1、,第10章 应力状态和强度理论,10. 应力状态概述,应力状态和强度理论,一、引言,1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样的？,2、组合变形杆将怎样破坏？,铸铁,三、单元体：单元体代表构件内的点，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质a、同一面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。,二、一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态。,x,y,z,s,x,sz,s,y,应力状态和强度理论,四、单元体取法（已知单元体）：,例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。,应力状态和强度理论,五、主应力和主平面：,主应力单元体：
2、由主平面构成的单元体。,主平面：剪应力为零的截面。每一单元体有三个互相垂直的主平面.,主应力：主平面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值大小，,x,y,z,sx,sy,sz,应力状态和强度理论,单向应力状态：一个主应力不为零的应力状态。,二向应力状态：一个主应力为零的应力状态。,三向应力状态： 三个主应力都不为零的应力状态。,应力状态和强度理论,六.应力状态的分类:,二向和三向应力状态的实例,应力状态和强度理论,应力状态和强度理论,10.2 二向应力状态分析的解析法,应力状态和强度理论,规定： 截面外法线同向为正；t a绕研究对象顺时针转为正；a逆时针为正。,图1,设：斜截面面积为S，由分离
3、体平衡得：,一、任意斜截面上的应力,应力状态和强度理论,图1,考虑剪应力互等和三角变换，得：,同理：,应力状态和强度理论,二、极值应力,应力状态和强度理论,在剪应力相对的项限内， 且偏向于x 及y大的一侧。,应力状态和强度理论,解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：,例1 图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉力F=500kN，外力矩Me=7kNm。求C点 =30截面上的应力。,应力状态和强度理论,图示斜截面上应力分量为：,应力状态和强度理论,例2 分析受扭构件的破坏规律。,解：确定危险点并画其原始单元体,求极值应力,O,应力状态和强度理论,破坏分析,铸铁,应力状态和强度理
4、论,10.3 二向应力状态分析的图解法,对上述方程消去参数（2），得：,一、应力圆,此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）,应力状态和强度理论,建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）,二、应力圆的画法,在坐标系内画出点A( x，xy)和B(y，yx),AB与sa 轴的交点C便是圆心。,以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆；,应力状态分析和强度理论,三、单元体与应力圆的对应关系,应力状态和强度理论,四、在应力圆上标出极值应力,应力状态和强度理论,例 3 求图a所示应力状态的主应力及方向。,解：1、应力圆图解法：,因为：,所以：,按一定比例作出应力圆（图b）
5、。,应力状态和强度理论,由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大小关系可得：,由此可得：,主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：,应力状态和强度理论,2、解析法 ：,所以：,应力状态和强度理论,练习题：计算图示应力状态的主应力和主平面的位置。,70 MPa,10 MPa,40 MPa,应力状态和强度理论,例4 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa),A,B,解：主应力坐标系如图,AB的垂直平分线与sa 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆,s1,s2,在坐标系内画出点,应力状态和强度理论,s1,s2,主应力及主平面如图,A,B,应力状态和强度理论,解法2解析法：
6、分析建立坐标系如图,应力状态和强度理论,10.4 三向应力状态,1、三向应力状态,三个主应力都不为零的应力状态,也叫空间应力状态,应力状态和强度理论,应力状态和强度理论,2、三向应力状态分析,弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。,图a,图b,整个单元体内的最大剪应力为：,应力状态和强度理论,例5 用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，最大切应力max及作用面。,解：由图示应力状态可知z=20MPa为一主应力，则与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。可由图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力。,应力状态和强度理论,图b所示平面应力状态
7、对应的应力圆如图c。,最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。,由此可得：,应力状态和强度理论,作用面与2平行而与1成45角，如图e所示。,最大剪应力对应于B点的纵坐标，即,应力状态和强度理论,解析法：,应力状态和强度理论,8.6 广义胡克定律,一、单向拉压的应力应变关系胡克定律,二、纯剪切的应力应变关系 剪切胡克定律,应力状态和强度理论,三、三向应力状态的广义胡克定律叠加法,应力状态和强度理论,应力状态和强度理论,四、广义胡克定律的一般形式,sz,sy,sx,应力状态和强度理论,例6 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6， 2=16010-6，弹性
8、模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。,所以，该点处的平面应力状态,应力状态和强度理论,应力状态和强度理论,例7 已知图示简支梁C点45方向的线应变，材料的弹性模量为E，横向变形系数为求载荷F。,h,应力状态和强度理论,而：,所以：,解：C点的应力状态为图示纯剪应力状态。,主应力方向如图中红线所示，一主应力方向的应变已知，并且,应力状态和强度理论,例8 图示圆截面杆，已知d=100mm, E=200Gpa, =0.3, . 求F、M。,解：,应力状态和强度理论,应力状态和强度理论,应力状态和强度理论,应力状态和强度理论,应力状态和强度理论,应变能密度=体积
