1、- 1 -陆良县 2019 届高三毕业班第二次适应性考试文科数学试题卷(考试时间：120 分钟；全卷满分：150 分)第卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1设集合 ,则 （ ）1,3579,9ABABA B C D , 137,1,3579,2已知复数 满足 ,则 （ ）z24iZiA B C D i 22i3已知命题 ，那么 p是( )3:0,pxA B C D 3, 30,x30,x30,x4图 1 是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1 号到16 号的同学的成绩依次为 A1，A
2、2，A 16，图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（ ）7 6 98 1 3 7 69 2 9 5 1 7 610 3 1 211 4图 1A6 B7 C10 D 165已知 ，且 ，则 （ ）(,)23sincocos2A B C D3535536设 ，则 的大小关系为（ ） 0.522,.,lg0.abc,abcA B C Dcbac开始图 2输出 n结束i16？n=0，i=1i=i+1输 入 A1， A2， A16n=n+1Ai90？否否是是- 2 -正 （ 主 ） 视图侧 （ 左 ） 视图俯视图2 327设函数 的最小正周期为 ，且si
3、n()cos(),(0,)2fxx ，则 ( )()A 在 上单调递减 B. 在 上单调递减 fx0,2()fx3,)4C 在 上单调递增 D. 在 上单调递增() 8 已知双曲线 的左右焦点为 ,过左焦点 作垂直于 轴的直12F1x线交 双曲线的 两条渐近线于 两点，若 是直角 ，则双曲线的离心率是（ NM,） A B C D 25349 已知正方体 的棱长为 1， 是棱 的中点，点 在正方体内部或正方体的表面上，且 平面 ，则动点 的轨迹所形成的区域面积是（ ）A B C D983234210. 已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A B C D41683611已
4、知点 ，过抛物线 上一点 的直线与直线3,02yxPx垂直相交于点 ，若 ，则 的横坐标为( )PAA B2 C D1 53212已知关于 的方程 有 2 个不相等的实数根，则 的取值范围是( ).x0xekkA B C D,2ln,ln2ln,l+，第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分）- 3 -13已知向量 ， ，若 ，则 的值为 (1,2)a(,)mbab14如图，点 D 是ABC 的边 BC 上一点，AB= ，AD=2，BD=1，ACB=45，AC= 15若点 （其中 ）为平面区域 内的一个动点，已知点(,)Mxy,xyZ2507xy, 为坐标
5、原点，则 的最小值为 (34)AOAOM16已知函数 在区间 上单调递减，在 上单调递231,log,xaf ,a,a增，则实数 的取值范围是_a三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （本小题满 12 分）已知数列 的前 n 项和 满足 ，其中 . aS432nanN（）证明：数列 为等比数列；（）设 ，求数列 的前 n 项和 .142nbbT- 4 -18 （本小题满分 12 分）某中学有初中学生 1800 人，高中学生 1200 人. 为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学
6、生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为 5 组：， ， ， ， ，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布0,1),20),3)0,4),50直方图.（）写出 的值；试估计该校所有学生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生人数；a（）从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 2 人，求至少抽到 1 名高中生的概率.19 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，点 O 是对角线 AC 与BD 的交点，AB=2，BAD=60，M 是 PD 的中点（）求证：OM平面 PAB；（）平面 PBD平面 PAC；（）当三棱锥
