1、1山东省济宁市第一中学 2018-2019 学年高二数学 10 月阶段检测试卷（含解析）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分.考试用时 120 分钟.第卷（选择题，共 60 分）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若 ，则下列不等式成立的是( ).A. B. C. D. 【答案】B【解析】abc，acbc0， 故选 B2.等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，当首项 和 变化时， 是一个定值，则下列各数也为定值的是( ).A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析： ，所以 是定
2、值， 是定值S13=13(a1+a13)2 =13a7考点：等差数列通项公式求和公式及性质点评：本题用到的知识点 ，性质：若 则an=a1+(n1)d,Sn=n(a1+an)2 m+n=p+q，此性质在数列题目中应用广泛am+an=ap+aq3.已知数列 中， =2， 1，若 为等差数列，则 等于（ ）.an a3 a7 12an a11A. 1 B. C. D. 212 23【答案】C2【解析】【分析】由 为等差数列，结合 求出数列 的公差，再由等差数列的通项公式，求12an a3=2,a7=1 12an出 ，即可得到答案12a11【详解】由数列 为等差数列，则公差 ，12an d=12a7
3、12a373=116所以 ，所以 ，故选 C12a11=12a7+116(117)=12+14=34 a11=23【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其应用，其中熟记等差数列的概念和通项公式的灵活应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题4.在等差数列 等于( ).an中 ,a1+a4+q7=45,a2+a5+a8=29,则 a3+a6+a9A. 13 B. 18 C. 20 D. 22【答案】A【解析】【分析】由已知的第 2 个等式减去第 1 个等式，利用等差数列的性质得到差为公差 的 3 倍，且求出d得值，然后再由所求得式子减去第 2 个等式，利用等差数列的性质，也得到其
4、公差为 ，3d 3d把 的值代入即可求得答案3d【详解】设等差数列的公差为 ，d由 ，a1+a4+q7=45,a2+a5+a8=29则 ，即 ，(a2+a5+a8)(a1+a4+q7)=2945=16 3d=16又由 ，(a3+a6+a9)(a2+a5+a8)=3d=16所以 ，故选 Aa3+a6+a9=(a2+a5+a8)+(16)=2916=13【点睛】本题主要考查了等差的性质的综合应用，是一道基础题，其中熟记等差数列的性质，通过两式相减求得 得值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力3d5.若关于 的不等式 的解集是 ，则实数 的值是( ).x mx2+8mx+280,d0,a110 S
5、18=a1+a182 18=9(a9+a10)0，结合选项可知，选 C.S20=a1+a202 20=10(a10+a11)a2b3+a3b2【答案】证明见解析【解析】【分析】要证 ，只需要证明 即可a5+b5a2b3+a3b2 a5+b5-a2b3-a3b20【详解】证明：( a5 + b5 ) (a2b3 + a3b2) = ( a5 a3b2) + (b5 a2b3 ) = a3 (a2 b2 ) b3 (a2 b2) = (a2 b2 ) (a3 b3)= (a + b)(a b)2(a2 + ab + b2) a, b 都是正数， a + b, a2 + ab + b2 0又 a b
6、，( a b)2 0 ( a + b)(a b)2(a2 + ab + b2) 0即： a5 + b5 a2b3 + a3b2.【点睛】本题主要考查了不等式的证明，用综合法证明，属于基础题。18.数列 中， ，当 时，其前 项和 满足 an a1=1 n2 n Sn Sn2=an(Sn12)（1）求 的表达式； Sn(2)设 ,求数列 的前 项和 bnSn2n+1 bn n Tn【答案】 （1） ；（2） 。Sn=12n1(nN) n2n+1【解析】【分析】（1）运用数列的递推公式 ，代入化简整理，再由等差数列的定义和通项an=SnSn1(n2)9公式，即可求解 ；Sn（2）求得 ，运用数列的
7、求和方法：裂项相消求和，结合不等式bn=1(2n1)(2n+1)=12( 12n112n+1)的性质，即可求解【详解】 （1） 由 an=Sn-Sn-1(n2)得 S2n=(Sn-Sn-1)(Sn-12)=S2n-12Sn-Sn-1Sn+12Sn-1得 Sn-1-Sn=2SnSn-1(n2)1Sn- 1Sn-1=2(n2),1Sn是 以 1S1为 首 项 ,以 2为 公 差 的 等 差 数 列1Sn=2n-1,Sn= 12n-1(nN)(2) bn=1(2n-1)(2n+1)=12( 12n-1- 12n+1).Tn=12(1-13+13-15+ 12n-1- 12n+1)=12(1- 12n
8、+1)= n2n+1【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的裂项法求和，其中解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等19.已知函数 .f(x)=x2(a+1a)x+1（1）当 时，解关于 的不等式 ；a=2 x f(x)0（2）若 ，解关于 的不等式 .a0 x f(x)0【答案】 （1） ；（2）见解析12,2【解析】试题分析：（1） ，结合图像可得不等式解集（ 2） ，所f(x)=(x-12)(x-2) f(x)=(
9、x-1a)(x-a)以根据根的大小进行分类讨论： 时，为 ； ，为 ； 时，1aa x|ax1a 1aa所以原不等式的解集为 ；x|ax1a当 时，有 ，a11aa所以原不等式的解集为 ；x|1axa当 时，原不等式的解集为a=1 1视频20.某商店采用分期付款的方式促销一款价格为每台 6000 元的电脑商店规定，购买时先支付货款的 ，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息13(1)已知欠款的月利率为 0.5%，到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？(2)假设货主每月还商店元，写出在第 (1,2，36)个月末还款后，货主对商店欠款数的表达式【答案】 （1
