1、- 1 -合肥市 2018 年高三第三次教学质量检测数学试题(文科)(考试时间：120 分钟 满分：150 分)第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设复数 (其中 为虚数单位)，则 =A. B. 3 C. 5 D. 【答案】A【解析】分析：化简复数 ，利用复数模的公式求解即可.详解：因为 ，所以 = ，故选 A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简
2、，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.已知集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合 ，求出集合 的补集，解方程化简集合 ，利用集合交集的定义进行计算即可.详解：因为 或 ，所以又因为 ，- 2 -所以 ，故选 C.点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.3.已知 ，若 为奇函数，且在 上单调递增，则实数 的值是A. -1，3 B. ，3 C. -1， ，3 D. ， ，3【答案】B【解析
3、】分析：分别研究五个幂函数的奇偶性与单调性，从而可得结果.详解：因为 在 上单调递增，所以 ，排除选项 ；当 时， 为非奇非偶函数，不满足条件，排除 ，故选 B.点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证） ；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除） ；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除） ；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等.4.若正项等比数列 满足 ，则其公比为A. B. 2 或-1 C. 2 D.
4、-1【答案】C【解析】分析：设等比数列 的公比为 ，由等比数列的通项公式可得 ，即 ，可解得 的值，根据正项数列，排除不合题意的公比即可.详解：根据题意，设等比数列 的公比为 ，若 ，则有 ，即 ，- 3 -解可得 或 ，由数列 为正项等比数列，可得 ，故选 C.点睛：本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量 ，一般可以“知二求三” ，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.5.运行如图所示的程序框图，则输出的 等
5、于A. B. C. 3 D. 1【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的 的值.详解：当 时，满足进行循环的条件，故 ；当 时，满足进行循环的条件，故 ；当 时，满足进行循环的条件，故 ；当 时，不满足进行循环的条件，退出循环，输出 ，故选 B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循- 4 -环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次
6、数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.若 为两条不同的直线， 为平面，且 ，则“ ”是“ ”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：根据线面平行的性质以及线面垂直的性质可得充分性成立，由可能 可得必要性不成立.详解：由 且 能推出 ，充分性成立；若 且 ，则 或者 ，必要性不成立，因此“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 A.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 .对于带
7、有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7.右图是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率的值：随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为 个，落在圆内的豆子个数为 个，则估计圆周率 的值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：设正六边形边长为 ，则内切圆的半径为 ，求出圆的面积和正六边形的面积，由几何概型概率公式列方程可得结果.详解：设正六边形边长为 ，则内切圆的半径为 ， 由几何概型概率公式可得，- 5 -，故选 D. 点睛：本
8、题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.8.函数 的图象大致为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】分析：用排除法，根据奇偶性可排除选项 ；由 ，可排除选项 A，从而可得结果.详解：因为 ，所以函数 是奇函数，函数图象关于原点
9、对称，可排除选项 ,由 ，可排除选项 ，故选 D.点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.9.若 的三个内角 所对的边分别是 ，若 ，且 ，则- 6 -A. 10 B. 8 C. 7 D. 4【答案】B【解析】分析：利用诱导公式、两角和与差的正弦公式将 展开，结合正弦定理和余弦定理进行化简可得 .详解： ,即 ，即 ，由正弦定理和余弦定理得：，即 ，即 ，则 ，故选 B.点睛：本题主要考查正弦定理及
10、余弦定理的应用以及两角和与差的正弦公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.10.已知双曲线 ( ， )的上焦点为 ， 是双曲线虚轴的一个端点，过 ，的直线交双曲线的下支于 点.若 为 的中点，且 ，则双曲线 的方程为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：设出 以及 的坐标，求出 的坐标，利用 在双曲线上， 以及勾股定理列出方程组，
11、求出 ，从而可得结果.- 7 -详解：双曲线 的上焦点为 是双曲线虚轴的一个端点，过 的直线交双曲线的下支于 点，若 为 的中点，且 ，可得 则 ，由题意可得 ，解得 ，所以双曲线 的方程为 ，故选 C.点睛：本题主要考查待定系数求双曲线方程，属于难题.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤；作判断：根据条件判断双曲线的焦点在 轴上，还是在 轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方程 或 ；找关系：根据已知条件，建立关于 、 、 的方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.11.我国古代九章算术将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧
