1、第8章 应力状态与应变状态分析,8. 应力状态的概念,一、问题的提出,低碳钢拉伸,钢筋混凝土梁的斜裂缝,2.受力构件内应力的特征,1.实例,1）构件不同截面上的应力状况一般是不同的。,2）构件同一截面上不同点处的应力一般是不相同的。,3）构件内同一点处，在不同方位截面上的应力一般也是不相同的。,因此，当提及应力时，必须指明“应力的点和面”,二、一点的应力状态,通过受力构件内的一点，不同方位截面上的应力集合，称为该点处的应力状态（State of Stress at a Given Point） 。,1.定义：,3.应力状态的表示,在于确定在哪个截面上该点处有最大正应力，在哪个截面上该点处有最大
2、剪应力，以及它们的数值，为处于复杂应力状态下杆件的强度计算提供依据。,2.研究危险点处应力状态的目的,用单元体表示点的应力状态。,围绕所研究的点，截取一单元体(如微小正六面体)，以单元体各面上的应力分量表示周围材料对其作用，这样的应力单元体，就表示该点处的应力状态。,4.应力单元体的特征,1）单元体的尺寸无限小，每个面上的应力为均匀分布。2）单元体表示一点处的应力，故相互平行截面上的应力 相同。3）同一点处的应力状态，若所取单元体的方位不同，则所表示的形态并不相同，如图所示均为轴向拉杆A点处的应力状态，但两单元体是等价的。,三、主平面、主应力,1.主平面(Principal Plane) 应力
3、单元体中切应力为零的平面，称为主平面。,2.主单元体(Principal bidy),由主平面构成的单元体。,3.主应力主平面上的正应力。主应力的记号分别用表示， 且规定按代数值 排列。,4.主方向：主平面的法向。,5.应力状态的普遍情况,在任意载荷的作用下，物体内一点处应力状态的普遍情况，最多可能有 9 个应力分量，即,由切应力互等定理，可知,因比，普遍情况下一点处应力状态的独立应力分量是 6 个。,在普通情况下，任一点处的应力状态，必定存在一个由三对相互垂直的主平面所组成的主应力单元体。,但在三个主应力中有两个或三个主应力相等的特殊情况下，主平面及主方向便会多余三个。,四、应力状态的分类,
4、单向应力状态只有一个主应力不等于零的应力状态。 二向应力状态有两个主应力不等于零的应力状态。 三向（空间）应力状态三个主应力均不等于零的应力状态。,纯剪切应力状态单元体的各个侧面只有切应力而无正应力的应力状态。,单向应力状态和二向应力状态均属于平面应力状态。 三向应力状态属于空间应力状态。 单向应力状态也称简单应力状态， 而二向应力状态和三向应力状态称复杂应力状态。,零应力状态,应力状态的叠加：,其结果不一定属于原有应力状态。,8.2 平面应力状态分析的解析法,一、任意a斜截面上的应力,符号规定,正应力 以拉应力为正； 切应力t 以使单元体绕单元体内任意一点有顺时针转动趋势者为正； 方向角a
5、以逆时针为正。,二、用解析法求任意a斜截面上的应力,1.公式推导：,2.任意a斜截面上的应力公式,3.正应力极值主应力,3.正应力极值主应力,max的指向是介于仅由单元体切应力txy=tyx产生的主拉应力指向与单元体正应力x 、 y中代数值较大的一个正应力指向之间。,4.切应力极值,极值切应力作用面上的正应力：,切应力的极值作用面与正应力的极值作用面互成 的夹角,5.平面应力状态分析的特征,1）斜截面应力、主应力及最大切应力均是指 xy 平面内的应力，即其作用面均垂宜于 xy 平面。,2)任意两相互垂直截面上的正应力之和为常量,3）平面应力状态中，垂直于该平面的主应力为零。故单元体三个主应力的
6、序号应根据max和min的正负号而定，即,4）主平面上的切应力必等于零；最大切应力作用面上的正应 力一般不等于零，且等于 (x+y)/2 。,5）主平面与最大切应力作用面必互成450。,6.用解析法求任意a斜截面上的应力示例,例：分析受扭构件的破坏规律。,例：,8.3 平面应力状态分析的图解法,1.应力圆（ Stress Circle）,对上述方程消去参数（2）， 得应力圆方程：,此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）,2.应力圆的画法,(2)在坐标系内画出点A( x，xy) 和B(y，yx),(3)AB与sa 轴的交点C便是圆心。,(4)以C为圆心，以AC为半
