1、1课时分层作业(十三) 抛物线的简单几何性质(建议用时：40 分钟)基础达标练一、选择题1方程 y2 所表示曲线的形状是( )xD 方程 y2 等价于Error!故选 D.x2过抛物线 C： y212 x 的焦点作直线 l 交 C 于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，若x1 x26，则| AB|( )A16 B12 C10 D8B 由题意知 p6，故| AB| x1 x2 p12.3过点(2,4)的直线与抛物线 y28 x 只有一个公共点，这样的直线有( ) 【导学号：46342115】A1 条 B2 条 C3 条 D4 条B 点(2,4)在抛物线 y28 x 上，则过该点与抛物
2、线相切的直线和过该点与 x 轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点，故选 B.4已知抛物线 y22 px(p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A， B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 ( )A x1 B x1C x2 D x2B 易知抛物线的焦点为 F ，所以过焦点且斜率为 1 的直线的方程为 y x ，(p2， 0) p2即 x y ，代入 y22 px 得 y22 p 2 py p2，即 y22 py p20，由根与系数的关p2 (y p2)系得 p2( y1， y2分别为点 A， B 的纵坐标)，所以抛物线的方程为 y24 x，准线方y1 y2
3、2程为 x1.5设抛物线 y28 x 的焦点为 F，准线为 l， P 为抛物线上一点， PA l， A 为垂足，如果直线 AF 的斜率为 ，那么 |PF|( )3A4 B8 C8 D163 3B 设 P(x0， y0)，则 A(2， y0)，又 F(2,0)2所以 ，即 y04 .y0 2 2 3 3由 y 8 x0得 8x048，所以 x06.20从而| PF|628.二、填空题6直线 y kx2 与抛物线 y28 x 有且只有一个公共点，则 k_.0 或 1 当 k0 时，直线与抛物线有唯一交点，当 k0 时，联立方程消去 y 得k2x24( k2) x40，由题意 16( k2) 216
4、 k20， k1.72017 设抛物线 y24 x 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点 A.若 FAC120，则圆的方程为_(x1) 2( y )21 由 y24 x 可得点 F 的坐标为(1,0)，3准线 l 的方程为 x1.由圆心 C 在 l 上，且圆 C 与 y 轴正半轴相切(如图)，可得点 C 的横坐标为1，圆的半径为 1， CAO90.又因为 FAC120，所以 OAF30，所以| OA| ，所以点 C 的纵坐标为 .3 3所以圆的方程为( x1) 2( y )21.38抛物线 y24 x 上的点到直线 x y40 的最小距离
5、为_. 【导学号：46342116】设与直线 x y40 平行且与抛物线 y24 x 相切的直线方程为 x y m0.322由Error! 得 x2(2 m4) x m20则 (2 m4) 24 m20，解得 m1即直线方程为 x y10直线 x y40 与直线 x y10 的距离为 d .4 112 ( 1)2 322即抛物线 y24 x 上的点到直线 x y40 的最小距离为 .322三、解答题9已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴上，且抛物线上有一点 P(4， m)到焦点的距离为 6.(1)求抛物线 C 的方程(2)若抛物线 C 与直线 y kx2 相交于不同的两点 A， B，且
6、 AB 中点横坐标为 2，求 k的值3解 (1)由题意设抛物线方程为 y22 px，其准线方程为 x ，因为 P(4， m)到焦p2点的距离等于 P 到其准线的距离，所以 4 6，所以 p4，所以抛物线 C 的方程为p2y28 x.(2)由Error! 消去 y，得 k2x2(4 k8) x40.因为直线 y kx2 与抛物线相交于不同的两点 A， B，则有 k0， 64( k1)0，解得 k1 且 k0.又 2，x1 x22 2k 4k2解得 k2 或 k1(舍去)，所以 k 的值为 2.10已知 AB 是抛物线 y22 px(p0)的过焦点 F 的一条弦设 A(x1， y1)， B(x2，
