1、- 1 -第 1 课时 数列的概念及简单表示法学习目标：1.理解数列的概念(重点).2.掌握数列的通项公式及应用(重点).3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式(难点、易错点)自 主 预 习探 新 知1数列的概念及一般形式思考 1：(1)数列的项和它的项数是否相同？(2)数列 1,2,3,4,5，数列 5,3,2,4,1 与1,2,3,4,5有什么区别？提示 (1)数列的项与它的项数是不同的概念数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于 f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于 f(n)中的 n.(2)数列 1,2,3,4,5 和数列
2、5,3,2,4,1 为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合1,2,3,4,5与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性2数列的分类类别 含义有穷数列 项数有限的数列按项的个数 无穷数列 项数无限的数列递增数列 从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列 从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列 各项相等的数列按项的变化趋势 摆动数列从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的通项公式如果数列 an的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式4数列与函数的关系
3、- 2 -从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：定义域 正整数集 N (或它的有限子集1,2,3， n)解析式 数列的通项公式值域 自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法思考：数列的通项公式 an f(n)与函数解析式 y f(x)有什么异同？提示 如图，数列可以看成以正整数集 N*(或它的有限子集1,2， n)为定义域的函数， an f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值不同之处是定义域，数列中的 n 必须是从 1 开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集基础自测1思考辨析(
4、1)数列 1,1,1，是无穷数列( )(2)数列 1,2,3,4 和数列 1,2,4,3 是同一个数列( )(3)有些数列没有通项公式( )答案 (1) (2) (3) 提示：(1)正确每项都为 1 的常数列，有无穷多项(2)错误虽然都是由 1,2,3,4 四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列(3)正确某些数列的第 n 项 an和 n 之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式2600 是数列 12,23,34,45，的第_项24 an n(n1)6002425，所以 n24.3数列 an满足 anlog
5、2(n23)2，则 log23 是这个数列的第_项.【导学号：91432112】3 令 anlog 2(n23)2log 23，解得 n3.4数列 1,2, ， ， ， 中的第 26 项为_7 10 132 因为 a11 ， a22 ，19 1 4a3 ， a4 ， a5 ，所以 an ，7 10 13 3n 2所以 a26 2 .326 2 76 19合 作 探 究攻 重 难数列的概念及分类- 3 -已知下列数列：2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016；1， ，；1214 12n 11， ， ，；2335 1 n 1n2n 11,0，1，sin ，；n22,4
6、,8,16,32，；1，1，1，1.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_(填序号) 为有穷数列且为递增数列；为无穷、递减数列；为无穷、摆动数列；是摆动数列，是无穷数列，也是周期为 4 的周期数列；为递增数列，也是无穷数列；为有穷数列，也是常数列规律方法 1与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：(1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；(2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合
7、中的元素没有顺序(即无序性)；(4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物2判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限跟踪训练1给出下列数列：(1)20102017 年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,118,132,147,163,180.(2)无穷多个 构成数列 ， ， ， ，.3 3 3 3 3(3)2 的 1 次幂，2 次幂，3 次幂，4 次幂，构成数列2,4，8,16，32，.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，常数列
8、是_，摆动数列是_. 【导学号：91432113】(1) (2)(3) (1) (2) (3) (1)为有穷数列；(2)(3)是无穷数列，同时(1)也是递增数列；(2)为常数列；(3)为摆动数列- 4 -由数列的前几项求通项公式写出数列的一个通项公式，使它的前 4 项是下列各数：(1)1， ，；12 1314(2) ，3， ， ；3 15 21(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9；(4)3,5,3,5.思路探究：求数列的通项公式时，是否应考虑将个别项或各项进行适当的变形？数列的通项公式唯一吗？解 (1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数， 正负相间
