1、- 1 -扶余市第一中学 2017-2018 学年度下学期期末试题高 一 数 学一、选择题1. 已知向量 ，且 ，则 的值是（ ）A. 6 B. 6 C. 9 D. 12【答案】B【解析】分析：直接由平面向量共线的坐标表示列方程求解即可.详解： ，由 ，得 ，解得 ，故选 B.2. 给出以下四个命题：（ ）若 ab，则 ； 若 ac2bc2，则 ab； 若 a|b|，则 ab；若 ab，则 a2b2.其中正确的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据不等式的性质分别进行判断，注意结合特值法求解.详解：若 成立，错误； ，则 ，正确； 若 成立，则 成立，正确；若 ， 成立，
2、则 不成立，错误，正确的命题为，故选 B.点睛：本题考查不等式的性质的应用，要求熟练掌握不等式性质成立的条件，同时注意运用特值法判断，属于简单题.3. 已知等比数列 an中，a 1a 310，a 4a 6 ，则该数列的公比 q 为 ( )- 2 -A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D【解析】 选 D.4. 在 中,角 的对边分别为 ,若 ,则角 的值为( )A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】试题分析：由余弦定理和及已知条件得 ，所以 ，又，所以 或 ，故选 D.考点：1.余弦定理；2.同角三角基本关系.视频5. 在 中,内角 所对的边分别是 已知 , ,则 ( )A. B.
3、 C. D. 【答案】A【解析】试题分析：据正弦定理结合已知可得 ，整理得，故 ，由二倍角公式得 .考点：正弦定理及二倍角公式.【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如 ,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定理 ，余弦定理， 实现边与角的互相转化.- 3 -视频6. 在等差数列 中， 为前 项和， ，则 =（ ）A. 55 B. 11 C. 50 D. 60【答案】A【解析】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，即故选 A7. 下列命题中正确的是( )A. 的最小值是 B. 的最大值是C. 的最小值是 4 D. 的最小值是
4、【答案】B【解析】分析：直接利用基本不等式成立的条件判断即可.详解：对于 , ，当 时， ，当 时， ， 错误；对于 ， ，在 时， ，当且仅当 ，即 时“=” 成立， 的最小值是 ， 正确；对于 ， ，当且仅当 ，即 时取“=” ， 不成立， 错误；对于 ， ，在 时， - 4 -，当且仅当 ，即 时“=”成立，的最小值是 ， 错误，故选 B.点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成
5、立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.8. 在 中,角 所对的边长分别为 ,若 , ,则( )A. B. C. D. 与 的大小关系不能确定【答案】A【解析】试题分析： 由余弦定理可得， 把 代入可得，解方程可得， .故选 B考点：余弦定理9. 已知各项不为 0 的等差数列 an满足 a42a 3a 80，数列 bn是等比数列，且 b7a 7，则 b3b8b10 ( )A. 1 B. 8 C. 4 D. 2【答案】B【解析】 ，选 B.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算
6、,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.- 5 -10. 设 .若 是 与 的等比中项,则 的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用等比中项的定义即可得出 的关系式，再利用基本不等式的性质，即可求出其最小值.详解：由 是 与 的等比中项知 ，当且仅当 时等号成立，的最小值为 ，故选 B.点睛：本题主要考查利用基本不等
7、式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.11. 已知 是锐角，那么下列各值中， 能取到的一个可能值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：转化 是锐角，可确定 的范围，可得，从而可得结果.详解： ，又 ，排除 ，故选 A.点睛：本题考查两角和的正弦公式，三角函数的最值，正弦函数的图象与性质，意在考查综- 6 -合运用
8、所学知识解答问题的能力，属于中档题.12. 已知 an满足 a1a 21， ，则 a6a 5的值为( )A. 48 B. 96 C. 120 D. 130【答案】B【解析】由 可知 是等差数列，公差为 1，首项为 1， n，累乘得 an( n1)( n2)321( n2)， a6 a51202496.选 B.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把正确答案填在答题卡的横线上，填在试卷上的答案无效）13. 已知集合 则 =_.【答案】R【解析】分析：根据一元二次不等式的解法先将 化简，再由并集的运算求 .详解： 因为 ，或 ，故答案为 .点睛：本题考查并集及其运算，一元二
9、次不等式的解法，正确化简集合 是关键. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 或属于集合 的元素的集合.14. 点(2， t)在直线 2x3 y60 的上方，则 t 的取值范围是_【答案】( ，)【解析】因为点 在直线 的上方，所以 ,即故答案为：15. 已知实数 满足 ,则目标函数 的最大值是 _.【答案】【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的点斜式，由图看出目标函- 7 -数取得最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数得结论.详解：由实数 满足 作可行域如图，由 ，得 ，要使