12、视图均为等腰梯形，两底的长分别为 2 和 4，高为 2，则该刍童的表面积为A. B. 40 C. D. 【答案】D【解析】分析：根据三视图，还原几何体的直观图可得，该几何体的表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，根据三视图所给数据，求出矩形与梯形的面积，求和即可.详解：- 8 -由三视图可知，该刍童的直观图是如图所示的六面体 ，图中正方体棱长为 ，分别是所在正方体棱的四等分点，其表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，矩形面积为 ，梯形的上下底分别为 ，梯形的高为，梯形面积为 ，所以该刍童的表面积为 ，故选 D. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽
13、象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.12.若函数 在区间 上是非单调函数，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：函数 在区间 上是非单调函数，等价于 在 有解，即在 有解，换元后，求出 的范围即可.- 9 -详解： , ,在区间 上是非单调函数，在 有解，即 在 上
14、有解，即 在 有解，设 ，在 上有解，时，分别有 ，所以 ，即实数 的取值范围是 ，故选 A.点睛： 本题主要考查导数的应用及数学的转化与划归思想，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中，本题中，将“不单调”转化为“方程有解” ，再转化“求函数值域” ，是解题的关键.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(
15、13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知 ， ，则 的值等于_.【答案】2【解析】分析： 由 ，可得 ，直接利用对数运算法则求解即可得，计算过程注意避免计算错误.详解：由 ，可得 ，- 10 -则 ，故答案为 .点睛：本题主要考查指数与对数的互化以及对数的运算法则，意在考查对基本概念与基本运算掌握的熟练程度.14.若 满足约束条件 ，则 的最大值为 _【答案】【解析】【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函
16、数在点 处取得最大值，联立直线方程： ，可得点的坐标为： ，据此可知目标函数的最大值为： .15.已知 ， .当 最小时， _.【答案】【解析】分析：由 ，可得 ,求出 ，可得，利用二次函数的性质可得结果.详解： ，得 ，- 11 -，当 时， 有最小值 ，故答案为 .点睛：本题主要考查平面向量的运算及利用二次函数求最值，属于中档题向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差） ；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和） ；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与
17、范围问题，往往利用坐标运算比较简单） 16.已知数列 的前 项和为 ，且数列 为等差数列.若 ， ，则_.【答案】3027【解析】分析：由数列 为等差数列，可设 ，化为 ，由 ，得 且 ，联立解得 ，进而可得结果.详解： 数列 为等差数列， 可设 ，化为 ，联立解得： ，则 ，故答案为 .点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量 ，一般可以“知二求三” ，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.将函数 的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上所
18、有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，可以得到函数 的图象.()求 的解析式；()比较 与 的大小.- 12 -【答案】(1) ;(2) .【解析】分析：()将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，得到函数 的图象，再将所得图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，进而可得结果；()利用三角函数的性质，判断出 与 的符号，即可得结果.详解：()将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，得到函数 的图象，再将所得图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，即 . () ，而 . ， . 点睛：本题考查三角函数图象变换、性质、诱导公式等基础知识，纵向伸缩或平移是对于 而言，即 或 ；横向伸
19、缩或平移是相对于 而言，即 （纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍） ， ( 时，向左平移 个单位； 时，向右平移个单位)18.2018 年 2 月 9-25 日，第 23 届冬奥会在韩国平昌举行.4 年后，第 24 届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了 120 名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：(1)根据上表说明，能否有 的把握认为，收看开幕式与性别有关？(2)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取 8 人，参加 2022 年北京冬奥会志愿者宣传活动.- 13 -
20、()问男、女学生各选取多少人？()若从这 8 人中随机选取 2 人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率 P.附： ，其中 .【答案】 （1）见解析；（2）男生有 6 人，女生有 2 人，【解析】分析：()因为 ，所以有 的把握认为，收看开幕式与性别有关；()()根据分层抽样方法得，男生 人，女生 人； ()从 人中，选取 人的所有情况共有 种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有 种，由古典概型概率公式可得结果.详解：()因为 ，所以有 的把握认为，收看开幕式与性别有关. ()()根据分层抽样方法得，男生 人，女生 人，所以选取的 8 人中，男生有 6 人，女
