1、高 2018 级高一 下期 4 月阶段 性测试数学试 题 一、 选择题( 本大题共 12 个小题， 每小题 5 分 ，共 60 分， 在每小题给出的四 个选项中， 只有一 项是符 合 题目要求的) 1.已知 是 第三 象限 的角,若 1 tan 2 = , 则 cos = （ ） A. 5 5 B. 25 5 C. 5 5D. 25 52在 ABC 中，C 60 ，AB 3 ，BC 2 ， 那么 A 等于( ) A 135 B 105 C 45 D 75 3.已知a n 为等差数 列，a 1 a 3 a 5 105 ，a 2 a 4 a 6 99，则 a 20 等于( ) A1 B 1 C 3
2、 D 7 4.在 正项 等比 数列a n 中，S n 是其前 n 项和 若 a 1 1 ，a 2 a 6 8 ，则 S 8 ( ) A 8 B 15( 2 1) C 15( 2 1) D 15(1 2 ) 5. ABC 中，a 、b 、c 分 别为 A 、 B 、 C 的对 边. 如果 a 、b 、c 成 等差 数列， B=30 ， ABC 的面 积 为 3 2 ， 那么 b= （ ） A 13 2 +B 13 + C 23 2 +D 23 + 6.设a n 是任意 等比 数列 ， 它的 前 n 项和， 前 2n 项和 与前 3n 项和 分别 为 X ，Y ，Z ， 则 下列 等式 中恒 成立
3、 的是( ) A X Z 2Y B Y(Y X) Z(ZX) C Y 2 XY D Y(Y X) X(Z X) 7. 如图， 在平面 直角坐 标 系 xoy 中，角 (0 ) 的始边 为 x 轴的非 负半轴， 终边 与单位 圆的 交点 为 A，将 OA 绕坐标原点 逆时 针旋 转 2 至 OB ，过 点 B 作 x 轴 的垂 线， 垂足为Q 记 线段 BQ 的 长为 y ，则函数 () yf = 的 图象 大致 是（ ） A. B. C. D. 8. 已知 一个 等差 数列 共有 2n+1 项 ， 其 中奇 数项 之和为 290 ， 偶数 项之 和为 261，则 第 n+1 项为 ( ) A
4、30 B 29 C 28 D 27 9. 已知 两个 等差 数列 n a 和 n b 的前 n 项 和分 别为 n A 和 n B ，且 7 45 3 n n A n Bn + = + ，则 使 得 n n a b 为整数 的正 整数的 个数 是 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 10. 有限 数列 A=a 1 ，a 2 ，a n ， n S 为 其前 n 项 和 ，定义 12 n SS S n + 为 A 的“凯森 和” ； 如有 99 项的数 列a 1 ， a 2 ， ， a 99 的“凯森 和” 为 1000，则 有 100 项的 数列1 ， a 1 ， a 2 ， ， a 99
5、的“凯森 和”为（ ） . A 991 B 1001 C 999 D 990 11.将函 数 ( ) 2sin(2 ) 6 fx x = + 的 图像 向左 平移 12 个单位 ， 再向 上平 移 1 个单 位， 得到 () gx 的图像 若 12 ( )( ) 9 gx gx = ，且 12 , 2 ,2 xx ，则 12 2xx 的最大 值为 （ ） A. 35 6 B. 49 12 C. 25 6 D. 17 4 12. 设定义在 R 上的函数 () fx ， (0) 2008 f = ，且对任意 xR ，满足 ( 2) ( ) 3 2 x fx fx + ， ( 6) ( ) 63 2
6、 x fx fx + ，则 (2008) f = （ ） A 2005 2 2004 + B 2007 2 2006 + C 2009 2 2008 + D 2008 2 2007 + 二、填空题（本大题 共4 个小题，每小题5 分，共20 分。） 13.已知 的终边 过点 (2, ) a ，且 tan( ) 3 4 = ，则 a = _ 14.在 2012 年 7 月 12 日伦敦 奥 运会 上举 行升 旗仪 式 如 图， 在坡 度为 15 的观 礼台上 ，某 一列 座位 所在 直线 AB 与旗 杆所 在直线 MN 共面 ，在 该列 的第 一 个 座位 A 和最 后一 个 座位 B 测得 旗