10、最大，则直线 的截距最大，由图看出，当直线 ，过可行域内的点 时直线 轴上的截距最大，的最大值是 ，故答案为 .点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16. 已知数列 满足 ,且 ,则 的值是_.【答案】-1175.三、解答题：(共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤).17. 在等比数列 中, , ,试
11、求:（1） 和公比 ;- 8 -（2）前 项的和 .【答案】 （1） 或 .（2）182【解析】本试题主要是考查了数列的概念和数列的前 n 项和的运用。（1）因为等比数列 中， ， ,利用首项和公比表示通项公式得到结论。（2）结合上一问的结论，表示数列的前 n 项和即可。(1)(2)当 q=3 时， ；当 q=-3 时， .18. 已知函数 ,求（1）求函数的最小值及此时的 的集合。（2）此函数的图像可以由函数 的图像经过怎样变换而得到【答案】 （1）当x| 时,最小值为 （2）向左平移 个单位,向上平移个单位【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根
12、据正弦函数性质求最值以及对应自变量 的集合；（2）先向左平移，再向上平移，注意平移单位.试题解析：（1）因为 ，所以 ，因此（2）由函数 的图像向左平移 个单位，向上平移 2 个单位得到.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言.19. 已知数列 满足 ,其中 .（1）设 ,求证:数列 是等差数列,并求出 的通项公式;- 9 -（2）设 ,数列 的前 项和为 .【答案】 （1） （2）见解析【解析】分析：（1）利用递推公式即可得出 为一个常数，从而证明数列 是是等差数列，再利用等
13、差数列的通项公式即可得到 ，进而得到 ；（2）利用（1）的结论可得，利用“裂项相消法”即可得到 . 详解： 1. (常数),数列 是等差数列. , .因此 ,由 得 .2.由 得 , ,点睛：本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方- 10 -法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3） ；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20. 已知 的内角 的对边分别为 ,且 ,（1）若点 在边 上,且 ,求 的面积
14、（2）若 为锐角三角形,且 ,求 的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】分析：（1）由 利用正弦定理可得 ，结和两角和的正弦公式与诱导公式可得 ，再利用正弦定理可得 ，由余弦定理可得 ，从而利用三角形面积公式可得结果；（2）由余弦定理可得 ，结合求得 ，由正弦定理结合两角和的正弦公式可得 ，从而可得结果.详解：（1）在 中， ，则由正弦定理得，由 得，又 ，即，由余弦定理有 ，则- 11 -（2）由 知， ，得，由正弦定理 ，则由 为锐角三角形，则 ，得即 的取值范围为点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，
15、要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到21. 设数列 an的前 n 项和为 Sn，点( n， )(nN )均在函数 y3 x2 的图象上(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn ， Tn是数列 bn的前 n 项和，求使得 Tn 对所有 nN 都成立的最小正整数m【答案】 （1） an6 n5（2）10【解析】试题分析：（1）由题意可得 ，然后根据 求通项公式；（2）根据数列 bn通项公式得特点，利用列项求和的方法求得 ，故 ，从而要使 Tn 对所有 nN *都成立，只需 ，求出 后可得解。试题解析：(
16、1)依题意得 3 n2，即 Sn3 n22 n.当 n2 时， an Sn Sn1 3 n22 n3( n1) 22( n1)6 n5，当 n1 时， a1 S1312615，满足上式，- 12 -所以 an6 n5 ( nN *)(2)由(1)得 bn ，故 Tn (1 )( )( ) ， 。 对所有 nN *都成立， ，解得 。满足要求的最小正整数 m 为 10.点睛:数列综合题的类型及特点（1）数列与函数的综合问题主要有以下两个命题角度：已知函数条件，解决数列问题；已知数列条件，解决函数问题（2）数列与不等式结合，考查方式主要有三种：判断数列问题中的一些不等关系；以数列为载体，考查不等式
17、的恒成立问题；考查与数列问题有关的不等式的证明问题在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点22. 已知 an为等差数列，前 n 项和为 Sn(nN *)， bn是首项为 2 的等比数列，且公比大于0， b2 b312， b3 a42 a1， S1111 b4(1)求 an和 bn的通项公式；(2)求数列 a2nbn的前 n 项和( nN *) 【答案】 （1） an=3n-2 （2）【解析】分析：(1)设公差为 ，公比为 ，由题意可得 ，则 ，结合题意得到关于首项、公差的方程组可得 ，则 .(2)由题意可得： ，错位相减可得其前 n 项和为 .详解：(1)设公差为 ，公比为 ， ，即 ， ，- 13 -又 ， ，又 ， 即 由 ， 即 解得 .(2) , ，设前 项和为 ，则 ，上述两式相减，得：= = .点睛：本题的核心是考查错位相减求和的方法，一般地，如果数列 an是等差数列， bn是等比数列，求数列 anbn的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列 bn的公比，然后作差求解
