1、1第六章 第 7 节 数学归纳法基础训练组1(导学号 14577597) 用数学归纳法证明“2 n2 n1 对于 n n0的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0应取( )A2 B3C5 D6解析：B n1 时，2 12,2113,2 n2 n1 不成立；n2 时，2 24,2215,2 n2 n1 不成立；n3 时，2 38,2317,2 n2 n1 成立 n 的第一个取值 n03.2(导学号 14577598)用数学归纳法证明不等式 1 (nN *)成立，12 14 12n 112764其初始值至少应取( )A7 B8C9 D10解析：B 1 ，整理得 2n128，解得 n7，
2、所以初始值12 14 12n 11 12n1 1212764至少应取 8.3(导学号 14577599)对于不等式 (k1)，则当 n k1 时，左端应乘上(113)(1 15)(1 17) (1 12k 1) 2k 12_，这个乘上去的代数式共有因式的个数是_解析：因为分母的公差为 2，所以乘上去的第一个因式是 ，最后一个是(112k 1)，根据等差数列通项公式可求得共有(112k 1 1)12 k2 k1 2 k1 项 2k 1 1 2k 123答案： 2k1(112k 1)(1 12k 3) (1 12k 1 1)9(导学号 14577605)平面上有 n 个圆，每两圆交于两点，每三圆不
3、过同一点，求证这 n 个圆分平面为 n2 n2 个部分证明：(1)当 n1 时， n2 n21122，而一圆把平面分成两部分，所以 n1命题成立(2)设 n k 时， k 个圆分平面为 k2 k2 个部分，则 n k1 时，第 k1 个圆与前k 个圆有 2k 个交点，这 2k 个交点分第 k1 个圆为 2k 段，每一段都将原来所在的平面一分为二，故增加了 2k 个平面块，共有( k2 k2)2 k( k1) 2( k1)2 个部分对 n k1 也成立由(1)(2)可知，这 n 个圆分割平面为 n2 n2 个部分10(导学号 14577606)已知数列 xn满足 x1 ， xn1 ， nN *.
4、猜想数列 x2n12 11 xn的单调性，并证明你的结论解：由 x1 及 xn1 ，12 11 xn得 x2 ， x4 ， x6 ，23 58 1321由 x2 x4 x6猜想：数列 x2n是递减数列下面用数学归纳法证明：(1)当 n1 时，已证命题成立(2)假设当 n k 时命题成立，即 x2k x2k2 ，易知 xk0，那么 x2k2 x2k4 11 x2k 1 11 x2k 3 x2k 3 x2k 1 1 x2k 1 1 x2k 3 0，x2k x2k 2 1 x2k 1 x2k 1 1 x2k 2 1 x2k 3即 x2(k1) x2(k1)2 .也就是说，当 n k1 时命题也成立结
5、合(1)和(2)知命题成立能力提升组11(导学号 14577607)平面内有 n 条直线，最多可将平面分成 f(n)个区域，则 f(n)的表达式为( )A n1 B2 nC. D n2 n1n2 n 224解析：C 1 条直线将平面分成 11 个区域；2 条直线最多可将平面分成 1(12)4 个区域；3 条直线最多可将平面分成 1(123)7 个区域；， n 条直线最多可将平面分成 1(123 n)1 个区域n n 12 n2 n 2212(导学号 14577608)已知 f(n)(2 n7)3 n9，存在自然数 m，使得对任意nN *， f(n)都能被 m 整除，则 m 的最大值为( )A1
6、8 B36C48 D54解析：B 由于 f(1)36， f(2)108， f(3)360 都能被 36 整除，猜想 f(n)能被 36整除，即 m 的最大值为 36.当 n1 时，可知猜想成立假设当 n k(k1， kN *)时，猜想成立，即 f(k)(2 k7)3 k9 能被 36 整除；当 n k1 时， f(k1)(2 k9)3 k1 9(2 k7)3 k936( k5)3 k2 ，因此 f(k1)也能被 36 整除，故所求 m 的最大值为 36.13(导学号 14577609)用数学归纳法证明 123 n2 ，则当 n k1n4 n22时，左端应在 n k 的基础上增添的代数式是 _
7、.解析：当 n k 时，左侧123 k2，当 n k1 时，左侧123 k2( k21)( k22)( k1) 2，当 n k1 时，左端应在 n k 的基础上增添( k21)( k22)( k1) 2.答案：( k21)( k22)( k1) 2514(导学号 14577610)(2018梅州市一模)数列 an满足 a1 ， an1 .12 12 an(1)求数列 an的通项公式；(2)设数列 an的前 n 项和为 Sn，证明 Sn nln .(n 22 )解：(1)法一： an1 1 1 ，12 an an 12 an所以 1 ，1an 1 1 2 anan 1 1an 1所以 是首项为2
8、，公差为1 的等差数列，1an 1所以 n1，所以 an .1an 1 nn 1法二： a2 ， a3 ， a4 ，猜测 an .23 34 45 nn 1下面用数学归纳法进行证明：当 n1 时，由题目已知可知 a1 ，命题成立； 12假设当 n k(k1， kN)时成立，即 ak ，kk 1那么当 n k1， ak1 ，12 ak 12 kk 1 k 1k 2也就是说，当 n k1 时命题也成立综上所述，数列 an的通项公式为 an .nn 1(2)证明：设 F(x)ln( x1) x(x0)，则 F( x) 1 0)1x 1 xx 1函数 F(x)为(0，)上的减函数，所以 F(x) F(0)0，即 ln(x1)0( x0)，从而 ln ，1 1ln ， an1 1ln( n2)(11n 1) 1n 1 1n 1 (1 1n 1) 1n 1ln( n1)， Sn(1ln 3ln 2)(1ln 4ln 3)1ln ( n2)ln ( n1)， Snnln .(n 22 )