21、生有 2 人. ()从 8 人中，选取 2 人的所有情况共有 N=7+6+5+4+3+2+1=28 种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有 M=6+6=12 种，所以，所求概率 . 点睛：本题主要考查频率分层抽样、古典概型概率公式以及独立性检验，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成 列联表；（2）根据公式- 14 -计算 的值；(3) 查表比较 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）19.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱 的底面是梯形， ， ， ， ，点 在棱 上，且 .点 是直线 的一点，.()试
22、确定点 的位置，并说明理由；()求三棱锥 的体积.【答案】(1)见解析;(2)6.【解析】分析：()在棱 上取点 ，使得 ，可证明四边形 为平行四边形，从而 ，过 作 交 于 ，连接 ，则 平面 平面 ，由此得到平面 即为所求，此时 ；()利用 ，结合棱锥的体积公式可得结果.详解：()如图，在棱 上取点 ，使得 .又 ， .四边形 为平行四边形， .过 作 交 于 ，连结 ， 平面 ， 平面 ，- 15 -平面 即为所求，此时 . ()由()知， 平面 ， .点睛：本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的
23、关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 20.记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆 ，以椭圆的焦点为顶点作相似椭圆 .()求椭圆 的方程；()设直线 与椭圆 交于 两点，且与椭圆 仅有一个公共点，试判断 的面积是否为定值( 为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1) ;(2)6.【解析】分析：()由相似椭圆的定义可得，椭圆 的离心率 ，由长轴的顶点为(-2，0)，(2，
24、0)，于是可得 ，从而可得椭圆 的方程；()设直线 .- 16 -由 得， ，利用判别式为零可得 ，联立与 ，利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可得 .详解：()由条件知，椭圆 的离心率 ，且长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)，椭圆 的方程为 . ()当直线 的斜率存在时，设直线 .由 得， .令 得， .联立 与 ，化简得 .设 A( )，B( )，则 ，而原点 O 到直线 的距离 .当直线 的斜率不存在时， 或 ，则 ，原点 O 到直线 的距离 ， .综上所述， 的面积为定值 6. 点睛：本题主要考查椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及椭圆的切线，属于难题. 探索
25、圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.- 17 -21.已知函数 ( 为自然对数的底数).()若函数 的图象在 处的切线为 ，当实数 变化时，求证：直线 经过定点；()若函数 有两个极值点，求实数 的取值范围.【答案】(1)见解析. (2) .【解析】分析：()利用导数求出切线斜率，点斜式可得切线方程为直线 的方程为 ，可得直线 经过定点 ；()分两种情况讨论 的范围，函数有两个极值点等价于 有两个不同的解，分别利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理与函数图象，列不
26、等式可筛选出函数 有两个极值点的实数 的取值范围.详解：() ， ， .又 ，直线 的方程为 ，直线 经过定点(-2，0). () ， .设 ，则 .当 时， ，即 在 上单调递增，则 最多有一个零点，函数 至多有一个极值点，与条件不符；当 时，由 ，得 .当 时， ；当 时， . 在 上单调递增，在 上单调递减， ，即 .令 ，解得 . ， ， ， 在 上单调递增， 在 上有唯一零点 ，当 时， ；当 时， .- 18 - 在 上有唯一极值点.又当 时， .设 ，其中 ，则 ， ， .即当 时， ，而 ， 在 上单调递减， 在 上有唯一零点 ，当 时， ；当 时， . 在 上有唯一极值点.综
27、上所述，当 有两个极值点时， . 点睛：导数及其应用通常围绕四个点进行命题第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答.注意
28、：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，圆 的方程为.以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.()求直线 及圆 的极坐标方程；()若直线 与圆 交于 两点，求 的值.- 19 -【答案】(1)见解析;(2) .【解析】分析：()由直线 的参数方程 得普通方程为 ，利用可得直线 及圆 的极坐标方程；()将直线 ： ，与圆 ： 联立得 或 ，不妨记点 A 对应的极角为 ，点 B 对应的极角为 ，且 ，于是.于是， . 详解：
29、()由直线 的参数方程 得，其普通方程为 ，直线 的极坐标方程为 .又圆 的方程为 ，将 代入并化简得 ，圆 的极坐标方程为 . ()将直线 ： ，与圆 ： 联立，得 ，整理得 ， .不妨记点 A 对应的极角为 ，点 B 对应的极角为 ，且 .于是， . 点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如 等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式， 等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可- 20 -以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题23.已知函数 .（1）解不等式 ；（2）设 的最小值为 ，实数 ， 满足
30、 ， ， ，求证： .【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】分析：() 对 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果; ()由绝对值不等式性质得， ，从而可得 ，令，利用基本不等式转化求解证明即可.详解：() ，即 .(1)当 时，不等式可化为 .又 ， ；(2)当 时，不等式可化为 .又 ， .(3)当 时，不等式可化为 .又 ， .综上所得， ，或 ，即 .原不等式的解集为 . ()由绝对值不等式性质得， ， ，即 .令 ，则 ， ，原不等式得证. 点睛：绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想- 21 -
