1、- 1 -北京市东城区 20172018 学年下学期高二年级期末考试数学试卷（理科）本试卷共 100 分。考试时长 120 分钟。第一部分（选择题 共 36 分）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数 ， 互为共轭复数，若 ，则1z2 121iz2zA. B. C. D. iii12. 在对两个变量 x，y 进行线性回归分析时有下列步骤：对所求出的回归直线方程作出解释；收集数据（ ， ） ，i=1，2，n；ii求线性回归方程；选用线性回归方程并求相关系数；根据所搜集的数据绘制散点图，确定存在线性关系。若根
2、据可靠性要求能够作出变量 x，y 具有线性相关结论，则下列操作顺序正确的是A. B. C. D. 3. 等于10)2(dxexA. B. C. D. 1ee4. 若随机变量 ，且 ， ，则),(pnBX25)(XE4)(D)1(XPA. B. C. D. 32183165. 下面几个推理过程是演绎推理的是A. 在数列 中，根据 ， ，计算出 ， ,na1*),2(21Nnann 2a3的值，然后猜想 的通项公式4anB. 某校高二共 8 个班，一班 51 人，二班 52 人，三班 52 人，由此推测各班人数都超过50 人C. 因为无限不循环小数是无理数，而 是无限不循环小数，所以 是无理数-
3、2 -D. 由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质6. 6 将一枚均匀的硬币连掷 5 次，如果出现 k 次正面的概率等于出现 次正面的概率，1k那么 k 的值为A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 在极坐标系中，过点 且与极轴平行的直线方程是),(A. B. C. D. 22cos2sin8. 如图是正态分布 ， ， 相应的曲线，那),(1N),(2),(3N)0,321么 ， ， 的大小关系是123A. B. 321 123C. D. 39. 现有五张卡片，其中两张上写着数字 5，三张上写着数字 8，从这五张卡片中选出四张组成一个四位数，那么这样的四位数共有A. 4 个 B. 6 个
4、 C. 10 个 D. 14 个10. 已知 ， ，则211)( nnf *NA. f（n）共有 n 项，当 n=2 时， 3)(fB. f（n）共有 项，当 n=2 时， 42C. f（n）共有 项，当 时，n2 1)(fD. f（n）共有 项，当 时，1311. 已知函数 f（x）的导函数 是二次函数，且 的图象关于 y 轴对称，)(xf )(xfy，若 的极大值与极小值之和为 4，则 f（0）=0)3(f)(- 3 -A. 2 B. 0 C. 2 D. 412. 如图所示，一质点 P（x,y）在 平面上沿曲线从 A 到 B 作匀速运动，其在 x 轴上xOy的投影点 Q（x，0）的运动速度
5、 的图象大致为)(tvV第二部分（非选择题 共 64 分）二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）13. 学校食堂在某天中午备有 5 种素菜，3 种荤菜，2 种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐_种。14. 在复平面内，若复数 z 同时满足下列条件： ；Riz2 对应的点在第三象限。试写出一个满足条件的复数 z=_。15. 曲线 （t 为参数， ）与 x 轴的交点坐标是_。yx152Rt16. 在 的展开式中，第三项与第五项的系数相等，则 n=_；展开式中的常nx)(数项为_。17. 观察下列等式：1=1；14=（1+2） ；14+9=1+2+3；14+
6、916=（1+2+3+4）根据上述规律，第 6 个式子为_；第 n 个式子为_。18. 若曲线 上存在唯一的点 P，使得在点 P 的切线与曲线 有且只有一)(xfy )(xfy- 4 -个公共点，则称曲线 存在“真切”线，给出下列曲线： ； ；)(xfy 2xy3；xylnln2则存在“真切”线的所有曲线的序号为_三、解答题（本题共 4 小题，共 46 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19. （本题满分 9 分）已知 ， ， ， ，试证明 a,b,c 至少有一个不小于Rx21xaxb12xc1。20. （本题满分 12 分）已知函数 （a 为常数）的图象与 y 轴交于点 A，曲线