10、）4020 元；（2）第 i 个月底还款后的欠款数为 。4000(1 0.5%)i a(1 0.5%)i10.5%【解析】【分析】（1）因为购买电脑时，货主欠商店 的货款计 4000 元，又按月利率 0.5%，即可求得第一23个月底的欠款额；（2）由题意，分别得到第 的欠款额，利用等比数列的求和公式，即可得到第个月1,2,3,的欠款的关系式【详解】(1)因为购买电脑时，货主欠商店 的货款，即 6000 4000(元)，又月利率为 0.5%，到第一个月底的欠款数应为 4000(10.5%)4020(元) (2)设第 i 个月底还款后的欠款数为 yi，11则有 y14000(10.5%)a， y2
11、y 1(10.5%)a4000(10.5%) 2a(10.5%)a， y3y 2(10.5%)a4000(10.5%) 3a(10.5%) 2a(10.5%)a， yiy i1 (10.5%)a4000(10.5%) ia(10.5%) i1 a(10.5%) i2 a， 由等比数列的求和公式，得(i1,2，36) yi=4000(1 0.5%)i a(1 0.5%)i-10.5%答: 到第一个月底的欠款数应为 4020 元,第 i 个月底还款后的欠款数为4000(1 0.5%)i a(1 0.5%)i-10.5%【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，同时考查了函数与方程思想，其中解答
12、中认真审题，合理转化与化归，列出关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力21.已知等比数列 的公比为 ，与数列 满足 （ ）bn q an bn=3an nN*（1）证明数列 为等差数列；an（2）若 ，且数列 的前 3 项和 ，求 的通项，b8=3 an S3=39 an（3）在(2)的条件下，求 .Tn=|a1|+|a2|+|an|【答案】 （1）证明见解析；（2） ；（3） 。an=172nTn=n2+16n,(n8)n216n+128(n9)【解析】【分析】(1)证明：设 的公比为 由 ，得到 ，利用等差数列的定义，可得到结bn q bn=3an an=log3bn论；(
13、2) 由题意，根据等差的通项公式和前 项和公式，列出方程组，求得 ，即可得到数n a1,d列的通项公式；(3)由 ，求得数列 的前 8 项均为正，从第 9 项开始为负，分类讨论即可求an=172n0 an解12【详解】(1)证明：设 的公比为 （ ）bn q bn=3an nN* （ ） an=log3bn nN* （与 无关的常数）an+1-an=log3bn+1-log3bn=log3bn+1bn=log3q n数列 为等差数列，公差为 . an log3q(2)解: 即 ，解得 b8=3a8=3S3=39 a1+7d=13a1+3d=39 a1=15d=-2 an=15-2(n-1)=1
14、7-2n(3)由 得 ， 可得an=17-2n0 n8 an=17-2n0 n9 的前 8 项均为正，从第 9 项开始为负 an当 时，n8 Tn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=(15+17-2n)n2 =(16-n)n=-n2+16n当 时,n9 Tn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+a8-(a9+a10+an)=2(a1+a2+a8)-(a1+a2+a8+a9+a10+an)=2(15+1)82 -(-n2+16n)=128-(16-n)n=n2-16n+128综上所述： Tn= -n2+16n,(n8)n2-16n+128(n9) 【点睛】本题主要考查了等差数
15、列的判定与证明，以及等差数列的通项公式和前 项和公式n的应用，其中解答第三问时，根据数列的通项公式，得到前 8 项均为正，从第 9 项开始为负，分类讨论即可求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和推理与运算能力22.已知数列 满足 ，且 ， an an=2an1+2n1(nN+ n2) a4=81求数列的前三项 ， ， ；a1 a2 a3数列 为等差数列，求实数 的值；an+p2n p求数列 的前 项和 an n Sn13【答案】 （1） ， ， ；（2） ；（3） 。a1=5 a2=13a3=33 p=1 Sn=n(2n+1+1)【解析】【分析】（1）利用已知条件，直接求得 的值，然后求出
16、 的值；a3 a1,a2（2）通过数列 为等差数列，按照等差数列的定义，公差是常数，可求得 的值；an+p2n p（3）利用（2） ，求出通项公式，然后通过乘公比错位相减法，即可求解数列 的前 项an n和 Sn【详解】由 ，且 得an=2an-1+2n-1(nN+ n2)，得a4=2a3+24-1=81 a3=33同理，得 ，a2=13a1=5对于 ，且 ， nN n2 an+p2n-an-1+p2n-1=an-2an-12n =2n-1-p2n =1-1+p2n又数列 为等差数列，an+p2n 是与 无关的常数，an+p2n-an-1+p2n-1 n ，1+p=0解得 p=-1由知，等差数
17、列 的公差为 1，an+p2n ，an-12n=a1-12 +(n-1)=n+1得 an=(n+1)2n+1 Sn=a1+a2+an，=22+322+423+(n+1)2n+n记 ，Tn=22+322+423+(n+1)2n则有 ，2Tn=+222+323+424+n2n+(n+1)2n+1两式相减，得 -Tn=22+(22+23+2n)-(n+1)2n+114=4+4-2n+11-2 -(n+1)2n+1=-n2n+1故 【点睛】点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法” ，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等
