1、1阶段质量评估(二) 几个重要的不等式A 卷 (时间：60 分钟 满分：80 分)一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设 nN ， 则 4n与 3n 的大小关系是( )A4 n3n B4 n3 nC4 n3n，即 4n3n.答案：A2用数学归纳法证明“1 0，则 a3 b3 c3.依据排序不等式，得a3a b3b c3c a3b b3c c3a.又 ab ac bc， a2 b2 c2，所以 a3b b3c c3a a2bc b2ca c2ab.所以 a4 b4 c4 a2bc b2ca c2ab，即 a2(a2 b
2、c) b2(b2 ac) c2(c2 ab)0.答案：B4若 5x16 x27 x34 x41，则 3x 2 x 5 x x 的最小值是( )21 2 23 24A B78215 15782C3 D2532解析：因为 (253 18 495 16)(3x21 2x2 5x23 x24) 2(533x1 322x2 755x3 4x4)(5 x16 x27 x34 x4)21，所以 3x 2 x 5 x x .21 2 23 2415782答案：B5学校要开运动会，需要买价格不同的奖品 40 件、50 件、20 件，现选择商店中单价为 5 元、3 元、2 元的商品作为奖品，则至少要花( )A30
3、0 元 B360 元C320 元 D340 元解析：由排序不等式，可知逆序和最小最小值为 502403205320(元)答案：C6已知 2x3 y4 z10，则 x2 y2 z2取到最小值时的 x， y， z 的值分别为( )A， ， B ， ，53109 56 20293029 4029C1， D1，12 13 14 19解析：当且仅当 时取到最小值，联立Error!可得 x ， y ， z .x2 y3 z4 2029 3029 4029答案：B二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分把答案填在题中横线上)7若 x y z t4，则 x2 y2 z2 t2的最小值为_.
4、解析：由柯西不等式，得( x2 y2 z2 t2)(121 2121 2)( x y z t)2，当且仅当 x y z t1 时取等号故 x2 y2 z2 t2的最小值为 4.答案：48已知 a(0，)， x 2， x 3， x n1( nN )，则 a 的值为1x 4x2 axn_.解析： x 2，1xx 3 3，4x2 x2 x2 4x2 3x2x24x23 x ( n1) ( n1) n1.axn xn xn xn xn axn n 1xnxnxnxnaxn n 1ann a nn(nN )答案： nn(nN )9设 x1， x2， xn为不同的正整数，则 m 的最小值是_.x112 x
5、222 xnn2解析：设 a1， a2， an是 x1， x2， xn的一个排列，且满足 a1 ，122132 1n2所以 a1 x112 x222 x332 xnn2 a222 a332 ann2112 3 n 1 122 132 1n2 12 13 .1n答案：1 12 13 1n三、解答题(本大题共 3 小题，共 35 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)10(本小题满分 10 分)已知 x， y， z(0，)，且 xy z1，求证： 81.1x 9y 25z证明：由柯西不等式，得(x y z) 281，(1x 9y 25z) (x1x y9y z25z)当且仅当 ，x1xy9yz
6、25z即 x ， y ， z 时取等号19 13 59所以 81.1x 9y 25z11(本小题满分 12 分)设 x0，求证：1 x x2 x2n(2 n1) xn.证明：当 x1 时，1 x x2 xn，由顺序和逆序和，得11 xx x2x2 xnxn1 xn xxn1 xn1 x xn1，即 1 x2 x4 x2n( n1) xn. 4因为 x， x2， x3， xn,1 为序列 1， x， x2， xn的一个排列，由乱序和逆序和，得1x xx2 xn1 xn xn11 xn xxn1 xn1 x xn1，即 x x3 x2n1 xn( n1) xn. 将和相加，得1 x x2 x2n(
7、2 n1) xn. 当 0 xx2xn.仍然成立，于是也成立综上，原不等式成立12(本小题满分 13 分)已知正数 x， y， z 满足 5x4 y3 z10.(1)求证： 5；25x24y 3z 16y23z 5x 9z25x 4y(2)求 9x29 y2 z2的最小值(1)证明：根据柯西不等式，得(4y3 z)(3 z5 x)(5 x4 y)(5 x4 y3 z)2.25x24y 3z 16y23z 5x 9z25x 4y因为 5x4 y3 z10，所以 5.25x24y 3z 16y23z 5x 9z25x 4y 10220(2)解：根据平均值不等式，得9x29 y2 z22 23 x2
8、 y2 z2，9x29y2 z2当且仅当 x2 y2 z2时等号成立根据柯西不等式，得(x2 y2 z2)(524 23 2)(5 x4 y3 z)2100，当且仅当 时等号成立x5 y4 z3所以 x2 y2 z22.综上，9 x29 y2 z223 218，当且仅当 x1， y ， z 时等号成立45 35所以 9x29 y2 z2的最小值为 18.B 卷 (时间：60 分钟 满分：80 分)一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)51已知 x， y， z(0，)，且 1，则 x 的最小值是( )1x 2y 3z y2
