1、- 1 -北重三中 20182019 学年度第二学期高一年级期中考试数学试题满分：150 分 考试时长：120 分钟第 I 卷 （选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知 ，那么下列不等式成立的是（ ）0,1abA. B. C. D. 22ab2abab【答案】D【解析】试题分析：由于每个式子中都有 ，故先比较 的大小.因为 ，所以a21,b10b.21b又 .20,ab考点：不等关系.2.在 中，角 所对的边分别是 .已知 ，那么角ABC, ,abc02,3,6bB等于（ ）A. B.
2、 C. D. 01350904503【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理可求得 ，根据大边对大角 的 特点求得 .sinAA【详解】由正弦定理 得：iiabBsin2si602i3aBbab45- 2 -本题正确选项： C【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形的问题，涉及大边对大角的特点，属于基础题.3.算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一” ，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有 381 盏灯，则该塔中间一层灯的盏数是（ ）A. 24 B. 48 C. 12 D. 60【答案】A【解析】由题意可知宝
3、塔从上至下每层的灯盏数构成公比为 2 的等比数列，设等比数列的首项为 ，则有 ，7(1)38a解得 3a该塔中间一层（即第 4 层）的灯盏数为 选 A3244.等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 = ( )nanS8,4521aa2019SA. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 2019【答案】B【解析】【分析】根据等差数列通项公式求得 和 ；代入等差数列前 项和公式即可得到结果.1adn【详解】设等差数列公差为则： ，解得：14125348ad12d1019 1092082107Sa本题正确选项： B【点睛】本题考查等差数列基本量的求解、等差数列前 项和公式的应用，属于基础题.
4、n- 3 -5.若 都是正数，且 ，则 的最大值为（ ）,ab1ba)1(baA. B. 2 C. D. 423 94【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式，即可求解 的最大值，得到答案。1ab【详解】由题意，实数 ，,R则 ，当且仅当 ，即 等号成立，291()4ab1ab12a即 的最大值为 ，故选 C。【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最大值问题，其中解答熟练应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。6.已知锐角 的外接圆半径为 ，且 ,则 （ ）VABC3BC3,4ABCA. B. C. D. 376513【答案】D【解析】，因为 为锐角，所以 ，则3
5、2R,2BCBCsinAsiA3A，故选 D.2234cos1,37.在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则ABC、 、 cba、 AbBatant22的形状为（ ）- 4 -A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理化角，再根据角的关系确定三角形形状.【详解】因为 ，所以22tantBbA22sinsincocoBA或 ，选 D.sincosisii2,A2【点睛】本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.8. （ ）3tan20siA. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】本题首先
6、可以借助同角三角函数公式将 化简为 ，再根据两角差的正弦公3tan20si-3cos20ini-式将 转化为 ，最后根据二倍角公式将 转化为 ，即3cos20ini-2sin40co si4n20co4sin20co可得出结果。【详解】 ，()3sin20 122co3 cos0in3tan203cos20insi i i=- - -= ，故选 D。()2sin60i4sincosn20co20co4-=【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查同角三角函数公式、两角差的正弦公式以及二倍角公式，考查推理能力，考查化归与转化思想，提高了学生对三角函数公式的使用能力，是中档题。- 5 -9.已知
7、 ，且 ，则 等于（ ）1tan4202siniA. B. C. D. 525525【答案】B【解析】【分析】先根据已知条件求得 的值，然后求得 的值，由此求得题目所求表达式的值.tansin,co【详解】依题意 ，由 及1tan1tan,t423 22sin1co3，解得 ，故02si,cos002sini，故选 B.2sincoin5【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查运算求解能力，属于基础题.10.已知 ，不等式 的解集是 ，若对于任意 ，2fxbxc0fx1,31,0x不等式 恒成立，则 的取值范围（ ）4ttA. B. C. D.