9、用(1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为 an(1) n .1n(2)数列可化为 ， ， ， ，即 ， ， ， ，每个根号里面3 9 15 21 31 33 35 37可分解成两数之积，前一个因数为常数 3，后一个因数为 2n1，故原数列的一个通项公式为an .3 2n 1 6n 3(3)原数列可变形为 ， ， ， ，故数列的一个通项公式为(1110)(1 1102)(1 1103)(1 1104)an1 .110n(4)数列给出前 4 项，其中奇数项为 3，偶数项为 5，所以通项公式的一种表示方法为anError!.此数列还可以这样考虑，3 与 5 的算术平均数为 4,415,413，因
10、此数列3 52的一个通项公式又可以写为 an4(1) n.规律方法 1据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征等，并对此进行归纳、联想2观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(1) n或(1) n1 来调整跟踪训练2写出下列数列的一个通项公式：- 5 -(1)0,3,8,15,24，；(2)1，3,5，7,9，；(3)1 ，2 ，3 ，4 ，；12 23 34 45(4
11、)1,11,111,1 111，.【导学号：91432114】解 (1)观察数列中的数，可以看到011,341,891,15161,24251，所以它的一个通项公式是an n21( nN *)(2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为 an(1) n1 (2n1)( nN *)(3)此数列的整数部分 1,2,3,4，恰好是序号 n，分数部分与序号 n 的关系为 ，故所nn 1求的数列的一个通项公式为 an n (nN *)nn 1 n2 2nn 1(4)原数列的各项可变为 9， 99， 999， 9 999，易知数列
12、9,99,999,9 19 19 19 19999，的一个通项公式为 an10 n1，所以原数列的一个通项公式为 an (10n1)( nN *)19数列通项公式的应用探究问题1数列 ， ， ，的通项公式是什么？该数列的第 7 项是什么？ 是否为该数列中12347815163132 255256的一项？为什么？提示：由数列各项的特点可归纳出其通项公式为 an ，当 n7 时，2n 12na7 ，若 为该数列中的一项，则 ，解得 n8，所以 是该数列中的27 127 127128 255256 2n 12n 255256 255256第 8 项2已知数列 an的通项公式为 an n22 n1，该
13、数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项提示：由数列与函数的关系可知，数列 an的图象是分布在二次函数 y x22 x1 图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第 3 项往后各项为负数项已知数列 an的通项公式为 an3 n228 n.- 6 -(1)写出此数列的第 4 项和第 6 项；(2)问49 是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68 是否是该数列的一项呢？思路探究：(1)将 n4， n6 分别代入 an求出数值即可；(2)由 3n228 n49 和 3n228 n68，求得 n 是否为正整数判断解 (1) a43
14、4 228464，a636 228660.(2)由 3n228 n49 解得 n7 或 n (舍去)，73所以49 是该数列的第 7 项；由 3n228 n68 解得 n2 或 n ，均不合题意，所以 68 不是该数列的项343母题探究：1.(变结论)若本例中的条件不变，(1)试写出该数列的第 3 项和第 8 项；(2)问 20 是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？解 (1)因为 an3 n228 n，所以 a333 228357， a838 228832.(2)令 3n228 n20，解得 n10 或 n (舍去)，23所以 20 是该数列的第 10 项2(变条件，变结论)若将例题中的“
15、an3 n228 n”变为“ an n22 n5” ，试判断数列an的单调性解 an n22 n5， an1 an( n1) 22( n1)5( n22 n5) n22 n12 n25 n22 n52 n3. nN *，2 n30， an1 an.数列 an是递增数列规律方法 1由通项公式写出数列的指定项，主要是对 n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值2判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项3在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是 N*(或它的有限子集1
16、,2,3， n)这一约束条件当 堂 达 标固 双 基1下列说法正确的是( )- 7 -A数列 1,3,5,7，2 n1 可以表示为 1,3,5,7，B数列 1,0，1，2 与数列2，1,0,1 是相同的数列C数列 的第 k 项为 1n 1n 1kD数列 0,2,4,6,8，可记为2 nC2在数列 1,1,2,3,5,8， x,21,34,55 中， x 等于( ) 【导学号：91432115】A11 B12C13 D14C 观察可知该数列从第 3 项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故 x5813.3已知数列 2， ，4， ，则 8 是该数列的第_项10 2 3n 111 令 8，得 n11
17、.2 3n 14若数列 an的通项公式是 an32 n，则 a2n_， _.a2a3【导学号：91432116】34 n 根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项因为 an32 n，所以15a2n32 2n34 n， .a2a3 3 223 23 155已知数列 .9n2 9n 29n2 1 (1)求这个数列的第 10 项；(2) 是不是该数列中的项，为什么？98101(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内解 设 f(n)9n2 9n 29n2 1 . 3n 1 3n 2 3n 1 3n 1 3n 23n 1(1)令 n10，得第 10 项 a10 f(10) .2831(2)令 ，得 9n300.3n 23n 1 98101此方程无正整数解，所以 不是该数列中的项98101- 8 -(3)证明： an 1 ，3n 23n 1 3n 1 33n 1 33n 1又 nN *，0 1，0 an1.33n 1即数列中的各项都在区间(0,1)内
