1、1核心素养提升系列(一)1(导学号 14577259)(理科)(2018湘西州一模)已知函数 f(x) x aln x， g(x) ，其中 aR，e2.7181 ax(1)设函数 h(x) f(x) g(x)，求函数 h(x)的单调区间；(2)若存在 x01，e，使得 f(x0) g(x0)成立，求 a 的取值范围解：(1)函数 h(x) x aln x 的定义域为(0，)，1 axh( x)1 .ax 1 ax2 x 1 x 1 a x2当 1 a0，即 a1 时，h( x)0，故 h(x)在(0，)上是增函数；当 1 a0，即 a1 时，x(0,1 a)时， h( x)0； x(1 a，)
2、时， h( x)0，故 h(x)在(0,1 a)上是减函数，在(1 a，)上是增函数(2)由(1)令 h(x0) f(x0) g(x0)， x01，e，当 a1 时，存在 x01，e，使得 h(x0)0 成立可化为h(1)11 a0，解得， a2；当1 a0 时，存在 x01，e，使得 h(x0)0 成立可化为h(1)11 a0，解得， a2；当 0 ae1 时，存在 x01，e，使得 h(x0)0 成立可化为h(1 a)1 a aln(1 a)10，无解；当 e1 a 时，存在 x01，e，使得 h(x0)0 成立可化为h(e)e a 0，1 ae解得， a .e2 1e 12综上所述， a
3、 的取值范围为(，2) .(e2 1e 1， )1(导学号 14577260)(文科)(2017湖南娄底市名校联考)已知函数 f(x)2ln x x2 ax(aR)(1)当 a2 时，求 f(x)的图象在 x1 处的切线方程；(2)若函数 g(x) f(x) ax m 在 上有两个零点，求实数 m 的取值范围；1e， e(3)若函数 f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点 A(x1,0)， B(x2,0)，且 0 x1 x2，求证： f 0(其中 f( x)是 f(x)的导函数)(x1 x22 )解：(1)当 a2 时， f(x)2ln x x22 x， f( x) 2 x2，切点坐标为(1
4、,1)，切2x线的斜率 k f(1)2，切线方程为 y12( x1)，即 y2 x1.(2)g(x)2ln x x2 m，则 g( x) 2 x2x， 2 x 1 x 1x x ，故 g( x)0 时， x1.1e， e当 x1 时， g( x)0；当 1 xe 时， g( x)0.1e故 g(x)在 x1 处取得极大值 g(1) m1.又 g m2 ， g(e) m2e 2，(1e) 1e2g(e) g 4e 2 0， g(e) g ，(1e) 1e2 (1e) g(x)在 上的最小值是 g(e)1e， eg(x)在 上有两个零点的条件是1e， eError!解得 1 m2 ，1e2实数 m
5、 的取值范围是 .(1， 21e2(3) f(x)的图象与 x 轴交于两个不同的点 A(x1,0)， B(x2,0)，方程2lnx x2 ax0 的两个根为 x1， x2，则Error!两式相减得 a( x1 x2) .2 ln x1 ln x2x1 x23又 f(x)2ln x x2 ax， f( x) 2 x a，2x则 f (x1 x22 ) ( x1 x2) a .4x1 x2 4x1 x2 2 ln x1 ln x2x1 x2下证 0(*)，即证明 ln 0，令4x1 x2 2 ln x1 ln x2x1 x2 2 x2 x1x1 x2 x1x2t ，0 x1 x2，0 t1，x1x
6、2即证明 u(t) ln t0 在 0 t1 上恒成立2 1 tt 1 u( t) 2 t 1 2 1 t t 1 2 1t t 1 2 4tt t 1 2 ，又 0 t1， u( t)0， t 1 2t t 1 2 u(t)在(0,1)上是增函数，则 u(t) u(1)0，从而知 ln 0，2 x2 x1x1 x2 x1x2故(*)式0，即 f 0 成立(x1 x22 )2(导学号 14577261)(文科)(2018厦门市一模)已知函数 f(x)( x2 ax a1)e x.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)函数 f(x)有两个极值点， x1， x2(x1 x2)，其中 a0.若 m
7、x1 0 恒成立，f x2ex2求实数 m 的取值范围解：(1) f( x) x2(2 a)x1e x，令 x2(2 a)x10(*)， (2 a)240，即 a0 或 a4 时，方程(*)有 2 根，x1 ， x2 ，a 2 a2 4a2 a 2 a2 4a2函数 f(x)在(， x1)，( x2，)递增，在( x1， x2)递减 0 时，即 0 a4 时， f( x)0 在 R 上恒成立，函数 f(x)在 R 递增综上， a0 或 a4 时，函数 f(x)在(， x1)，( x2，)递增，在( x1， x2)递减；0 a4 时，函数 f(x)在 R 递增(2) f( x)0 有 2 根 x