8、 ,2,2,44,【答案】B【解析】【分析】由不等式的解集是 ，可得 b、 c 的值,代入不等式 f（ x）+ t4 后变量分离得1,3t2 x24 x2， x1，0，设 g（ x）2 x24 x2，求 g(x)在区间1，0上的最小值可得答案- 6 -【详解】由不等式 的解集是 可知-1 和 3 是方程 的根，0fx 1,， 20xbc,解得 b=4，c=6, ,23bc即 246fxx不等式 化为 ，4fxt2,t10令 g（ x）2 x24 x2， ，由二次函数图像的性质可知 g(x)在 上单调递减，1,01,0则 g（ x）的最小值为 g(0)=-2， 2t则故选：B【点睛】本题考查一元
9、二次不等式的解法，考查不等式的恒成立问题，常用方法是变量分离，转为求函数最值问题.11.已知数列 的前 n 项和为 ， ，当 时， ，则 的值为（ anS1a2n1naS2019）A. 1008 B. 1009 C. 1010 D. 1011【答案】C【解析】【分析】利用 ，结合数列的递推公式可解决此问题12nnSa【详解】解：当 时， ，故 1nS12naS由得， ，即1n 所以 20192345201890Saa故选：C【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，含有 时常用 进行转化nS12nnSa12.已知数列 是 为首项， 为公差的等差数列， 是 为首项， 为公比的等比数列，na12nb-
10、 7 -设 ， ，则当 时， 的最大值是( )nbac12.,(*)nTccN2019nTA. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】B【解析】【分析】由题设知 ， ，由21na1nb和 ，得112 2422nnbnTaa 019nT，由此能求出当 时 n 的最大值0909nT【详解】 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， ，nn是以 1 为首项，2 为公比 的 等比数列， ，nb12nb112 1124 242n nnbbnTcaa ，214n n1n， ，解得： 09nT12090则当 时，n 的最大值是 10故选：B【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，结合含两个变
11、量的不等式的处理问题，易出错，属于中档题.第 II 卷 （非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。13.若 、 为实数, 且 , 则 的最小值为_ab2abba3【答案】6【解析】试题分析：因为 ，所以 ，当且仅当2abba3时取等- 8 -考点：均值不等式求最值【方法点睛】均值不等式（ ）求最值：使用条件“一正、二定、三相等” “一正“是指 ；“二定”是指 a 与 b 的和为定值或积为定值；“三相等”等号成立的条件成立当形式上看似能用均值不等式求最值，但等号成立的条件不成立，则应利用函数的单调性求最值如： ，利用函数在定义域内单调递增求最值14
12、.已知 ， ，则 _sinco1sin0sin【答案】 2【解析】分析：先根据条件解出 再根据两角和正弦公式化简求结果.sinco， ，详解：因为 ， ，所以si1sin0，22 11nco,i,c2因此 221sisisinossin.442点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，
13、再求角的范围，确定角.15.若点 都在直线 上，则数列 的前 项和取得最小时的 等于(,)na324yxnan_- 9 -【答案】7 或 8【解析】【分析】根据点在线上可得 ，从而可求得 ， ， ，从而可得结果.324na70a890a【详解】由题意得：令 得： ； 得：3240n8n可知： ， ， ，即7a90a78S的最小值为 或nS7S8本题正确结果： 或【点睛】本题考查等差数列前 项和的最值问题，关键是根据数列的通项公式求得变号项，n注意当某项等于零时，存在最值相等的情况.16.在 中， 点 在线段 上，且 ， ，则VABC60,DBC3BD2A面积的最大值为_【答案】32【解析】【分