9、 z3A5 B6C8 D9解析： x 29.y2 z3 (1x 2y 3z)(x y2 z3) (1xx y2 2y 3z z3)答案：D2用数学归纳法证明“ 122 132 142 1 n 1 212”时，假设当 n k 时不等式成立，则当 n k1 时，应推证的目标是( )1n 2A B 122 132 1 k 2 212 1k 3 122 132 1 k 1 212 1k 2C D 122 132 1k212 1k 1 122 132 1 k 1 212 1k解析：当 n k1 时，不等式变为 122 132 1 k 1 2 1 k 2 212.1 k 1 2答案：A3已知 a a a
10、1， x x x 1，则 a1x1 a2x2 anxn的最大值21 2 2n 21 2 2n为( )A1 B nC D2n解析：由柯西不等式，得( a a a )(x x x )( a1x1 a2x2 anxn)21 2 2n 21 2 2n2，即 11( a1x1 a2x2 anxn)2. a1x1 a2x2 anxn1.故所求的最大值为 1.答案：A4已知 x， y(0，)，且 x y1，则 的最小值为( )2x 3yA5 B56 6C52 D526 6解析： (x y)2x 3y (2x 3y)6 (2x)2 (3y)2 x 2 y 2 2( )2(2xx 3yy) 2 352 ，6当且
11、仅当 y x 时取等号3 2 的最小值为 52 .2x 3y 6答案：C5用数学归纳法证明“对任意 x0 和正整数 n，都有xn xn2 xn4 n1”时，需要验证的使命题成立的最小正1xn 4 1xn 2 1xn整数值 n0应为( )A1 B2C1,2 D以上答案均不正确解析：当 n1 时，左边 x ，右边11，而 x 2，1x 1x即当 n1 时不等式成立答案：A6设 a， b， c 为正数，且 a2 b3 c13，则 的最大值为( )3a 2b cA B1333 1332C D613 13解析：( a2 b3 c) 1 2( 3 2 12 (13)2 a 3 2b 3c 13 3a 2b
12、)2，c当且仅当 时取等号a3 2b1 3c13( )2 ，3a 2b c1323即 .3a 2b c1333又 a2 b3 c13， a9， b ， c .32 13故 有最大值 .3a 2b c13337答案：A二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分把答案填在题中横线上)7函数 y 的最小值是 _.(11sin )(1 1cos )(00， y0， z0，所以由柯西不等式，得( y2 z)( z2 x)( x2 y)( x y z)2.(x2y 2z y2z 2x z2x 2y)因为 x y z1，所以 x2y 2z y2z 2x z2x 2y . x y z 2 y
13、 2z z 2x x 2y 13(2)解：由平均值不等式，得4x4 y4 z23 .34x y z2因为 x y z1，所以 x y z21 z z2 2 .(z12) 34 34故 4x4 y4 z23 3 ，3434 2当且仅当 x y ， z 时等号成立14 12所以 4x4 y4 z2的最小值为 3 .211(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) m| x2|，mR，且关于 x 的不等式 f(x2)0 的解集为1,19(1)求 m 的值；(2)若 a， b， c(0，)，且 m，求证：1a 12b 13ca2 b3 c9.(1)解：因为 f(x2) m| x|，所以 f(x2)0
14、等价于| x| m.由| x| m 有解，得 m0，且其解集为x| m x m又 f(x2)0 的解集为1,1，故 m1.(2)证明：由(1)，知 1.1a 12b 13c又 a， b， c(0，)，由柯西不等式，得a2 b3 c( a2 b3 c) (1a 12b 13c)29.(a1a 2b12b 3c13c)12(本小题满分 13 分)已知数列 bn是等差数列，b11， b1 b2 b10145( nN )(1)求数列 bn的通项；(2)设数列 an的通项 anlog a (其中 a0 且 a1)，记 Sn是数列 an的前 n 项(11bn)和，试比较 Sn与 logabn1 的大小，并
15、证明你的结论13解：(1)设数列 bn的公差为 d，由题意，得 101 d145.10 10 12 d3， bn3 n2.(2)由 bn3 n2，知Snlog a(11)log a log a(114) (1 13n 2)log a ， 1 1 (114)(1 13n 2)logabn1 log a .13 33n 1因此，要比较 Sn与 logabn1 的大小，可先比较1310(11) 与 的大小(114) (1 13n 2) 33n 1取 n1，有(11) .331 1猜想取 n1， nN ，有(11) .(114) (1 13n 2) 33n 1下面用数学归纳法说明：当 n1 时，已验证
16、不等式成立假设当 n k(kN )时，不等式成立，即(11) ，(114) (1 13k 2) 33k 1则当 n k1 时，(11) (114) (1 13k 2)1 13 k 1 2 (3k2)33k 1(113k 1) 33k 13k 1 3( )333k 13k 1 3k 2 33k 4 0， 3k 2 3 3k 4 3k 1 2 3k 1 2 9k 4 3k 1 2 (3k2)33k 13k 1 33k 4 .33 k 1 1(11) (114) (1 13k 2)1 13 k 1 2.33 k 1 1这说明，当 n k1 时不等式也成立由，知对一切 nN ，不等式(11)1 都成立14 (1 13n 2) 33n 1再由对数的性质，可得当 a1 时， Sn logabn1 ；13当 0a1 时， Sn logabn1 .13