7、 y2)，AB 的中点为 M(x0， y0)求证：(1)若 AB 的倾斜角为 ，则| AB| ；2psin2(2)x1x2 ， y1y2 p2；p24(3) 为定值 . 1|AF| 1|BF| 2p【导学号：46342117】证明 (1)设直线 AB 的方程为 x my ，代入 y22 px，可得 y22 pmy p20，p2y1y2 p2， y1 y22 pm， y y 2 p(x1 x2)( y1 y2)22 y1y24 p2m22 p2， x1 x22 pm2 p，21 2 90时， m0， x1 x2 p，| AB| x1 x2 p2 p ；2psin2 90时， m ， x1 x2
8、p，| AB| x1 x2 p 2 p1tan 2ptan2 2ptan2.2psin2| AB| .2psin2(2)由(1)知， y1y2 p2， x1x2 ；(y1y2)24p2 p24(3) .1|AF| 1|BF| 1x1 p2 1x2 p2 x1 x2 px1x2 p2(x1 x2) p24 x1 x2 pp2(x1 x2 p) 2p能力提升练41已知抛物线 x22 py(p0)的焦点为 F，过 F 作倾斜角为 30的直线与抛物线交于A， B 两点，若 (0,1)，则 ( )|AF|BF| |AF|BF|A. B. 15 14C. D.13 12C 因为抛物线的焦点为 F ，故过点
9、 F 且倾斜角为 30的直线的方程为(0，p2)y x ，与抛物线方程联立得 x2 px p20，解方程得 xA p， xB p，所以33 p2 233 33 3 ，故选 C.|AF|BF| |xA|xB| 132过抛物线 C： y24 x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴的上方)， l3为 C 的准线，点 N 在 l 上，且 MN l，则 M 到直线 NF 的距离为( )A. B2 5 2C2 D33 3C 抛物线 y24 x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.由直线方程的点斜式可得直线 MF 的方程为 y (x1) 3联立得方程组Error!解得Erro
10、r! 或Error!点 M 在 x 轴的上方， M(3,2 )3 MN l， N(1,2 )3| NF| 4，(1 1)2 (0 2r(3)2|MF| MN| 4.(3 1)2 (2r(3) 2r(3)2 MNF 是边长为 4 的等边三角形点 M 到直线 NF 的距离为 2 .3故选 C.53已知点 A(2,0)， B(4,0)，动点 P 在抛物线 y24 x 上运动，则 取得最小值AP BP 时的点 P 的坐标是_(0,0) 设 P(x0， y0)，则 ( x02， y0)，AP ( x04， y0)，BP 所以 ( x02)( x04) y ，又 y 4 x0，AP BP 20 20所以
11、x 10 x08( x05) 217，AP BP 20因为 x00，所以当 x00 时， 取得最小值AP BP 此时点 P 的坐标为(0,0)4已知抛物线 y24 x，过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，则 y y 的最小值是_. 21 2【导学号：46342118】32 y 4 x1， y 4 x2，则 y y 4( x1 x2)21 2 21 2若过点 P(4,0)的直线垂直于 x 轴，则直线方程为 x4，此时 x1 x28， y y 32，21 2若过点 P(4,0)的直线存在斜率，则设直线方程为 y k(x4)，由Error!得k2x2
12、(8 k24) x16 k20，则 x1 x28 8，此时 y y 324k2 21 2因此 y y 的最小值为 32.21 25已知点 A， B 是抛物线 y22 px(p0)上的两点，且 OA OB.(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积(2)求证：直线 AB 过定点解 (1)设点 A， B 的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，则有 kOA ， kOB .y1x1 y2x2因为 OA OB，所以 kOAkOB1，所以 x1x2 y1y20.因为 y 2 px1， y 2 px2，所以 y1y20.21 2y212p y22p因为 y10， y20，所以 y1y24 p2，所以 x1x24 p2.(2)证明：因为 y 2 px1， y 2 px2，两式相减得( y1 y2)(y1 y2)2 p(x1 x2)，21 2所以 ，所以 kAB ，故直线 AB 的方程为 y y1 (x x1)，y1 y2x1 x2 2py1 y2 2py1 y2 2py1 y26所以 y y1 ，2pxy1 y2 2px1y1 y2即 y .2pxy1 y2 y21 2px1 y1y2y1 y2因为 y 2 px1， y1y24 p2，代入整理得 y ，212pxy1 y2 4p2y1 y2所以 y (x2 p)，2py1 y2即直线 AB 过定点(2 p,0).