14、析】在 、 中通过互补的两个角做为纽带，根据它们的余弦和为零，构造等式，通ABDC过这个等式，利用基本不等式，可以得到两边乘积的最大值，最后根据面积公式，可求出面积的最大值。【详解】设 ， 所以 ,cbBDx3CB2Dx在 中，由余弦定理可知： ，ABD24cosxcA在 中，由余弦定理可知： ，C28bCx- 10 -， cosADBCcoscs0ADBC2216xcb在中，由余弦定理可知： ， 223osxbBA,2219xbc由可得 ，2243636bccb因为 （当且仅当 等号成立） ，把代入中得 ，bc “ 6bc面积 .ABC13sin242SBACbc【点睛】本题考查了余弦定理、
15、面积公式、基本不等式。解决本题的关键是根据图形的特点，在两个三角形中，互补两个角的余弦值互为相反数，来构造等式来求解。三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.已知 .2()1fxax（1）当 时，解不等式 ；0f（2）若 ，解关于 x 的不等式 .0()x【答案】 （1） ；（2）见解析.|【解析】【分析】（1）代入 ，得到 ；解一元二次不等式求得结果；（2）分别在 和 两21afx 0种情况下，求解不等式得到结果.【详解】 （1）当 时，2a213fx则 ，解得： 230x|x（2）由题意知： 214a- 11 -当 ，即 时， ，解得：0
16、1a210x1x即解集为： 当 ，即 且 时令 ，解得： 或210ax1xa当 时，解集为：0当 时，解集为：1a1xa【点睛】本题考查普通一元二次不等式求解和含参数的一元二次不等式求解问题，属于基础题.18.已知 .)2cos(in32si)( xxf （1）求 在 的值域；()fx,（2）若 ，求 的值.10,()20fsin(2)3x【答案】(1) .(2) .,45【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式整理出 ，根据 的范围得到1sin62fxx的范围，结合 的图象可求得 的范围，代入求得所求值域；（2）利6xsinxsi用 求得 ；根据 的范围得到 的范围，再根据正弦值进一
17、10f365x6x- 12 -步确定 ，利用同角三角函数求解出 ，利用二倍角公式求得结果.,63xcos6x【详解】 （1）2131sin3sicocosinsi2262xxf xx当 时， ,63i,61sin,2x1,2fx（2） si60f 3sin65x0,xQ2,3x352,64cos65x32sinsinxx【点睛】本题考查正弦型函数的值域求解、同角三角函数值的求解、二倍角公式的应用.求解值域的关键是能够利用二倍角公式和辅助角公式将函数整理为 的形式，sinAxB利用整体对应的方式求得函数的值域；本题的易错点是在求解同角三角函数值的时候，未准确求解出角所处的范围，造成三角函数值的符
18、号求解错误.19.在 中，角 所对的边分别是 已知 VABC, .,cba(2)cosBbC（1）求 的大小；（2）若 的面积为 ，求 的周长3,6acVABC【答案】 （1） ；（2） 60【解析】- 13 -【分析】利用正弦定理，再进行三角恒等变换求 的值，从而求出 B 值； 由 的面1cosB2VAC积公式，利用余弦定理求得 b 的值，再求 的周长VAC【详解】解： 中， ，ABC2acsb由正弦定理可得 ，sinoinB整理可得 ，2icocsCsisinA又 A 为三角形内角， ，0iA所以 ，12cosB由 B 为三角形内角，可得 ；60B由 的面积为 ，即 ，2VAC3132ac
19、sin所以 ，460acsin又 ，由余弦定理得 22bacosB2()603634acacosac，4所以 ，6的周长为 ABC62abc【点睛】本题考查三角形的正弦、余弦定理和面积公式应用问题，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，是中档题20.已知 是等比数列， ， ，且 成等差数列 na0na31224,36a（1）求数列 的通项公式； （2）设 是等差数列，且 , , 求 .nb3ba9535721bnb- 14 -【答案】(1) .(2) .123nna26n【解析】【分析】（1）根据 成等差数列可得 ，化为关于 的方程，解方程求24,36a4236aq得 ，从而可得 ，根据等