7、CPBD 的体积等于 时，求 PA 的长O 时间(小时)10 20 30 40 500.0050.0250.030频 率组 距0.035高中生组O 时间(小时)10 20 30 40 500.005a频 率组 距初中生组0.0200.040- 5 -20 （本小题满分 12 分）已知椭圆 C 的离心率为 ,点 在椭圆 C 上直线 过2:1(0)xyab321(,)l点 ，且与椭圆 C 交于 ， 两点，线段 的中点为 (1,)ABAM（I）求椭圆 C 的方程； （）点 为坐标原点，延长线段 与椭圆 C 交于点 ，四边形 能否为平行OOPOAB四边形？若能，求出此时直线 的方程，若不能，说明理由l
8、21.（本小题满分 12 分）已知函数 .()xaef（）若曲线 在点 处的切线经过点（0,1） ，求实数 的值；yf(1,)f a（）求证：当 时，函数 至多有一个极值点；0ax- 6 -请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分。作答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。22 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已ox知点 的极坐标为 (2,)4，直线 的极坐标方程为 cos()4a，且点 在直线 上Al Al（）求 a的值和直线 的直角坐标方程及 的参数方程；l
9、（）已知曲线 的参数方程为 ， （ 为参数） ，直线 与 交于C45s3inxylC两点，,MN求 的值1AN23 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲：设函数 .()|2|(0)fxaxa（）证明： ；1()6f（）若不等式 的解集为非空集，求 的取值范围.2x- 7 -陆 良 县 2019届 高 三 毕 业 班 第 二 次 适 应 性 考 试文科数学参考答案题号 试题考查的内容及解题思想方法 题型难易程度分值能力要求补充说明1 集合运算 选择题 易 5 16 文改编2 复数的运算 选择题 易 5 16 文改编3 全称命题的否定 选择题 易 54 程序框图 茎叶图 选择题 易 55
10、 三角函数求值 选择题 中 56 对数 指数幂大小比较 选择题 易 57 三角函数图像性质 选择题 中 58 双曲线的离心率 选择题 中 59 立体几何中面面平行的性质 截面等 选择题 中 510 三视图 组合体 选择题 中难 511 抛物线定义 选择题 中 512 函数零点图像导数综合应用 选择题 难 513 向量的垂直 填空题 易 514 正余弦定理 填空题 易 515 线性规划中的整点规划 填空题 中 516 函数图像性质的综合应用 填空题 难 517 数列综合应用 解答题 中 1218 概率与统计应用 解答题 易 1219直线与平面平行和垂直的证明 体积计算解答题 中 1220 椭圆的
11、标准方程 直线与椭圆位置关系 解答题 中难 1221 函数与导数的综合应用 解答题 难 1222 极坐标与参数方程 选做题 中 1023 不等式选讲 选做题 中 10- 8 -一、选择题15 B D D C A； 510 C A B C B； 1112 A D二、填空题13 ；14 ；1516；16 262,0三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （）证明：因为 ， 432naS所以当 时， ，解得 ； 2111a分当 时， ， 32n 1432naS分由，得 ， 11()0nn所以 ， 14na由 ，得 ，120n所以 ，其中 .14na2故 是首项为 2，公比为 4
12、的等比数列. 6 分（）解：由（） ，得 . 71nna分所以 .142nnb则 的前 n 项和 011()48(4)nT 10)n 分14()2n- 9 -. 122413n分18 （）解： . 0a1 分由分层抽样，知抽取的初中生有 60 名，高中生有 40 名. 2 分因为初中生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生频率为 ，(02.5)10.2所以所有的初中生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生约有 人，844 分同理，高中生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生频率为 ，(0.35)10.3学生人数约有 人.0.351240所以该校所有学生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生人数
13、约有 人.4502876 分（）解：记“从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 2 人，至少抽到 1 名高中生”为 事件 ， A8 分初中生中，阅读时间不足 10 个小时的学生频率为 ，样本人数为0.51.人.0.563高中生中，阅读时间不足 10 个小时的学生频率为 ，样本人数为人. .429 分记这 3 名初中生为 ，这 2 名高中生为 ，123,A12,B则从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 2 人，所有可能结果有 10 种，即：， ， ， ， ， ， ， ， ，12(,)A13(,)1(,)B12(,)3(,)A1(,)(,)31(,)AB32(,)，B而事件
