1、1课时分层作业(二十一) 平面向量数量积的物理背景及其含义(建议用时：40 分钟)学业达标练一、选择题1若向量 a， b 满足| a| b|1， a 与 b 的夹角为 60，则 aa ab 等于( ) 【导学号：84352247】A B12 32C1 D232B aa ab| a|2| a|b|cos 601 .12 322如果 ab ac，且 a0，那么( )A b c B b cC b c D b， c 在 a 方向上的投影相等D 由 ab ac 可得 a(b c)0，又 a0，则应有 a( b c)，故 A，B，C 都不一定正确，只有 D 正确事实上， b， c 在 a 方向上的投影分别
2、为 ， ，由于ba|a|ca|a|ab ac，所以 .ba|a| ca|a|3若向量 a， b， c，满足 a b 且 a c，则 c(a2 b)( )A4 B3 C2 D0D a b， a c， b c， ac0， bc0，c(a2 b) ac2 bc000.4若向量 a 与 b 的夹角为 60，| b|4，且( a2 b)(a3 b)72，则 a 的模为( ) 【导学号：84352248】A2 B4 C6 D12C ( a2 b)(a3 b) a2 ab6 b2| a|2| a|b|cos 606| b|2| a|22| a|9672，| a|22| a|240，2| a|6.5已知平面向
3、量 a， b 是非零向量，| a|2， a( a2 b)，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为( )A1 B1C2 D2B 因为 a( a2 b)，所以 a(a2 b) a22 ab| a|22 ab42 ab0，所以 ab2，所以向量 b 在向量 a 方向上的投影为 1.ab|a| 22二、填空题6已知| a|3，| b|5，且 a 与 b 的夹角 45，则向量 a 在向量 b 上的投影为_由已知得向量 a 在向量 b 上的投影| a|cos 3 .322 22 3227已知向量 a， b，其中| a| ，| b|2，且( a b) a，则|2 a b|_. 2【导学号：84352249】
4、2 设向量 b 和 a 的夹角是 ，因为| a| ，| b|2，且( a b) a，2所以( a b)a a2 ab2 ab22 cos 0，2所以 cos ，22所以(|2 a b|)24 a2 b24 ab844 2 4，222故|2 a b|2.8若非零向量 a， b 满足 |a| 3|b| |a 2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为_ 设 a 与 b 夹角为 ，因为 |a| 3|b|，13所以 |a|2 9|b|2.又 |a| |a 2b|，所以 |a|2 |a|2 4|b|2 4ab |a|2 4|b|2 4|a|b|cos 13 |b|2 12|b|2cos ，即 9|b|2 1
5、3|b|2 12|b|2cos ，故有 cos .13三、解答题39如图 241 所示，在平行四边形 ABCD 中，| |4，| |3， DAB60.AB AD 图 241求：(1) ；(2) ；(3) .AD BC AB CD AB DA 解 (1) | |29；AD BC AD (2) | |216；AB CD AB (3) | | |cos(18060)43 6.AB DA AB DA ( 12)10已知非零向量 a， b 满足| a|1，且( a b)(a b) .34(1)求| b|.(2)当 ab 时，求向量 a 与 a2 b 的夹角 的值. 14【导学号：84352250】解 (
6、1)因为( a b)(a b) ，34即 a2 b2 ，即| a|2| b|2 ，34 34所以| b|2| a|2 1 ，34 34 14故| b| .12(2)因为| a2 b|2| a|24 ab|2 b|21111，故| a2 b|1.又因为 a(a2 b)| a|22 ab1 ，所以 cos ，12 12 a a 2b|a|a 2b| 12又 0，故 . 3冲 A 挑战练1如图 242 所示为正六边形 P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是( )图 2424A. P1P2 P1P3 B. P1P2 P1P4 C. P1P2 P1P5 D. P1P2 P1P6 A 由于
7、 ，故其数量积是 0； 与 的夹角是 ，故其数量积小于P1P2 P1P5 P1P2 P1P6 230；设正六边形的边长是 a，则 | | |cos 30 a2， |P1P2 P1P3 P1P2 P1P3 32 P1P2 P1P4 | |cos 60 a2.故选 A.P1P2 P1P4 2如图 243，在 ABC 中， AD AB， ，| |1，则 等于( )BC 3BD AD AC AD 图 243A2 B332C D33 3D | | |cos DACAC AD AC AD | |cosAC ( BAC 2)| |sin BAC| |sin BAC BC | |sin B | | .3BD
8、3AD 33设 a， b， c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论： ac bc( a b)c；( bc)a( ca)b 不与 c 垂直；| a| b| a b|；(3 a2 b)(3a2 b)9| a|24| b|2.其中正确的序号是_. 【导学号：84352251】 根据向量积的分配律知正确；5因为( bc)a( ca)bc( bc)(ac)( ca)(bc)0，所以( bc)a( ca)b 与 c 垂直，错误；因为 a， b 不共线，所以| a|，| b|，| a b|组成三角形三边，所以| a| b| a b|成立，正确；正确故正确命题的序号是.4已知| a| b| c|
9、1 且满足 3a mb7 c0，其中 a， b 的夹角为 60，则实数m_.5 或8 因为 3a mb7 c0，所以 3a mb7 c，所以(3 a mb)2(7 c)2得 9 m26 mab49，又 ab| a|b|cos 60 ，12所以 m23 m400，解得 m5 或 m8.5已知| a|2，| b|1，(2 a3 b)(2a b)9.(1)求 a 与 b 之间的夹角 ；(2)求向量 a 在 a b 上的投影. 【导学号：84352252】解 (1)(2 a3 b)(2a b)4 a24 ab3 b29，即 164 ab39， ab1，cos .ab|a|b| 12又 0， . 3(2)|a b|2 a22 ab b27，即| a b| .7设 a 与 a b 的夹角为 ，则向量 a 在 a b 上的投影为|a|cos | a| a a b|a|a b| a a b|a b| .a2 ab|a b| 57 577
