1、13.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标：1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明(难点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用(易错点)自 主 预 习探 新 知1二倍角的正弦、余弦、正切公式记法 公式S2 sin 2 2sin_ cos_C2 cos 2 cos 2 sin 2T2 tan 2 2tan 1 tan22余弦的二倍角公式的变形3正弦的二倍角公式的变形(1)sin cos sin 2 ，cos .12 sin 22sin (2)1sin 2 (sin_ cos_ )2.基础自测1
2、思考辨析(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角( )(2)存在角 ，使得 sin 2 2sin 成立( )(3)对于任意的角 ，cos 2 2cos 都不成立( )解析 (1).二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求 k( kZ)且 k( kZ)，故此说法错误 2 4(2).当 k( kZ)时，sin 2 2sin .(3).当 cos 时，cos 2 2cos .1 32答案 (1) (2) (3)2sin 15cos 15_.sin 15cos 15 2sin 15cos 15 sin 30 .14 12 12 143 cos 2 _.12 82
3、cos 2 .24 12 8 12 1 cos 42 12 12 12 22 244若 tan 2 则 tan 2 _. tan 2 .43 2tan 1 tan2 221 22 43合 作 探 究攻 重 难给角求值(1)cos cos cos 的值为( ) 7 37 57A B14 14C D18 18(2)求下列各式的值：cos 415sin 415；12sin 275； ；1 tan275tan 75 . 1sin 10 3cos 10【导学号：84352329】(1)D (1)cos cos ，cos cos ，37 47 57 27cos cos cos cos cos cos 7
4、37 57 7 27 478sin 7cos 7cos27cos478sin 7 .4sin27cos27cos478sin 72sin47cos478sin 7sin878sin 7 18(2)cos 415sin 415(cos 215sin 215)(cos215sin 215)cos 215sin 215cos 30 .3212sin 2751(1cos 150)cos 150cos 30 .32 21 tan275tan 75 1 tan2752tan 752 2 .1tan 150 33 1sin 10 3cos 10cos 10 3sin 10sin 10cos 102(12co
5、s 10 32sin 10)sin 10cos 104 sin 30cos 10 cos 30sin 102sin 10cos 10 4.4sin 20sin 20规律方法 对于给角求值问题，一般有两类：1 直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.2 若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.跟踪训练1求下列各式的值(1)cos 72cos 36；(2) .1sin 50 3cos 50解 (1)cos 36c
6、os 72 2sin 36cos 36cos 722sin 36 2sin 72cos 724sin 36 .sin 1444sin 3614(2)原式cos 50 3sin 50sin 50cos 502(12cos 50 32sin 50)122sin 50cos 50 4.2sin 8012sin 1002sin 8012sin 80给值求值、求角问题(1)已知 cos ， ，求 cos 的值；( 4) 35 2 32 (2 4)(2)已知 ，且 sin 2 sin ，求 .( 2， 2) ( 4)思路探究 依据以下角的关系设计解题思路求解：4(1) 与 2 ， 与 2 具有 2 倍关系
7、，用二倍角公式联系； 4 2 4 2(2)2 与 2 差 ，用诱导公式联系 2 2解 (1) ， . 2 32 34 4 74cos 0， ，( 4) 32 4 74sin ，( 4) 1 cos2( 4) 1 (35)2 45cos 2 sin 2sin cos 2 ，(2 2) ( 4) ( 4) ( 45) 35 2425sin 2 cos 12cos 2 12 2 ，(2 2) ( 4) (35) 725cos cos 2 sin 2 .(2 4) 22 22 22 ( 2425) 22 725 31250(2)sin 2 cos (2 2) 2cos2( 4) 112cos 2 ，(
8、 4)sin sin( 4) ( 4 )cos 2 ( 4 )cos ，( 4 )原式可化为 12cos 2( 4)cos ，( 4)解得 cos 1 或 cos .( 4) ( 4) 12 ，( 2， 2) ， 4 ( 4， 34)故 0 或 ， 4 4 23即 或 . 4 5125母题探究：1.在例 2(1)的条件下，求 sin 4 的值解 由例 2(1)解析知 sin 4 2sin 2 cos 2 2 .725 ( 2425) 3366252将例 2(1)的条件改为 sin ，0 x ，求 的值( 4 x) 513 4 cos 2xcos( 4 x)解 0 x ， x . 4 4 (0，
