1、- 1 -2018-2019 学年度上学期期末考试高二数学（文科）试题本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。请在答题卷上作答。第 I 卷 选择题 （共 60 分）一、选择题（本大题共 12 题，每题 5 分，满分 60 分，每小题只有一个正确答案） 1.给出命题“方程 x2 ax10 没有实数根”，则使该命题为真命题的 a 的一个值可以是( )A 4 B 2 C 1 D 32.已知 a， bR，命题“若 a b1，则 a2 b2 ”的否命题是( )A 若 a2 b2 ，则 a b1B 若 a b1，则 a2 b2C 若 a b1，则 a2 b2D 若 a2 b2 ，则 a b13.设
2、 f(x)存在导函数，且满足 1，则曲线 y f(x)上点(1， f(1)处的切线斜率为( )A 2 B 1 C 1 D 24.已知条件 p： x1，条件 q： xa，且 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是( )A a1 B a1 C a1 D a35.已知 p： x0R， mx20. q： xR， x22 mx10，若 p q 为假命题，则实数 m 的取值范围是( )A 1，) B (，1 C (，2 D 1,16.已知双曲线 my2 x21( mR)与椭圆 x21 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )- 2 -A y x B y x C y x D y3 x7.已知
3、椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点为 F1， F2，离心率为 ，过 F2的直线 l 交 C于 A， B 两点若 AF1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为( )A 1 B y21 C 1 D 18.已知抛物线 y2 x，点 A， B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， 2(其中 O 为坐标原点)，则 ABO 与 AFO 的面积之和的最小值是( )A 2 B 3 C D9.已知函数 f(x)的导函数 f( x) ax2 bx c 的图象如图所示，则 f(x)的图象可能是( )10.过曲线 y 上一点 P 的切线的斜率为4，则点 P 的坐标为( )A B 或C D11.如图，椭圆的中心在坐标原
4、点，焦点在 x 轴上， A1， A2， B1， B2为椭圆顶点， F2为右焦点，延长 B1F2与 A2B2交于点 P，若 B1PB2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是( )A B C - 3 -D12.函数 f(x) xln x 在(0,6)上是( )A 单调增函数 B 单调减函数C 在 上是减函数，在 上是增函数 D 在 上是增函数，在 上是减函数第 II 卷 非选择题 （共 90 分）二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若曲线 y xlnx 上点 P 处的切线平行于直线 2x y10，则点 P 的坐标是_14.已知函数 f(x) x4 ax2 bx，且 f(0)
5、13， f(1)27，则 a b 等于_15.设双曲线 1 的右顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点 B，则 AFB 的面积为_16.点 P 在椭圆 x2 1 上，点 Q 在直线 y x4 上，若| PQ|的最小值为 ，则m_.三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17. （10 分）已知命题 p：函数 f(x) x22 mx4 在2，)上单调递增，命题 q：关于x 的不等式 mx24( m2) x40 的解集为 R.若 p q 为真命题， p q 为假命题，求 m 的取值范围18.（12 分）已知椭圆 1( ab0)上的点 P 到左，右
6、两焦点 F1， F2的距离之和为2 ，离心率为 .(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点 F2的直线 l 交椭圆于 A， B 两点，若 y 轴上一点 M(0， )满足| MA| MB|，求直线 l 的斜率 k 的值19. （12 分）双曲线的方程是 y21.- 4 -(1)直线 l 的倾斜角为 ，被双曲线截得的弦长为 ，求直线 l 的方程；(2)过点 P(3,1)作直线 l，使其被双曲线截得的弦恰被 P 点平分，求直线 l的方程20. （12 分）斜率为 k 的直线 l 经过抛物线 y x2的焦点 F，且与抛物线相交于 A， B 两点，若线段| AB|的长为 8.(1)求抛物线的焦点 F 的坐
7、标和准线方程；(2)求直线的斜率 k.21. （12 分）设函数 f(x) ax ，曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线方程为7x4 y120.(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 y f(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 y x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值22.（12 分）设函数 f(x)是定义在1,0)(0,1上的偶函数，当 x1,0)时， f(x) x3 ax(a 为实数)(1)当 x(0,1时，求 f(x)的解析式；(2)若 a3，试判断 f(x)在(0,1上的单调性，并证明你的结论；(3)是否存在 a，使得 x(0,1时， f(x)有最大值 1?
