1、材料力学,第九章 应力状态,一、应力状态的概念及其描述,（一）、应力状态的概念,材料力学,轴向拉压,同一横截面上各点应力相等：,同一点在斜截面上时：,应力状态/应力状态的概念及其描述,材料力学,此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。,应力状态/应力状态的概念及其描述,材料力学,横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。,应力状态/应力状态的概念及其描述,材料力学,过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。,应
2、力,哪一个面上？ 哪一点？,哪一点？ 哪个方向面？,指明,应力状态/应力状态的概念及其描述,材料力学,1、应力的面的概念,应力的三个重要的概念,2、应力的点的概念,3、应力状态的概念,应力状态/应力状态的概念及其描述,材料力学,微 元 （Element）,（二）、一点应力状态的描述,应力状态/应力状态的概念及其描述,材料力学,若单元体各个面上的应力已知， 由平衡即可确定任意方向面上的正 应力和切应力。,应力状态/应力状态的概念及其描述,材料力学,示例一,应力状态/应力状态的概念及其描述,材料力学,1,同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.,应力状态/应力状态的概念及其描述,材料力学,示例二
3、：,应力状态/应力状态的概念及其描述,S平面,材料力学,S平面,2,3,应力状态/应力状态的概念及其描述,材料力学,主应力：主平面上的正应力,主平面：单元体上剪应力为零的平面,通过任意的受力构件中任意一点，总可以找到三个 相互垂直的主平面，因此每一点都有三个主应力，以 s1，s2 和 s3 表示，且,s1s2 s3,应力状态/应力状态的概念及其描述,材料力学,同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式：,应力状态/应力状态的概念及其描述,材料力学,三向（空间）应力状态,( Three-Dimensional State of Stresses ),应力状态/应力状态的概念及其描述,材料力学,(
4、Plane State of Stresses ),平面（二向）应力状态,应力状态/应力状态的概念及其描述,材料力学,单向应力状态 ( One Dimensional State of Stresses ),纯剪应力状态 ( Shearing State of Stresses ),应力状态/应力状态的概念及其描述,材料力学,三向应力状态,平面应力状态,单向应力状态,纯剪应力状态,应力状态/应力状态的概念及其描述,材料力学,二、平面应力状态分析,求垂直于xy平面的任意斜截面ef上的应力。,e,f,应力状态/平面应力状态分析,材料力学,1、正应力正负号规则,应力状态/平面应力状态分析,材料力学,
5、使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。,切应力正负号规则,应力状态/平面应力状态分析,材料力学,由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。,应力状态/平面应力状态分析,材料力学,平衡对象用ef斜截面截取的微元局部,2、利用截面法及微元局部的平衡方程,应力状态/平面应力状态分析,dAsin,材料力学,参加平衡的量 应力乘以其作用的面积,应力状态/平面应力状态分析,材料力学,应力状态/平面应力状态分析,材料力学,dA,应力状态/平面应力状态分析,材料力学,解得：,用 斜截面截取，此截面上的应力为,应力状态/平面应力状态分析,材料力学,因此,即单元体两个相互垂直面上 的正应力之和是一个常数。,
6、即又一次证明了剪应力的互等定理。,应力状态/平面应力状态分析,材料力学,三、应 力 圆 （Mohrs Circle for Stresses）,1、应力圆方程,应力状态/应力圆,(1),(2),材料力学,应 力 圆,（Mohr 圆）,应力状态/应力圆,应力圆上某一点的 坐标值对应着微元 某一方向上的正应 力和切应力,材料力学,在t -s坐标系中，标定与微元A、D面上 应力对应的点a和d,A,D,2.应力圆的画法,应力状态/应力圆,材料力学,点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向上的正应力和切应力,3、几种对应关系,应力状态/应力圆,材料力学,转向对应半径旋转方向与方向面法线旋转方向一
7、致；,C,二倍角对应半径转过的角度是方向面旋转 角度的两倍。,应力状态/应力圆,(sx ,txy),o,2qp,材料力学,4、应力圆的应用信息源,思维分析的工具，而不是计算工具。,应力状态/应力圆,材料力学,d,a,c,5、基本变形的应力状态,单向拉伸,应力状态/应力圆,材料力学,单向拉伸,应力状态/应力圆,材料力学,可见：,45 方向面既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。,应力状态/应力圆,材料力学,B,E,纯剪切,应力状态/应力圆,材料力学,纯剪切,应力状态/应力圆,材料力学,结果表明：,45 方向面只有正应力没有切应力，而且正应力为最大值。,应力状态/应力圆,材料力学
