1、- 1 -第 3 课时 三角形中的几何计算学习目标：1.掌握三角形的面积公式的应用(重点).2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用(难点)自 主 预 习探 新 知1三角形的面积公式(1)S aha bhb chc(ha， hb， hc分别表示 a， b， c 边上的高)；12 12 12(2)S absin C bcsin_A casin_B；12 12 12(3)S (a b c)r(r 为内切圆半径)12思考：(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？(2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？提示 (1)适用三角形的面积公式对任意的三角形都成立(2)能利用正弦定理或余弦定
2、理求出另外的边或角，再根据面积公式求解2三角形中常用的结论(1)A B C， ；A B2 2 C2(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(4)三角形的诱导公式sin(A B)sin_ C，cos( A B)cos_ C，tan(A B)tan_ C ，(C 2)sin cos ，A B2 C2cos sin .A B2 C2基础自测1思考辨析(1)公式 S absin C 适合求任意三角形的面积( )12(2)三角形中已知三边无法求其面积( )(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积( )答案 (1) (2) (3) 提示：已知三边
3、可以先利用余弦定理求出其中一角，然后再求面积故(2)错- 2 -2下列说法中正确的是_(填序号)(1)已知三角形的三边长为 a， b， c，内切圆的半径为 r，则三角形的面积 S( a b c)r；(2)在 ABC 中，若 c b2， S ABC ，则 A60；3(3)在 ABC 中，若 a6， b4， C30，则 S ABC的面积是 6；(4)在 ABC 中，若 sin 2Asin 2 B，则 A B. 【导学号：91432075】(3) (1)中三角形的面积 S (a b c)r.12(2)由 S bcsin A 可得 sin A ， A60或 120.12 32(4)在 ABC 中由 s
4、in 2Asin 2 B 得 A B 或 A B . 23在 ABC 中， a6， B30， C120，则 ABC 的面积_9 由题知 A1801203030，由 知 b6， S absin 3asin A bsin B 12C18 9 .32 34在 ABC 中， ab60， S ABC15 ， ABC 的外接圆半径为 ，则边 c 的长为_. 3 3【导学号：91432076】3 由题知 S ABC absin C15 得 sin C .12 3 32又由 2 R 得 c2 3.csin C 3 32合 作 探 究攻 重 难三角形面积的计算在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a
5、， b， c， B ，cos A ， b . 3 45 3(1)求 sin C 的值；(2)求 ABC 的面积解 (1)角 A， B， C 为 ABC 的内角，且 B ，cos A ， 3 45 C A，sin A .23 35sin Csin cos A sin A .(23 A) 32 12 3 4310- 3 -(2)由(1)知 sin A ，sin C .35 3 4310又 B ， b ， 3 3在 ABC 中，由正弦定理得 a .bsin Asin B 65 ABC 的面积 S absin C .12 12 65 3 3 4310 36 9350规律方法 1由于三角形的面积公式有三
6、种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用，若三角形的面积已知，常选择已知的那个面积公式2如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算跟踪训练1 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 bsin C csin B4 asin Bsin C， b2 c2 a28，求 ABC 的面积解 由 bsin C csin B4 asin Bsin C 得 sinBsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C，因为 sin Bsin C0，所以 sin A .因为 b2 c2 a28，cos A ，所以 bc12 b2
7、 c2 a22bc，所以 S ABC bcsin A .833 12 12 833 12 233三角恒等式证明问题在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.证明： .a2 b2c2 sin A Bsin C思路探究：由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开证明 法一：(边化角)由余弦定理a2 b2 c22 bccos A， b2 a2 c22 accos B， a2 b2 b2 a22 bccos A2 accos B，整理得： .a2 b2c2 acos B bcos Ac依正弦定理有 ， ，ac sin Asin C bc sin Bsin C .a
8、2 b2c2 sin Acos B sin Bcos Asin C sin A Bsin C- 4 -法二：(角化边) sin A Bsin C sin AcosB cos Asin Bsin C aa2 c2 b22ac b2 c2 a22bc bc 2 a2 b22c2.a2 b2c2规律方法 1三角恒等式证明的三个基本原则：(1)统一边角关系(2)由繁推简(3)目标明确，等价转化2三角恒等式证明的基本途径：(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形跟踪训练2在 ABC 中，求证：