9、改变能密度+畸变能密度,应力状态和强度理论,应力状态和强度理论,强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。,为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。,材料之所以按某种方式破坏，是应力、应变或应变能密度等因素中某一因素引起的。即无论是简单或复杂应力状态，引起破坏的原因是相同的，与应力状态无关。,10.5 强度理论概述,应力状态和强度理论,构件由于强度不足将引发两种失效形式,(1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，
10、且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。,关于屈服的强度理论： 最大切应力理论和最大畸变能密度理论,(2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。,关于断裂的强度理论： 最大拉应力理论和最大伸长线应变理论,应力状态和强度理论,1. 最大拉应力理论（第一强度理论）,最大拉应力是引起材料断裂的主要因素。 即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大拉应力达到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。,构件危险点的最大拉应力,极限拉应力，由单拉实验测得,10.6 四种常用的强度理论,应力状态和强度理
11、论,断裂条件,1. 最大拉应力理论（第一强度理论）,铸铁拉伸,铸铁扭转,应力状态和强度理论,2. 最大伸长线应变理论（第二强度理论）,最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。 即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大伸长线应变达到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。,构件危险点的最大伸长线应变,极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得,应力状态和强度理论,实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆 性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论 更接近实际情况。,2. 最大伸长线应变理论（第二强度理论）,断裂条件,即,应力状态和强度理论,最大切应力是引起材料屈服的主要因素。 即认为无论材料处于
12、什么应力状态,只要最大切应力达到了简单拉伸屈服时的极限值，材料就会发生屈服。,3. 最大切应力理论（第三强度理论）,构件危险点的最大切应力,极限切应力，由单向拉伸实验测得,应力状态和强度理论,屈服条件,强度条件,3. 最大切应力理论（第三强度理论）,低碳钢拉伸,低碳钢扭转,应力状态和强度理论,实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到 较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生 塑性变形或断裂的事实。,局限性：,2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，,1、未考虑 的影响，试验证实最大影响达15%。,3. 最大切应力理论（第三强度理论）,应力状态和强度理论,最大畸变能密度是引起材料屈
13、服的主要因素。 即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大畸变能密度达到简单拉伸屈服时的极限值,材料就会发生屈服。,4. 最大畸变能密度理论（第四强度理论）,构件危险点的形状改变比能,形状改变比能的极限值，由单拉实验测得,应力状态和强度理论,屈服条件,强度条件,4. 最大畸变能密度理论（第四强度理论）,实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理 论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。,应力状态和强度理论,强度理论的统一表达式：,相当应力,应力状态和强度理论,解：危险点A的应力状态如图：,例10 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, 为铸铁构件，=40MPa,试用第一强
14、度理论校核杆的强度。,故，安全。,应力状态和强度理论,例11 两危险点的应力状态如图， =，由第三、第四强度理论分别比较其危险程度。,解：对图a所示应力状态，因为,应力状态和强度理论,所以：,应力状态和强度理论,对图b所示应力状态，有：,所以：,应力状态和强度理论,可见：由第三强度理论，图b所示应力状态比图a所示的安全；而由第四强度理论，两者的危险程度一样。,注意：图a所示应力状态实际上为拉扭和弯扭组合加载对应的应力状态，其相当应力如下：,应力状态和强度理论,由第三强度理论，有：,例12 利用第三或第四强度理论求纯剪应力状态下屈服应力s和拉压屈服应力s之间的关系。,当 =s时材料发生屈服，因此
15、有：,解：图示纯剪应力状态的主应力为：,而当材料拉压屈服时有：,应力状态和强度理论,由此可得：,利用第四强度理论，有：,即，,纯剪：,单拉：,由此可得：,应力状态和强度理论,例13 薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4, y=7.3710-4,已知钢的E=210GPa，=170MPa,泊松比=0.3，试用第三强度理论校核其强度。,s1,sm,p,O,解：1、应力状态分析:,应力状态和强度理论,（1）、轴向应力:,用横截面将容器截开，受力如图所示,根据平衡方程,应力状态和强度理论,用纵截面将容器截开，受力如图c所示,（2）、环向应力：,应力状态和强度理论,2、由广义虎克定律得:,所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。,应力状态和强度理论,本章结束,