7、杆 顶端 N 的仰 角分 别为 60 和 30，且 座 位 A ，B 的距 离为10 6 米， 则旗杆 的高度 为_米 15. 若 AB 2，AC 2 BC ，则 S ABC 的最大值 为_ 16.若对 于正 整数 k，g(k)表示 k 的最 大奇 数因 数， 例如 g(3)=3,g(10)=5. 设 (1) (2) (3) (4) (2 ) n n Sg g g g g =+ ，则 n S = 。 高一数学 2019 年 4 月阶考 第 1 页 共 2 页 三、解答题(本大题共6 个 小题，共 70 分，解答应写 出文字说明，证明过 程或 演算步骤) 17.(10 分) 已知 函数 2 (
8、) sin 2 sin 2 2cos 1 33 fx x x x = + + ， xR . (1) 求函数 () fx 的 最小 正周 期； (2) 求函数 () fx 在 区间 , 44 上的最 大 值和最 小值 18.(12 分) 在 ABC 中，角 A ， B ， C 的 对边分 别为 a ，b ， c ，且 满足 2 cos cos cb B aA = ( ) 求角 A 的大 小； ( )设 函数 2 ( ) 3 sin cos cos 22 2 xx x fx = + ，当 () fB 取最大 值 3 2 时，判断 ABC 的形 状 19.(12 分)已 知各 项均 不相等 的 等差
9、 数列 n a 的前四 项和 为 14，且 1 a ， 3 a ， 7 a 恰 为等 比数列 n b 的 前三 项 (1) 分别求 数列 n a ， n b 的前 n 项和 n S ， n T ； (2) 记数列 nn ab 的前 n 项 和为 n K ，求 n K . 20 (12 分) ABC 中，A ，B ， C 所对的 边分别 为 a ，b ，c ， sin sin tan cos cos AB C AB + = + , sin( ) cos BA C = . ( ) 求 A ， C ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( ) 若 33 ABC S = + ,求 a ， c .
10、21. (12 分)已知 函数 ( ) sin 2 cos 2 fx x a x = + 的图象 关于直 线 8 x = 对称. (1) 求实数 a 的 值； (2) 若对任 意的 0, 4 x ， 使得 () 8 2 0 mfx+= 有解 ，求实 数 m 的取值 范围 ； (3) 若 5 0, 8 x 时， 关于 x 的 方程 2 () 2 () 1 0 f x nf x += 有四 个不等 的实 根， 求实 数 n 的取值范 围. 22. (12 分)已知 数列 n a 满足递 推关系 ， 2 1 23 () 1 nn n n a am a nN a + + = + ，又 1 1 a =
11、. (1) 当 1 m = 时 ，求 数列 n a 的通项 公 式； (2) 若 数列 n a 满足不 等式 1 nn aa + 恒 成立,求 m 的 取值 范围; (3) 当 31 m 时 ，证 明： 12 11 1 1 1 1 1 12 n n aa a + + + + + . 高一数学 2019 年 4 月阶考 第 2 页 共 2 页 高 2018 级高一 下期 4 月阶段 性测试数学试 题 参考答案 1. B. 2C 3.B 4. B 5. B 6. D 7. B 8.B 9. D 10.A 11. B. 12. D 13.-4 14.30 15. 2 2 16. 1 4 +2 3 n
12、 （ ） 17.(1)f(x) sin 2xcos 3 cos 2xsin 3 sin 2xcos 3 cos 2xsin 3 cos 2x sin 2x cos 2x 2 sin 2x E4 E A.所以，f(x) 的最小正 周期 T A 2 2E A. (2)因为 f(x) 在区间 A 4 ， E8 E A 上是 增函数， 在区间 A 8 ， E4 E A 上是减函数 又 f A E4 E A1，f A E8 E A A 2EA，f A E4 E A1，故函数 f(x) 在区间 A 4 ， E4 E A 上的最大值为 A 2EA，最小值为1. 18. 解： （ ）因 为 2 cos cos