9、 4)又 sin ，( 4 x) 513cos .( 4 x) 1213又 cos 2xsin ( 2 2x)2sin cos( 4 x) ( 4 x)2 ，513 1213 120169cos( 4 x)sin 2 ( 4 x)sin ，( 4 x) 513原式 .120169513 2413规律方法 解决条件求值问题的方法1 有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.2 当遇到f( ,4)x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos 2xsin ( 2 2x) 2sin( 4 x)co
10、s( 4 x.)类似的变换还有：cos 2x sin( 2 2x) 2sin( 4 x)cos( 4 x， )sin 2x cos( 2 2x) 2cos2( 4 x) 1，6sin 2x cos( 2 2x) 1 2cos2( 4 x)等 .化简证明问题探究问题1解答化简证明问题时，如果遇到既有“切” ，又有“弦”的情况，通常要如何处理？提示：通常要切化弦后再进行变形2证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？提示：由复杂一侧向简单一侧推导(1)化简： _.1tan 1 1tan 1(2)证明： 4 . 3tan 12 3sin 12 4cos212 2 3思路探究 (1)通分变形(2) 切
11、化 弦 通 分 ， 构 造 二 倍 角 的 余 弦 二 倍 角 的 正 弦 约 分 求 值(1)tan 2 (1)原式 tan 2 .tan 1 tan 1 tan 1 tan 1 2tan tan2 1 2tan 1 tan2(2)左边3sin 12 3cos 12cos 122sin 12 2cos212 123(12sin 12 32cos 12)2sin 12cos 12cos 24 23sin 12 60sin 24cos 24 23sin 4812sin 484 右边，所以原等式成立3规律方法 证明三角恒等式的原则与步骤1 观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低
12、，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.2 证明恒等式的一般步骤：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；本着“复角化单角” “异名化同名” “变换式子结构” “变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.跟踪训练2求证：(1)cos 2(A B)sin 2(A B)cos 2 Acos 2B；7(2)cos2 (1tan 2 )cos 2 .证明 (1)左边 1 cos 2A 2B2 1 cos 2A 2B2cos 2A 2B cos 2A 2B2 (cos 2Acos 2Bsin 2 Asin 2Bcos 2 Acos 2Bsin 2 Asin
13、 2B)12cos 2 Acos 2B右边，等式成立(2)法一：左边cos 2 (1sin2cos2 )cos 2 sin 2 cos 2 右边法二：右边cos 2 cos 2 sin 2cos 2 cos 2 (1tan 2 )左边(1sin2cos2 )当 堂 达 标固 双 基1下列各式中，值为 的是( )32A2sin 15cos 15 Bcos 215sin 215C2sin 215 Dsin 215cos 215B 2sin 15cos 15sin 30 ；cos 215sin 215cos 3012 ；2sin 2151cos 30 1 ；sin 215cos 2151，故选 B.
14、32 322(2018全国卷)已知函数 f(x)2cos 2xsin 2x2，则( )A f(x)的最小正周期为 ，最大值为 3B f(x)的最小正周期为 ，最大值为 4C f(x)的最小正周期为 2，最大值为 3D f(x)的最小正周期为 2，最大值为 4B 易知 f(x)2cos 2xsin 2x23cos 2x1 (2cos2x1) 1 cos 2x ，32 32 32 52则 f(x)的最小正周期为 ，当 x k( kZ)时， f(x)取得最大值，最大值为 4.3若 sin 3cos ，则 _.sin 2cos26 6.sin 2cos2 2sin cos cos2 2sin cos 6cos cos 4设 sin 2 sin ， ，则 tan 2 的值是_.( 2， )8sin 2 sin ，32sin cos sin .由 知 sin 0，( 2， )cos ， ，12 23tan 2 tan tan .43 3 35已知 ，cos . 2 45(1)求 tan 的值；(2)求 sin 2 cos 2 的值解 (1)因为 cos ， ，45 2所以 sin ，35所以 tan .sin cos 34(2)因为 sin 2 2sin cos ，2425cos 2 2cos 2 1 ，725所以 sin 2 cos 2 .2425 725 1725