8、- 5 -高二数学（文科）试题答案1.C2.C3.B4.C5.A6.A7.A8.B9.D10.B11.C12.A13.(e，e) 14.1815.16.317.若命题 p 为真，因为函数的对称轴为 x m，则 m2.若命题 q 为真，当 m0 时原不等式为8 x40，显然不成立当 m0 时，则有 10， m23.设直线 l 与双曲线交于 A(x1， y1)、 B(x2， y2)两点，- 7 -则 x1 x2 m， x1x2 .由弦长公式| AB| |x1 x2|，得, ，即 m5，满足 m23，直线 l 的方程为 y x5.(2)设直线 l与双曲线交于 A( x3， y3)、 B( x4， y
9、4)两点，点 P(3,1)为 A B的中点，则 x3 x46， y3 y42.由 4， 4，两式相减得( x3 x4)(x3 x4)4( y3 y4)(y3 y4)0， ， l的方程为 y1 (x3)，即 3x4 y50.把此方程代入双曲线方程，整理得 5y210 y 0，满足 0，即所求直线 l的方程为 3x4 y50.20.解 (1)化 y x2为标准方程 x24 y，由此，可知抛物线的焦点 F 的坐标为(0,1)，准线方程为 y1.(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由抛物线的定义知| AF| y11，| BF| y21，于是| AB| y1 y22，又| AB|8，所以
10、 y1 y26，由(1)得，抛物线的焦点为(0,1)，所以直线 l 的方程为 y kx1，所以 kx11 kx216， k(x1 x2)4，由直线 l 的方程与抛物线方程得 kx1 ，- 8 -即 x24 kx40， 16 k2160，所以 x1 x24 k，代入 k(x1 x2)4，得 k21， k1.21.(1)由 7x4 y120 得 y x3.当 x2 时， y ， f(2) ，又 f( x) a ， f(2) ，由，得 解之得 .故 f(x) x .(2)证明 设 P(x0， y0)为曲线上任一点，由 y1 知曲线在点 P(x0， y0)处的切线方程为y y0(1 )(x x0)，即
11、 y( x0 )(1 )(x x0)令 x0 得 y ，从而得切线与直线 x0 的交点坐标为(0， )令 y x 得 y x2 x0，从而得切线与直线 y x 的交点坐标为(2 x0,2x0)所以点 P(x0， y0)处的切线与直线 x0， y x 所围成的三角形面积为 | |2x0|6.故曲线 y f(x)上任一点处的切线与直线 x0， y x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为 6.22.(1)f(x) x3 ax(2)f(x)在(0,1上单调递增，证明见解析.(3)存在 a ，使 f(x)在(0,1上有最大值 1【解析】(1)设 x(0,1，则 x1,0) f(x)为偶函数， f(x)
12、 f( x) x3 ax，即 x(0,1时， f(x) x3 ax.(2)f(x)在(0,1上单调递增，证明如下：- 9 -f( x)3 x2 a， x(0,1，3 x23,0)又 a3， a3 x20，即 f( x)0. f(x)在(0,1上单调递增(3)当 a3 时， f(x)在(0,1上单调递增， f(x)max f(1) a11. a2 与 a3 矛盾当 0 a3 时，令 f( x) a3 x20，得 x 或 x (舍去)x 时， f( x)0， f(x)在 上单调递增x 时， f( x)0， f(x)在 上单调递减又函数 f(x)在 x 处连续， f(x)max f 3 a 1.解得 a ，当 a0 时， f( x) a3 x20， f(x)在(0,1上单调递减， f(x)在(0,1上无最大值综上，存在 a ，使 f(x)在(0,1上有最大值 1.