8、,四、平面应力状态的极值与主应力,（一）主平面、主应力与主方向,2qp,A,D,主平面（Principal Plane）：t = 0, 与应力圆上和横轴交点对应的面,应力状态/应力圆,材料力学,主应力的确定,应力状态/应力圆,材料力学,主应力表达式,应力状态/应力圆,材料力学,主应力排序： s1s2 s3,应力状态/应力圆,材料力学,s1,s2,s1,(sx ,txy),主方向的确定,负号表示从主应力的正方向 到x轴的正方向为顺时转向,应力状态/应力圆,材料力学,对应应力圆上的最高点的面上切应力最大，称为“ 面内最大切应力”。,tmax,（二）面内最大切应力,应力状态/应力圆,材料力学,应力状
9、态/应力圆,A,D,材料力学,（一）、图解法,f,应力状态/应力圆,解：,材料力学,主应力单元体：,应力状态/应力圆,材料力学,（1）斜面上的应力,应力状态/应力圆,（二）、解析法,材料力学,（2）主应力、主平面,应力状态/应力圆,材料力学,主平面的方位：,哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：,应力状态/应力圆,材料力学,主应力 的方向：,主应力 的方向：,+,+,应力状态/应力圆,材料力学,120,解：,（1）作应力圆,应力状态/应力圆,b,材料力学,（2）根据应力圆的几何关系确定主应力,半径,因此主应力为：,应力状态/应力圆,材料力学,（3）绘出主应力单元体。,s1,s2,s2
10、,s1,应力状态/应力圆,材料力学,分析：,1、本题亦可用解析法求解。,2、在某些情况下，单元体可以不取立方体，如平面应力状态问题，零应力面可以取矩形、三角形等，只要已知和零应力面垂直的任意两个面上的应力，就可以求出其它任意斜截面上的应力以及主应力。例如：,应力状态/应力圆,材料力学,4、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最为重要。,应力状态/应力圆,材料力学,五、三向应力状态的概念,三向应力状态三个主应力均不为零的应力状态；特例三个主应力及其主方向均已知。, 定 义,应力状态/三向应力状态的概念,材料力学, 三向应力状态的应力圆,应力状态/三向应力状态的概念,材料力学,s1,s
11、2,s3,材料力学,平行于s1的方向面其上之应力与s1无关，于是由s2 、 s3可作出应力圆 I,平行于s2的方向面其上之应力与s2无关，于是由s1 、 s3可作出应力圆 II,平行于s3的方向面其上之应力与s3无关，于是由s1 、 s2可作出应力圆 III,s1,s2,s3,应力状态/三向应力状态的概念,材料力学,在-平面内，代表任意斜截面的应力的点或位于 应力圆上，或位于三个应力圆所构成的区域内。,应力状态/三向应力状态的概念,材料力学,在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：,应力状态/三向应力状态的概念,材料力学, 三向应力状态中,（方向与 及 成45角）,应力状态/三向应力状
12、态的概念,材料力学,六 、 广义胡克定律, 各向同性材料的广义胡克定律,1、横向变形与泊松比（各向同性材料）,-泊松比,应力状态/广义胡克定律，,材料力学,2、三向应力状态的广义胡克定律叠加法,+,+,应力状态/广义胡克定律，,材料力学,应力状态/广义胡克定律，,材料力学,应力状态/广义胡克定律，,材料力学,应力状态/广义胡克定律，,材料力学,分析：,1、,即,2、当 时，即为二向应力状态：,3、当 时，即为单向应力状态；,即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。,应力状态/广义胡克定律，,材料力学,4、若单元体上作用的不是主应力，而是一般的应力时，则单元体不仅有线变形 ，而且有角变
13、形 。其应力-应 变关系为：,应力状态/广义胡克定律，,材料力学,3、三个弹性常数之间的关系,应力状态/广义胡克定律，,材料力学,例3：已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了 测定拉力F和力矩m，可沿轴向及与轴向成45方向测出 线应变。现测得轴向应变 ， 45方向的应变 为 。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200 Gpa,泊松比=0.3。试求F和m的值。,u,u,应力状态/广义胡克定律，,材料力学,解：,（1）K点处的应力状态分析,在K点取出单元体：,K,其横截面上的应力分量为：,（2）计算外力F.,由广义胡克定律：,应力状态/广义胡克定律，,材料力学,解得：,（3）计算外力偶m.,已知,式中,应力状态/广义胡克定律，,材料力学,由,解得：,因此,应力状态/广义胡克定律，,