14、的结果有 7 种，它们是 ， ， ， ， ，1(,)B12(,)1(,)2(,)31(,)， ，32(,)A12(,)- 10 -所以 . 12 分7()10PA19 （）证明：在PBD 中，因为 O，M 分别是 BD，PD 的中点，所以 OMPB又 OM 平面PABPB平面 PAB，所以 OM平面 PAB4 分（）因为底面 ABCD 是菱形，所以 BDAC因为 PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 PABD又 ACPA=A，所以 BD平面 PAC又 BD平面 PBD，所以平面 PBD平面 PAC 8 分解：（）因为底面 ABCD 是菱形，且 AB=2，BAD=60，所以 SBCD =
15、 又 VCPBD =VPBCD ，三棱锥 PBCD 的高为 PA，所以 ，解得 12 分20解：（I）由题意得 解得 . 3 分223,14.ceabc24,1ab所以椭圆 的方程为 5 分C21.4xy（）四边形 能为平行四边形OAPB法一：（1）当直线 与 轴垂直时，直线 的方程为 满足题意； 6 分lxl1x（2）当直线 与 轴不垂直时，设直线 ，显然 .:ykm0,k设 ， ， 1(,)Axy2(,)B(,)Mx- 11 -将 代入 得 ， 7 分ykxm21.4y22(4)840kxkm故 ，22212(8)()0,.1A 12241Mxkm于是直线 的斜率 ，即 241MykxkO
16、OykxkOM8 分由直线 ，过点 ，得 ，因此 :lyxm(0,)(1,)m24(1)Mkx的方程为 设点 的横坐标为 O14kPPx由 得 ，即 9 分2,1,4yx2261P241Pk四边形 为平行四边形当且仅当线段 与线段 互相平分，即 于是OABABO2PMx由 ，得 满足 11 分241k2(1)4k035,.8km0.A所以直线 的方程为 时，四边形 为平行四边形l358yxAPB综上所述：直线 的方程为 或 . 12 分l81x法二：（1）当直线 与 轴垂直时，直线 的方程为 满足题意； 6 分lxl（2）当直线 与 轴不垂直时，设直线 ，显然 ，设 ，:ykxm0,k1(,)
17、Axy， ，(,)Bxy(,)Mxy(,)Pxy将 代入 得 ， km21.4224)840kxk7 分故 ， 22212(8)(1)0,.41kmkxA 12241Mxkm8 分- 12 -.241Mmykxk四边形 为平行四边形当且仅当线段 与线段 互相平分，即 OAPBABOP2,.PMxy9 分则 . 22()()8141km由直线 ，过点 ，得 .:lyx0,k(,1)mk则 ，22(16)(14k则 .2()830则 满足 5,.kmA11 分所以直线 的方程为 时，四边形 为平行四边形l358yxOAPB综上所述：直线 的方程为 或 . 12 分l81x21. 解：（）由 ，得
18、.()xaef2 ()()xaef1 分所以 ， . 2 分(1)fae(1)f所以由 得 4 分 0. 5 分e（）证明：当 时，a当 时， ，函数 在 上单调递增，无极值；6 分(,0)x()0fx()fx,0)当 时，令 ，则 .21xge(2)xgae由 得 ，则7 分()gx2ln()a当 ，即 时， ， 在 上单调递减，2ln0a()0x(),)(0)ga- 13 -所以 在 上至多有一个零点，即 在上 至多有一个零点.()gx0,)()fx0,)所以函数 在 上至多有一个极值点. 9 分f(当 ，即 时， 及 随 的变化情况如下表：2ln()a0a()gxx因为 ，2(ln)(0
19、gaa所以 在 上至多有一个零点，即 在 上至多有一个零点.11 分x,()fx0,)所以函数 在 上至多有一个极值点.()f)综上，当 时，函数 在定义域上至多有一个极值点.120a(fx分 22 解：（）因为点 ，所以 ；Al2cos()24a由 得cos()4(in于是 的直角坐标方程为 ；l:20lxy的参数方程为：l12ty（）由 ： ，C45cos3inx22(4)(3)5xy将 的参数方程代入 得l 22()，设该方程的两根为 ，由直线 的参数 的几何意义及曲线210t 12,tlt知，C，121AMNtt2211()45tt- 14 -所以 1521AMN23 （） 112()(2)()fxxaax()()12)()(axxa（当且仅当 是取等号）261x5 分（）函数 的图象如图所示.23(),()|()2axfxaxx当 时， ，依题意： ，解得 ，2axmin2y12a1 的取值范围是（-1,0）.10 分