7、径 画圆应力圆；,(1)建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）,3.单元体与应力圆的对应关系,单 元 体,应 力 圆,单元体某平面上的应力分量 单元体两平面间的夹角a 单元体的主应力值 单元体的最大剪应力值,应力圆某定点的坐标 应力圆两对应点所夹的中心角2a 应力圆与sa轴交点的坐标 应力圆的半径,2a0,4.在应力圆上标出极值应力,8.4 空间应力状态简介,1、空间应力状态,2、三向应力分析,图a,图b,(1)弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。,(2)整个单元体内的最大切应力为：,8.5 广义胡克定律 体应变,1.单拉下的应力-
8、应变关系,2.纯剪切的应力-应变关系,一、广义胡克定律,3.复杂状态下的应力 - 应变关系,依叠加原理,及根据连续均匀各向同性线弹性材料，正应力仅引起线应变，切应力仅引起相应平面的切应变，得:,广义胡克定律,4.主应力 - 主应变关系,主应力与主应变方向一致,5.平面状态下的应力-应变关系:,二、材料弹性常数 E、G、 间的关系,对于各向同性材料，独立的弹性常数为 2 个,三、体积应变与应力分量间的关系,对于各向同性材料，线应变仅由正应力引起，又由于切应变不引起体积改变。因此，在线弹性、微小应变情况下，空间应力状态单元体的体积应变为：,体应变又称体积应变，是指在应力状态下单元体单位体积的体积改
9、变。,1.主单元体：,2.纯剪切平面应力状态,可见，切应力的存在并不影响该点处的体应变。,3.一般单元体,小变形时连续均质各向同性线弹性体内，一点处的体应变，只与过该点沿三个相互垂直的坐标轴方向正应力的代数和成正比，而与坐标方位和切应力无关。,结论：,例,已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6， 2= 16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 n=0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。,例,图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 ，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材
10、料的 E=210GPa，n=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。,s1,sm,8.6 复杂应力状态的应变能密度,一、应变能和应变能密度,1.应变能弹性体由于外力在外力作用方向的位移上作功而积蓄在弹性体中的能量。,2.应变能密度弹性体单位体积内积蓄的应变能。,微元功,元比能,(1)单向应力状态下的应变能密度,(2)三向应力状态下的应变能密度,等于所示阴影部分面积,二、体积改变能密度和畸变能密度,1.体积改变能密度 ：图b示单元体受平均应力作用，其体积应变就是该点处的 体积应变，即与图所示单元的体应变相同；且由于三个主应力相等，变形后形状与原来形状
11、相似，只有体积的改变而无形状的改变，故全部体应变为体积改变能密度。,1.体积改变能密度,2.畸变能密度 ：图c所示单元体体积应变为零，其应变就是该点处的畸变能密度 :,例： 用能量法证明三个弹性常数间的关系。,1）纯剪单元体的应变能密度为：,2）纯剪单元体应变能密度的主应力表示为：,8.7 梁的主应力及主应力迹线的概念,一、梁内各点的主应力,可见：梁内任一点的两个非零主应力中，一个为拉应力，另一个为压应力，且互相垂直。主应力的方向沿梁高连续变化。,梁内各点的主应力,1,s1,s3,s3,s1,s3,4,s1,s1,s3,5,a0,45,a0,s,t,A1,A2,D2,D1,C,O,s,A2,D
12、2,D1,C,A1,O,t,2a0,s,t,D2,D1,C,D1,O,2a0= 90,s,D2,A1,O,t,2a0,C,D1,A2,s,t,A2,D2,D1,C,A1,O,二、平面弯曲梁内的主应力迹线：,在梁的xy平面内绘出的表示各点主应力方向两组正交曲线，一组曲线表示主拉应力方向，另一组曲线表示主压应力方向，曲线上各点的主应力方向均与曲线相切。,1.定义：,2.目的：,在工程中，为了更好地发挥材料的作用，常采用两种材料制成的梁。如钢筋混凝土梁。明确主拉应力方向，以便合理地布置钢筋。,实线表示拉主应力迹线、虚线表示压主应力迹线。,3.主应力迹线的画法：,x,y,1,1 截面,2,2 截面,3,3 截面,4,4 截面,i,i 截面,n,n 截面,4.主应力迹线特点：,(1)两组曲线在相交处互相垂直； (2)所有主应力迹线都将穿过中性层，且与中性层成450； (3)在梁底（顶）处，主应力迹线与底（顶）平行或垂直； (4)梁的支承和荷载不同，主应力迹线形式不同； (5)主应力迹线只显示主应力的方向，不反映大小。,
