1、1第二章 几个重要的不等式1已知 a2 b2 c21，若不等式 a b c| x1|对任意实数 a， b， c 恒成立，则2实数 x 的取值范围是( )A(，31，) B3，1C(，13，) D1,3解析：由柯西不等式，得( a2 b2 c2)(112)( a b c)2.所以 a b c2.2 2因为 a b c| x1|，2所以| x1|2.解得 x1 或 x3.答案：A2若 a， b， c(0，)，且 a b c1，则 的最大值为( )a b cA1 B 2C D23解析： a b c 12 12 12 a 2 b 2 c 2 ，3 a b c当且仅当 a b c 时取等号又 a b c
2、1，则 .a b c 3 的最大值为 .a b c 3答案：C3若 A x x x ， B x1x2 x2x3 xn1 xn xnx1，其中 x1， x2， xn都21 2 2n是正数，则 A 与 B 的大小关系为( )A AB B A0，且 M a3( a1) 3( a2) 3， N a2(a1)( a1) 2(a2) a(a2)2，则 M 与 N 的大小关系是_.解析：取两组数 a， a1， a2 与 a2，( a1) 2，( a2) 2，显然 a3( a1) 3( a2)3是顺序和，而a2(a1)( a1) 2(a2) a(a2) 2是乱序和由排序不等式易知 MN.答案： MN6设 a，
3、 b， c(0，)，若不等式( a b c) 25 恒成立，则正数 k 的(1a 1b kc)最小值是_.解析：因为( a b c) (11 )2(2 )2，当且仅当 a b 时等号(1a 1b kc) k k ck成立，所以( a b c) 的最小值是(2 )2.由不等式( a b c) 25 恒(1a 1b kc) k (1a 1b kc)成立，得(2 )225.所以 k9.所以正数 k 的最小值是 9.k答案：97设 c1， c2， cn为正数 a1， a2， an的某一排列，则 与 n 的大小关系是_.a1c1 a2c2 ancn解析：不妨设 00 时等号成立a1c1 a2c2 anc
4、n答案： na1c1 a2c2 ancn8若正数 a， b， c 满足 a b c1，求 的最小值12a 1 12b 1 12c 1解：由 a b c1，可得(2a1)(2 b1)(2 c1)5.因为 2a1,2 b1,2 c1 均为正数，3由柯西不等式，得(2a12 b12 c1)(12a 1 12b 1 12c 1) 2 9，12a 1 2a 1 12b 1 2b 1 12c 1 2c 1当且仅当 a b c 时取等号，所以 .12a 1 12b 1 12c 1 95故 的最小值为 .12a 1 12b 1 12c 1 959在 ABC 中，试证： . 3 aA bB cCa b c 2证
5、明：不妨设 a b c，于是 A B C由排序不等式，得 aA bB cC aA bB cC，aA bB cC bA cB aC，aA bB cC cA aB bC以上三式相加，得3(aA bB cC)( a b c)(A B C)( a b c)所以 . aA bB cCa b c 3由 0b c a,0a b c,0a c b，得0A(b c a) C(a b c) B(a c b) a(B C A) b(A C B) c(A B C) a(2 A) b(2 B) c(2 C)( a b c)2( aA bB cC)所以 . aA bB cCa b c 2由，得原不等式成立10已知函数 y
6、 f(x)满足 f(n1) f(n)lg an1(n2， nN )，且 f(1)lg a是否存在实数 ， ，使 f(n)( n 2 n 1)lg a 对任意 nN 都成立？证明你的结论解： f(n) f(n1)lg an1 ，令 n2，则 f(2) f(1)lg alg alg a0.又 f(1)(1)lg a，所以Error!4解得 ， .12 12所以 f(n) lg a.(12n2 12n 1)下证对任何 nN 都成立(1)当 n1 时，显然成立(2)假设当 n k(k1)时等式成立，即f(k) lg a，(12k2 12k 1)则当 n k1 时，f(k1) f(k)lg ak f(k) klg a lg a(12k2 12k 1 k) lg a.12 k 1 2 12 k 1 1所以当 n k1 时等式也成立综合(1)(2)，知存在 ， ，使12 12f(n)( n 2 n 1)lg a 对任意 nN 都成立