13、 cb B aA = ， 所以 (2 ) cos cos cb Aa B = 由正弦 定理 ，得 (2sin sin ) cos sin cos C B A AB = 整 理得 2sin cos sin cos sin cos C A BA AB = 所以 2sin cos sin( ) sin C A AB C = += 在 ABC 中，sin 0 C 所以 1 cos 2 A = ， 3 A = （ ） 2 cos 2 cos 2 sin 3 ) ( 2 x x x x f + = 311 sin cos 2 22 xx =+ 1 sin( ) 62 x = + ， 3 A = 2 (0,
14、 ) 3 B 5 6 66 B + 当 62 B +=,即 3 B = 时， () fB 有最大 值是 2 3 又 3 A = , 3 C = ABC 为等 边三 角 19.(1)解 设公差为 d，则 4a 1 6d14， (a 1 2d) 2 a 1 (a 1 6d) ， E 解得 d1 或 d0( 舍去) ，a 1 2， 所以 a n n1，S n n(n3) 2 . 又 a 1 2，d1，所以 a 3 4，即 b 2 4. 所以数列b n 的首项为 b 1 2，公比 q b 2 b 1 2， 所以 b n 2 n ，T n 2 n 1 2. (2)因为 K n 22 1 32 2 (n1
15、)2 n ， 故 2K n 22 2 32 3 n2 n (n1)2 n 1 ， 得K n 22 1 2 2 2 3 2 n (n1)2 n 1 ， K n n2 n 1 ， 20解: 因为 ，即 ， 所以 ， 即 ， 得 . 所以 ,或 (不成立). 即 , 得 ，所以. 又因为 ，则 ，或 （舍去） 得 4 A = ， 5 12 B = 6 分 (2) ， 又 , 即 ， 得12 分 21. （1） 1 a = ；（ 2） 22 79 m ；（ 3） 3 12 4 n . 解析： （1）由题意： 2 1 8 fa =+ ，即 2 22 1 22 aa + =+ ， 两边平方，可得 ( )
16、2 10 a+= ，所以 1 a = . sin sin tan cos cos AB C AB + = + sin sin sin cos cos cos C AB C AB + = + sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B CA CB +=+ sin cos cos sin cos sin sin cos C A CA CB C B = sin( ) sin( ) C A BC = C A BC = () C A BC = 2C AB = + 3 C = 2 3 BA += 1 sin( ) cos 2 BA C = = 6 BA = 5 6 BA
17、 = 1 62 sin 3 3 28 ABC S ac B ac + = = = + sin sin ac AC = 23 22 ac = 2 2, 2 3. ac = = 高一数学 2019 年 4 月阶考 第 3 页 共 2 页 （2） ( ) 8 20 mfx += 可化为 2sin 2 8 2 0 4 mx += ， 当 0 m = 时，不适合； 当 0 m 时原式可化为 2 2sin 2 8 4 x m += ， 因为 0, 4 x ，所以 22 sin 2 , 4 22 x ， 所以 2sin 2 8 7,9 4 x + ，即 2 79 m ，解得 22 79 m . （3）令 ( ) t fx = ， 则关于 x 的方程 ( ) ( ) 2 2 10 f x nf x += 有四个不等的实数根等价于关于 t 的 方程 2 2 10 t nt += 在 ( ) 0, 2 t 上 有两 个不 等的实 根 ，令 ( ) 2 21 h t t nt =+ ，由根 的分 布 的有 关知识，可得： ，解得 3 12 4 n 高一数学 2019 年 4 月阶考 第 4 页 共 2 页