7、y=f（x）在点 A 处xef)(的切线斜率为一 1（I）求 a 的值并求该切线方程；（）求 f（x）在区间一 1，1上的最小值和最大值；（）证明：当 x0 时， xe221. （本题满分 12 分）某书店打算对 A，B，C，D 四类图书进行促销，为了解销售情况，在一天中随机调查了15 位顾客（记为 ， 1，2，3，15）购买这四类图书的情况，记录如下（单位：本）：ia顾客图书123456a789a1012a3145aA 1 1 1 1 1B 1 1 1 1 1 1 1 1C 1 1 1 1 1 1 1D 1 1 1 1 1 1（I）若该书店每天的人流量约为 100 人次，一个月按 30 天计
8、算，试估计 A 类图书的月销量 （单位：本） ；（）书店进行促销活动，对购买过两类以上（含两类）图书的顾客赠送 5 元电子红- 5 -包现有甲、乙、丙三人，记他们获得的电子红包的总金额为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望；（）若某顾客已选中 B 类图书，为提高书店销售业绩，应继续向其推荐哪类图书?（结果不需要证明）22. （本题满分 13 分）已知函数 ， 。xmfln)(R（I）若函数 y=f（x）+x 的最小值为 0，求 m 的值；（）若函数 y=f（x）与 的图象在（1，0）处有公切线 l)(2)(xh（i）求 m 的值；（ii）求证： 与 的公切线只有 l 一条)(fy)(- 6
9、 -【试题答案】一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）1. A 2. D 3. B 4. C 5. C6. B 7. D 8. A 9. C 10. D11. A 12. B二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）13. 30 14. （答案不唯一）i215. （3，0）16. 6 2017. 14+916+2536=（1+2+3+4+5+6）14+916+（1） n+1n2=（1） n+1（1+2+n）, *Nn18. 注：两个空的填空题第一个空填对得 1 分，第二个空填对得 2 分三、解答题（本题共 4 小题，共 46 分）19. 本题满分 9
10、分证明：假设 a,b,c 都小于 1，即 ，3 分1,cba则有 3cba而 6 分3)2(2xx两者矛盾，所以假设不成立，故 a,b,c 至少有一个不小于 1 9 分20. 本题满分 12 分解：（I）由 ,得 2 分axef)( aefx)(设 A（0,m） ，则由已知得 10即 ，解得1a2所以 ， ，此时xef)()(xef )1,0(A故在点 A 处的切线方程为 4 分1y- 7 -（II）令 ，得0)(xf2ln当 时， ，f（x）单调递减；当 时， ， 单调递2ln)(f 2lnx0)(xf)(f增所以当 时， 单调递减； 时，f（x）单调递增)l,1x)(f 1,(l故当 时，
11、f（x）有最小值，f（ln2）=22ln2=2ln4； 6 分2n又 ， ，显然 ，)(1ef 2)(e)(ff故 在区间1，1上的最大值为 8 分x 21)(e（III）证明：令 ，则2)(xegxg由（II）得， 04ln)(l) f故 在 R 上单调递增)(x又 01g所以当 时， ，即 12 分x0)(gxxe221. 本题满分 12 分解：（I） （本）13015答：A 类图书的月销量约为 1000 本 2 分（II）顾客购买两类（含两类）以上图书的概率为 5319PX 可取 0，5，10，15 4 分； ；1258)(3P213)5(CXP6； 8 分3C73所以 X 的分布列为X
12、 0 5 10 15P 1258123612541257所以 10 分97540)( E（III）图书 D 12 分- 8 -22. （本题满分 13 分）解：（I）由题意，得函数 ，所以 2 分xmylnxmy1当 时，函数 在 上单调递增，此时无最小值，舍去；0m),0(当 时，由 ，得yx当 时， ，原函数单调递减；当 时， ，原函数单调),(x ),(mx0y递增所以当 时，函数 y 取最小值，即 ，解得 m=e 6 分m 0)ln(（II） （i）由 ，得 ，所以xfln)(xf) f1由 ，得 ，所以021)(xh21(h2)(h由已知有 ，解得 8 分)(fm（ii）设函数 f（x）与 h（x）上各有一点 ，)ln21,(xA)21,(xB则 f（x）以点 A 为切点的切线方程为 l11yh（x）以点 B 为切点的切线方程为 22x由两条切线重合，得 (*)21ln2,2xx消去 ，整理得 ，即1x22lx01l2令 ，得ln)()( x所以函数 在（0，1）单调递减，在 单调递增。x),1(又 ，所以函数 有唯一零点 x=1，)()(x从而方程组（*）有唯一解 1,2- 9 -即此时函数 f（x）与 h（x）的图象有且只有一条公切线 13 分