8、1， x2且 a0， a4 且Error!，4 x10， mx1 0 恒成立等价于 m 恒成立，f x2ex2 f x2x1ex2 x2 ax2 a 1x1即 m x 2 x21 恒成立2令 t a2( t2)，则 x2 .a 2 a2 4a2令 g(t) ，t t2 42t2 时，函数 g(t) 递增， g(t) g(2)1，t t2 42 x21， x 2 x212，2故 m 的范围是2，)2(导学号 14577262)(理科)(2018咸阳市二模)已知三次函数 f(x)的导函数 f( x)3 x23 且 f(0)1， g(x) xln x (a1)ax(1)求 f(x)的极值；(2)求证
9、：对任意 x1， x2(0，)，都有 f(x1) g(x2)解：(1)依题意得 f(x) x33 x1， f( x)3 x233( x1)( x1)，知 f(x)在(，1)和(1，)上是减函数，在(1,1)上是增函数， f(x)极小值 f(1)3， f(x)极大值 f(1)1.(2)证明：法一：易得 x0 时， f(x)最大值 1，依题意知，只要 1 g(x)(x0)1 xln x (a1)( x0)ax由 a1 知，只要 x x2ln x1( x0) x2ln x1 x0( x0)令 h(x) x2ln x1 x(x0)，则 h( x)2 xln x x1，注意到 h(1)0，当 x1 时，
10、 h( x)0；当 0 x1 时，h( x)0，即 h(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)是增函数，h(x)最小值 h(1)0 即 h(x)0.综上知对任意 x1， x2(0，)，都有 f(x1) g(x2)法二：易得 x0 时， f(x)最大值 1，由 a1 知， g(x) xln x (x0)，1x令 h(x) xln x (x0)1x则 h( x)ln x1 ln x .1x2 x2 1x2注意到 h(1)0，当 x1 时， h( x)0；当 0 x1 时，5h( x)0，即 h(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)是增函数，h(x)最小值 h(1)1，所以 h(x)最小值 1，即
11、 g(x)最小值 1.综上知对任意 x1， x2(0，)，都有 f(x1) g(x2)法三：易得 x0 时， f(x)最大值 1.由 a1 知， g(x) xln x (x0)，令 h(x) xln x (x0)，则 h( x)ln x11x 1x(x0)1x2令 (x)ln x1 (x0)，则 ( x) 0，1x2 1x 1x3知 (x)在(0，)递增，注意到 (1)0，所以， h(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)是增函数，有 h(x)最小值 1，即 g(x)最小值 1.综上知对任意 x1， x2(0，)，都有 f(x1) g(x2)3(导学号 14577263)(理科)(2018东北
12、三省(哈尔滨、长春、沈阳、大连四城市)联考)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x) e2x2 x22 f(0)x，f 12g(x) f x2(1 a)x a.(x2) 14(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 g(x)的单调区间；(3)如果 s、 t、 r 满足| s r| t r|，那么称 s 比 t 更靠近 r. 当 a2 且 x1 时，试比较 和 ex1 a 哪个更靠近 ln x，并说明理由. ex解：(1) f( x) f(1)e 2x2 2 x2 f(0)，所以 f(1) f(1)22 f(0)，即 f(0)1.又 f(0) e2 ，f 12所以 f(1)2e 2，所以
13、 f(x)e 2x x22 x.(2) f(x)e 2x2 x x2， g(x) f x2(1 a)x ae x x2 x x2(1 a)x ae x a(x1)，(x2) 14 14 14 g( x)e x a.当 a0 时， g( x)0，函数 f(x)在 R 上单调递增；当 a0 时，由 g( x)e x a0 得 xln a，6 x(，ln a)时， g( x)0， g(x)单调递增. 综上，当 a0 时，函数 g(x)的单调递增区间为(，)；当 a0 时，函数 g(x)的单调递增区间为(ln a，)，单调递减区间为(，ln a)(3)设 p(x) ln x， q(x)e x1 aln
14、 x，ex p( x) e 时， p(x)0，1x 1x2 q( x)在 x1，)上为增函数，又 q(1)0， x1，)时， q( x)0， q(x)在 x1，)上为增函数， q(x) q(1) a20.当 1 xe 时，| p(x)| q(x)| p(x) q(x) e x1 a，设 m(x)ex e x1 a，则 m( x) e x1 e 时，设 n(x)2ln xe x1 a，则 n( x) e x1 ， n( x)2x e x1 e 时为减函数， n( x)e 时为减函数， n(x) ；令 f( x)0，得 0 x，令 y x，则 y 1 .12 ln x2x ln x2x 2 2ln x4x2 2 2ln x 4x24x210当 x1 时， y0，所以 y x 在(1，)上单调递减，ln x2x所以当 x1 时， ymax1，故 m1，即 m2，)12
