时，令 ，解得 ，所以 的单调递减区间是 ，单调递增0k0ff,0区间是 ，,当 时，令 ，解得 或 ，1kfxlnkx0所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，fx,lnk0,l,当 时， ， 在 上单调递增，kffx,- 11 -当 时，令 ，解得 或 ，所以 在 和 上1k0fxxlnkfx,0ln,k单调递增，在 上单调递减；,lnk（2） ，当 时，由（1）知，当 时，0f,x，此时 无 22maxlllnl10kfkkfx零点，当 时， ，0,220fe又 在 上单调递增，所以 在 上有唯一的零点，fxfx,故函数 在定义域 上有唯一的零点，,当 时，由（1）知，
16、当 时， ，此时k,lnkxmax01fff无零点；fx当 时， ，ln,kln01fkf，221kkfee令 ，则 ，2,tgt,1t tgge因为 在 上单调递增， ，,0tg,20t所以 在 上单调递增，得 ，即 ，所以220tefk在 上有唯一的零点，故函数 在定义域 上有唯一的零点fxln,kfx,综全知，当 时函数 在定义域 上有且只有一个零点0fx,22、解：（1）由题设，得 的直角坐标方程为 ，即 ， 故 的极坐标方程为 ，即 设点 ，则由已知得 ，代入 的极坐标方程得 ，即 （2）将 代入 的极坐标方程得 ，- 12 -又因为 ，所以 ， ， 所以 23、解：因为 ，所以 （1）当 时， 所以由 ，可得 或 或 ，解得 或 ， 故原不等式的解集为 （2）因为 ，令 ，则由题设可得 ，由 ，得 因为 ，所以 故 ，从而 ，即 ， 又已知 ，故实数 的取值范围是 - 13 -