9、. cos Bcos C c bcos Ab ccos A【导学号：91432078】证明 由正弦定理得右边 2Rsin C 2Rsin Bcos A2Rsin B 2Rsin Ccos A sin A B sin Bcos Asin A C sin Ccos A 左边sin Acos B cos Asin B sin Bcos Asin Acos C cos Asin C sin Ccos A sin AcosBsin Acos C cos Bcos C原等式成立解三角形中的综合问题探究问题1.如图 1235 所示，图中共有几个三角形？线段 AD 分别是哪些三角形的边， B 是哪些三角形的内
10、角？图 1235提示：在图形中共有三个三角形，分别为 ABC， ABD， ADC；线段 AD 是 ADC 与 ABD的公共边， B 既是 ABC 的内角，又是 ABD 的内角2在探究 1 中，若 sin Bsin ADB，则 ABD 是什么形状的三角形？在此条件下若已知- 5 -AB m， DC n，如何求出 AC?提示：若 sin Bsin ADB，则 ABD 为等腰三角形，在此条件下，可在 ABD 中先求出AD，然后利用余弦定理在 ADC 中求出 AC，也可以在 ABD 中先求出 BD，然后在 ABC 中，利用余弦定理求出 AC.在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b，
11、 c，已知 A ， bsin csin 4 ( 4 C) a.( 4 B)(1)求证： B C ； 2(2)若 a ，求 ABC 的面积.2【导学号：91432079】思路探究：(1)先由正弦定理化边为角，再化简已知三角形即证(2)结合第(1)问可直接求出 B， C，再利用面积公式求值；也可以作辅助线导出 b， c 的大小关系，再由余弦定理求值，最后用面积公式求解解 (1)证明：由 bsin csin a，应用正弦定理，( 4 C) ( 4 B)得 sin Bsin sin Csin sin A，( 4 C) ( 4 B)所以 sin B sin C sin B cos B ，(22sin C
12、 22cos C) 22 22 22整理得 sin Bcos Ccos Bsin C1，即 sin(B C)1，因为 0B ，0 C ，从而 B C .34 34 2(2)因 B C A ，所以 B ， C .34 58 8由 a ， A 得 b 2sin ， c 2sin ，所以 ABC 的面积2 4 asin Bsin A 58 asin Csin A 8S bcsin A sin sin cos sin .12 2 58 8 2 8 8 12母题探究：(变条件，变结论)将例题中的条件“ A ， bsin csin a”改 4 ( 4 C) ( 4 B)为“ ABC 的面积 S (a2 b
13、2 c2)”求：34(1)角 C 的大小；(2)求 sin Asin B 的最大值解 (1)由题意可知 absin C 2abcos C.12 34- 6 -所以 tan C ，因为 0C，3所以 C . 3(2)由已知 sin Asin Bsin Asin ( A 3)sin Asin (23 A)sin A cos A sin A32 12 sin ，3 (A 6) 3(0A23)当 A ，即 ABC 为等边三角形时取等号 3所以 sin Asin B 的最大值为 .3规律方法 1解三角形综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数，三角恒等变换，平面向量等知
14、识，因此掌握正、余弦定理，三角函数的公式及性质是解题关键2三角形问题中，涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用当 堂 达 标固 双 基1(2018全国卷) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 ABC 的面积为，则 C( )a2 b2 c24A. B. 2 3C. D. 4 6C 因为 S ABC absin C，所以 absin C由余弦定理 a2 b2 c22 abcos 12 a2 b2 c24 12C，得 2abcos C2 absin C，即 cos Csin C，所以在 ABC 中， C .故选 C. 42在 ABC 中，内角 A， B， C 所
15、对的边分别为 a， b， c， a1， B45， S ABC2，则ABC 的外接圆直径为( )A4 B60 C5 D63 2 2C S ABC acsin B csin 45 c2，12 12 24 c4 ，2 b2 a2 c22 accos 4525，- 7 - b5. ABC 的外接圆直径为 5 .bsin B 23设 A 是 ABC 中最小的内角，则 sin Acos A 的取值范围是( ) 【导学号：91432081】A( ， ) B ， 2 2 2 2C(1， ) D(1， 2 2D sin Acos A sin .2 (A 4) A 为 ABC 中最小内角， A ， A ，(0，
16、3) 4 ( 4， 712 )sin ，(A 4) (22， 1sin Acos A(1， 24在 ABC 中，已知 B ， D 是 BC 边上一点， AD10， AC14， DC6，则 AB 的长为 4_5 在 ADC 中， AD10， AC14， DC6，6cos ADC .AD2 DC2 AC22ADDC 102 62 1422106 12又 ADC(0，)， ADC ，23 ADB . 3在 ABD 中，由正弦定理得 ，ABsin ADB ADsin B AB 5 .ADsin ADBsin B103222 65已知 a， b， c 分别为 ABC 内角 A， B， C 的对边，sin 2B2sin Asin C.(1)若 a b，求 cos B；(2)设 B90，且 a ，求 ABC 的面积. 2【导学号：91432082】解 (1)由题设及正弦定理可得 b22 ac.又 a b，可得 b2 c， a2 c.- 8 -由余弦定理可得 cos B .a2 c2 b22ac 14(2)由(1)知 b22 ac.因为 B90，由勾股定理得 a2 c2 b2，故 a2 c22 ac，进而可得 c a .2所以 ABC 的面积为 1.12 2 2