20、比数列通项公式得到结果；（2）利用两个数列的关系得到 和q1 3b，根据等差数列通项公式求出基本量 和 ，从而可得数列 的首项和公差，利用9b1bd21nb等差数列求和公式得到结果.【详解】设等比数列 的公比为naq0q成等差数列 24,36a4236a，即 ，整理为：3q12q0232q解得： （舍）或1=，解得：231a31ann（2）由（1）可得： ，32b49528b设等差数列 的公差为 ，则 ，解得：nd18106bd61nb21nb由题意可知： 是以 为首项， 为公差的等差数列3223572116nnbbn【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、等差数列前 项和的求解问题.解决此类
21、问题的关键是能够求解出等差和等比数列的基本量，属于常规题型.- 15 -21.如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台 ，已知射线P为湿地两边夹角为 的公路(长度均超过 千米)，在两条公路 上分别设,ABC1202,ABC立游客接送点 ,从观景台 到 建造两条观光线路 ，测得 千米，MNP,NNM,2千米2(1)求线段 的长度；MN(2)若 ，求两条观光线路 与 之和的最大值60PPMN【答案】 （1） 千米；（2） 千米343【解析】【分析】（1）在 中利用余弦定理即可求得结果；（2）设 ，根据正弦定理可用AMNPN表示出 和 ，从而可将 整理为 ，根据 的范围可知PPM
22、N43sin0时，取得最大值.sin301【详解】 （1）在 中，由余弦定理得：AN22 21cos102MN 千米3（2）设 ，因为 ，所以P60MPN120PNM在 中，由正弦定理得：MNsinsinsi，234sinsi60P4i120P4siPN- 16 -314sin1204sincosin4si2PMN6si3coi00120315当 ，即 时， 取到最大值396PMN43两条观光线路距离之和的最大值为 千米4【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理求解实际问题，涉及到三角函数最值的求解问题，关键是能够将所求距离之和转化为关于角的函数问题，得到函数关系式后根据三角函数最值的求解方法求
23、得结果.22.定义 为 个正数 的“均倒数” 已知正项数列 的前12.np12,.npna项的“均倒数”为 n（1）求数列 的通项公式na（2）设数列 的前 项和为 ，若 对一切 恒成立，21nnnT4n24m*nN求实数 的取值范围m（3）令 ，问：是否存在正整数 使得 对一切 恒成立，如存在,9()10nnba kknb*求出 值；如不存在，说明理由k【答案】 （1） ；（2） ；（3）存在正整数 k=10 使得na15m或对一切 恒成立knb*N【解析】【分析】(1)由题意首先确定数列的前 n 项和，然后利用前 n 项和与通项公式的关系求解数列的通项公式即可；- 17 -(2)首先裂项求
24、和求得 ，然后结合前 n 项和的范围得到关于 m 的不等式，求解不等式即可nT确定实数 m 的取值范围；(3)解法一：计算 的值，确定 取得最大值时的 n 的取值即可求得实数 k 的值；1nbnb解法二：由题意可知，满足题意时有 ，据此求解实数 k 的范围，结合 k 为正整数1k即可求得实数 k 的值.【详解】(1)设数列 的前 n 项和为 ，anS由于数列 an的前 n 项的“均倒数”为 ，1所以 ，1nS= ，2当 ，1a时当 ，2212nnS时 （对当 成立） ，na(2) = = ，21n143n143n= = ，nT59 14n 对一切 恒成立，424m*nN，1解之得 ，5或即 m
25、 的取值范围是 15m或(3)解法一： = ，90nnba21n- 18 -由于 = ，119922100nnnb1920n时 ， 时 ，,2 1nb, 1nb时 取得最大值，1n即存在正整数 k=10 使得 对一切 恒成立kn*N解法二： = ，910nnba21假设存在正整数 k 使得 则 为数列 中的最大项，knbknb由 得 ，1kb119922003kk，92又 ，*kNk=10，即存在正整数 k=10 使得 对一切 恒成立knb*N【点睛】 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题” ，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
